1.8: Integrales trigonométricas
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Integrales de polinomios de las funciones trigonométricassinx,cosx,tanx y así sucesivamente, generalmente se evalúan mediante el uso de una combinación de sustituciones simples e identidades trigonométricas. Por supuesto, hay un número 1 muy grande de identidades trigonométricas, pero generalmente usamos solo un puñado de ellas. Los tres más importantes son:
sin2x+cos2x=1
sin(2x)=2sinxcosx
cos(2x)=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x
Observe que las dos últimas líneas de la Ecuación 1.8.3 siguen de la primera línea reemplazandosin2x ocos2x usando la Ecuación 1.8.1. También es útil reescribir estas dos últimas líneas:
sin2x=1−cos(2x)2
cos2x=1+cos(2x)2
Estos dos últimos son particularmente útiles ya que nos permiten reescribir potencias superiores de seno y coseno en términos de potencias inferiores. Por ejemplo:
\ begin {alinear*}\ sin^4 (x) &=\ left [\ frac {1-\ cos (2x)} {2}\ derecha] ^2 &\ text {por Ecuación} {\ text {1.8.4}}\\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ underbrackets {\ cos^2 (2x)} _ {\ text {hazlo de nuevo}} &\ text {use Ecuación} {\ text {1.8.5}}\\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ left (1 +\ cos (4x)\ derecha)\\ &=\ frac {3} {8} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x)\ end {alinear*}
Entonces, si bien era difícil integrarsesin4(x) directamente, la expresión final es bastante sencilla (con una pequeña regla de sustitución).
Existen muchos trucos de este tipo para integrar poderes de funciones trigonométricas. Aquí nos concentramos en dos familias
\ begin {alinear*}\ int\ sin^mx\ cos^nx\, d {x} &&\ text {y} &&\ int\ tan^mx\ seg^nx\, d {x}\ end {alinear*}
para enteron,m. Los detalles de la técnica dependen de la paridad den ym — es decir, sin ym son números pares o impares.
Integrando∫sinmxcosnxdx
Uno den and m is odd
Considera∫sin2xcosxdx. lo integral Podemos integrar esto sustituyendou=sinx ydu=cosxdx. Esto da
\ begin {align*}\ int\ sin^2x\ cos x\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\\ &=\ frac {1} {3} u^3+C =\ frac {1} {3}\ sen ^3x +C\ end {align*}
Este método se puede utilizar siempre quen sea un entero impar.
- Sustitutou=sinx ydu=cosxdx.
- Esto deja un poder uniforme de cosenos: conviértelos usandocos2x=1−sin2x=1−u2.
Aquí hay un ejemplo.
Comience por factorizar una potencia decosx combinar condx para obtenercosxdx=du.
\ begin {alinear*}\ int\ sin^2 x\ cos^3 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ sin^2 x} _ {=u^2}\ underbrackets {\ cos^2 x} _ {=1-u^2}\\ underbrackets {\ cos x\, d {x}} _ {=\, d {u}} &\ texto {conjunto u=\ sin x$}\\ &=\ int u^2\ (1-u^2)\, d {u}\\ &=\ frac {u^3} {3} -\ frac {u^5} {5} +C\ &=\ frac {\ sin^3x} {3} -\ frac {\ sin^5x} {5} +C\ end {align*}
Por supuesto sim es un entero impar podemos usar la misma estrategia con los roles desinx ecosx intercambiados. Es decir, sustituimosu=cosx,du=−sinxdx ysin2x=1−cos2x=1−u2.
Ambosn and m are even
Sim yn son ambos pares, la estrategia es utilizar las identidades trigonométricas 1.8.4 y 1.8.5 para volver al casom on impar. Esto suele ser más laborioso que el caso anterior que estudiamos. Aquí hay un par de ejemplos que surgen con bastante frecuencia en las aplicaciones.
Por 1.8.5
∫cos2xdx=12∫[1+cos(2x)]dx=12[x+12sin(2x)]+C
Primero prepararemos el integrandcos4x para una fácil integración aplicando 1.8.5 un par de veces. Ya hemos usado 1.8.5 una vez para obtener
\ comenzar {reunir*}\ cos^2 x =\ frac {1} {2}\ grande [1+\ cos (2x)\ grande]\ fin {reunir*}
Al cuadrar le da
\ begin {reunir*}\ cos^4 x =\ frac {1} {4}\ grande [1+\ cos (2x)\ grande] ^2 =\ frac {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ end {reunir*}
Ahora por 1.8.5 por segunda vez
\ begin {alinear*}\ cos^4 x &=\ frac {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ frac {1+\ cos (4x)} {2}\ &=\ frac {3} {8} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x)\ end {align*}
Ahora es fácil de integrar
\ begin {alinear*}\ int\ cos^4 x\, d {x} &=\ frac {3} {8}\ int dx+\ frac {1} {2}\ int\ cos (2x)\, d {x} +\ frac {1} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\ &=\ frac {3} {8} x+\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) + C\ end {align*}
Aquí aplicamos tanto 1.8.4 como 1.8.5.
∫cos2xsin2xdx=14∫[1+cos(2x)][1−cos(2x)]dx=14∫[1−cos2(2x)]dxLuego podemos aplicar 1.8.5 nuevamente
\ begin {alinear*} &=\ frac {1} {4}\ int\ grande [1-\ frac {1} {2}\ izquierda (1+\ cos (4x)\ derecha)\ grande]\, d {x}\\ &=\ frac {1} {8}\ int\ grande [1 -\ cos (4x)\ grande]\, d {x}\\ &= ac {1} {8} x -\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C\ final {alinear*}¡Oof! También podríamos haber hecho esto usando 1.8.2 para escribir el integrand comosin2(2x) y luego usar 1.8.4 para escribirlo en términos decos(4x).
Por supuesto que podemos calcular la integral definida∫π0cos2xdx usando la antiderivada para lacos2x que encontramos en el Ejemplo 1.8.7. Pero aquí hay una manera más difícil de evaluar esa integral, y también la integral∫π0sin2xdx a la vez, muy rápidamente sin necesidad de la antiderivada del Ejemplo 1.8.7.
Solución
- Observe eso∫π0cos2xdx y∫π0sin2xdx son iguales porque representan la misma área —mire las gráficas de abajo— las regiones sombreadas oscuras en las dos gráficas tienen la misma área y las regiones ligeramente sombreadas en las dos gráficas tienen la misma área.
- En consecuencia,
\ begin {alinear*}\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x} =\ int_0^\ pi\ sen ^2 x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ bigg [\ int_0^\ pi\ sen ^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x}\ bigg]\\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi\ grande [\ sen ^2 x+\ cos^2 x\ grande]\, d {x}\\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi dx\ &=\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}
Integrando∫tanmxsecnxdx
La estrategia para tratar estas integrales es similar a la estrategia que utilizamos para evaluar integrales de la forma∫sinmxcosnxdx y de nuevo depende de la paridad de los exponentesn ym. utiliza 2
\ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ tan x &=\ seg^2 x &\ frac {d} {dx}\ seg x &=\ seg x\,\ tan x & 1+\ tan^2x &=\ seg^2 x\ end {alinear*}
Dividimos los métodos para integrarlos∫tanmxsecnxdx en 5 casos que enumeramos a continuación. Estos se volverán mucho más claros después de un ejemplo (o dos).
- Cuandom es impar y cualquieran — reescribe el integrando en términos desinx ycosx:
\ begin {alinear*}\ tan^m x\,\ seg^n x\, d {x} &=\ izquierda (\ frac {\ sin x} {\ cos x}\ derecha) ^m\ izquierda (\ frac {1} {\ cos x}\ derecha) ^n\, d {x}\ &=\ frac {\ sin^ {m-1} x} {\ cos^ {n+m} x}\\ sin x\, d {x}\ final {alinear*}
y luego sustituiru=cosx,du=−sinxdx,sin2x=1−cos2x=1−u2. Ver Ejemplos 1.8.11 y 1.8.12. - Alternativamente, sim es impar yn≥1 mover un factor desecxtanx hacia un lado para que se pueda versecxtanxdx en la integral, y sustituiru=secx,du=secxtanxdx ytan2x=sec2x−1=u2−1. Ver Ejemplo 1.8.13.
- Sin es par conn≥2, mover un factor desec2x a un lado para que se pueda versec2xdx en la integral, y sustitutou=tanx,du=sec2xdx ysec2x=1+tan2x=1+u2. Ver Ejemplo 1.8.14.
- Cuandom es par yn=0 —es decir el integrando es solo un poder par de tangente— todavía podemos usar lau=tanx sustitución, después de usartan2x=sec2x−1 (posiblemente más de una vez) para crear unsec2x. Ver Ejemplo 1.8.16.
- Esto deja el cason parm e impar. Existen estrategias como las anteriores para tratar este caso. Pero son más complicados y además implican más trucos (que básicamente hay que memorizar). Los ejemplos que los utilizan se proporcionan en la sección opcional titulada “Integrandosecx,cscx,sec3x ycsc3x”, a continuación. Una estrategia más directa utiliza otra técnica llamada “fracciones parciales”. Volveremos a esta estrategia después de haber aprendido sobre fracciones parciales. Ver Ejemplo 1.10.5 y 1.10.6 en la Sección 1.10.
m is odd — odd power of tangent
En este caso reescribimos el integrando en términos de seno y coseno y luego sustituimosu=cosx,du=−sinxdx.
Solución
- Escribe el integrandotanx=1cosxsinx.
- Ahora sustituyau=cosx,du=−sinxdx tal como lo hicimos en el tratamiento de los integrandos de la formasinmxcosnx conm impar.
\ begin {align*}\ int\ tan x\,\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ qquad\ qquad\ texto {sustituto $u=\ cos x$}\\ &=\ int\ frac {1} {u}\ cdot (-1)\, d {u}\\ &=-\ log|u|+C\\ &=-\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|+C\ qquad\ qquad\ texto {también puede escribir en términos de secante}\\ &=\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|^ {-1} +C =\ log\ izquierda|\ sec x\ derecha|+C\ end {alinear*}
Solución
- Escribe el integrandotan3x=sin2xcos3xsinx.
- De nuevo sustitutou=cosx,du=−sinxdx. Reescribimos los restantes poderes pares desinx usarsin2x=1−cos2x=1−u2.
- De ahí
\ begin {align*}\ int\ tan^3 x\,\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2x} {\ cos^3x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ texto {sustituto $u=\ cos x$}\\ &=\ int\ frac {1-u^2} {u^3} (-1)\, d {u {}\\ &=\ frac {u^ {-2}} {2} +\ log|u|+C\\ &=\ frac {1} {2\ cos^2 x} +\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|+C\ qquad\ text {reescribir en términos de secante}\\ &=\ frac { 1} {2}\ seg^2 x -\ log\ izquierda|\ sec x\ derecha|+C\ final {alinear*}
m is odd and n≥1 — odd power of tangent and at least one secant
Aquí recogemos un factor detanxsecx y luegodu=secxtanxdx. sustituimosu=secx y luego podemos reescribir cualquier restante incluso poderes detanx en términos desecx usotan2x=sec2x−1=u2−1.
Solución
- Comience factorizando una copia desecxtanx y combínelo condx para formarsecxtanxdx, el cual serádu.
- Ahora sustituyau=secx,du=secxtanxdx ytan2x=sec2x−1=u2−1.
- Esto da
\ begin {alinear*}\ int\ tan^3x\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ tan^2 x} _ {u^2-1}\\ underbrackets {\ seg^3 x} _ {u^3}\\ underbrackets {\ seg x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ grande [u^2-1] u^3\, d {u}\\ &=\ frac {u^6} {6} -\ frac {u^4} {4} +C\\ &=\ frac {1} {6}\ seg^6 x-\ frac {1} {4}\ seg^4 x + C\ final {alinear*}
n≥2 is even — a positive even power of secant
En el caso anterior sustituimosu=secx, mientras que en este caso sustituimosu=tanx. Cuando hacemos esto escribimosdu=sec2xdx y luego reescribimos los restantes incluso poderes desecx como poderes detanx usosec2x=1+tan2x=1+u2.
Solución
- Factorizar una copiasec2x y combinarla condx para formarsec2xdx, que serádu.
- Luego sustituyau=tanx,du=sec2xdx y reescriba los poderes pares restantes desecx como poderes detanx=u usosec2x=1+tan2x=1+u2.
- Esto da
\ begin {alinear*}\ int\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ seg^2 x} _ {1+u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ grande [1+u^2]\, d {u}\\ &=u+\ frac {u^3} {3} +C\\ &=\ tan x+\ frac {1} {3}\ tan^3 x + C\ final {alinear*}
Solución
Revisemos este ejemplo usando este enfoque ligeramente diferente.
- Factorizar una copiasec2x y combinarla condx para formarsec2xdx, que serádu.
- Luego sustituyau=tanx,du=sec2xdx y reescriba los poderes pares restantes desecx como poderes detanx=u usosec2x=1+tan2x=1+u2.
- Esto da
\ begin {alinear*}\ int\ tan^3x\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ tan^3x} _ {u^3}\ underbrackets {\ seg^2 x} _ {1+u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ big [u^3+u^5]\, d {u}\\ &=\ frac {u^4} {4} +\ frac {u^6} {6} + C\\ &=\ frac {1} {4}\ tan^4 x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ end {align*}
- Esto no es exactamente lo mismo que la respuesta que obtuvimos arriba en el Ejemplo 1.8.13. Sin embargo podemos demostrar que son (casi) equivalentes. Para ello sustituimosv=secx ytan2x=sec2x−1=v2−1:
\ begin {alinear*}\ frac {1} {6}\ tan^6x +\ frac {1} {4}\ tan^4x &=\ frac {1} {6} (v^2-1) ^3 +\ frac {1} {4} (v^2-1) ^2\\ &=\ frac {1} {6} (v^6-3v^4+3v^2-1) +\ frac {1} {4} (v^4-2v^2+1)\\ &=\ frac {v^6} {6} -\ frac {v^4} {2} +\ frac {v^2} {2} -\ frac {1} {6} +\ frac {v^4} {4} -\ frac {v^2} {2}} +\ frac {1} {4}\\ &=\ frac {v^6} {6} -\ frac {v^4} {4} + 0\ cdot v^2 +\ izquierda (\ frac {1} {4} -\ frac {1} {6}\ derecha)\\ &=\ frac {1} {6}\ seg^6x -\ frac {1} {4}\ sec^4x +\ frac {1} {12}. \ end {alinear*}
Entonces mientras solo16tan6x+14tan4x≠16sec6x−14sec4x, difieren por una constante. Por lo tanto, ambos son antiderivados válidos detan3xsec4x.
m is even and n=0 — even powers of tangent
Integramos esto configurandou=tanx. Para que esto funcione necesitamos tirar un factor desec2x a un lado para formardu=sec2xdx. Para encontrar este factor desec2x aplicamos (quizás repetidamente) la identidadtan2x=sec2x−1.
Solución
- No haysec2x término presente, así que intentamos crearlo a partirtan4x del usotan2x=sec2x−1.
\ begin {alinear*}\ tan^4 x &=\ tan^2 x\ cdot\ tan^2 x\\ &=\ tan^2 x\ big [\ seg^2 x - 1\ grande]\\ &=\ tan^2x\ seg^2 x-\ underbrackets {\ tan^2 x} _ {\ seg^2x-1}\\ & =\ tan^2x\ seg^2 x-\ seg^2 x + 1\ final {alinear*}
- Ahora podemos sustituiru=tanx,du=sec2xdx.
\ begin {alinear*}\ int\ tan^4 x\, d {x} & =\ int\ underbrackets {\ tan^2x} _ {u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}} -\ int\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ int u^2\, d {u} -\ int\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ frac {u^3} {3} -u+x+C\\ &=\ frac {\ tan^3x} {3} -\ tan x +x +C\ end {align*}
Solución
Intentemos el mismo enfoque.
- Primero saca un factor detan2x para crear unsec2x factor:tan8x=tan6x⋅tan2x=tan6x⋅[sec2x−1]=tan6xsec2x−tan6x
El primer término ya está listo para ser integrado, pero necesitamos volver a aplicar el método al segundo término:
\ begin {align*} &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ cdot\ big [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^4x\ tan^4x\ qquad\ text {hazlo de nuevo}\\\ &=\ tan^6x sec^2x -\ tan^4x\ ^2x +\ tan^2x\ cdot\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ tan^2x -\ tan^2x\ qquad\ text {y otra vez}\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ big [\ seg^2x-1\ grande]\ end {alinear*} - De ahí
\ begin {align*} &\ int\ tan^8x\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ left [\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ seg^2x +1\ derecha]\, d {x}\ &\ hskip0.25in=\ int\ left [\ tan^6x -\ tan^4x +\ tan^2x - 1\ derecha]\ seg^2x\, d {x} +\ int\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ izquierda [u^6 - u^4 +u^2 - 1\ derecha]\, d {u} + x +C\\ &\ hskip0.25in=\ frac {u^7} {7} -\ frac {u^5} {5} {5} +\ frac {u^3} {3} - u + x +C\\ &\ hskip0.25in=\ frac {1} {7}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ tan^5x +\ frac {1} {3}\ tan^3x -\ tan x + x +C\ final {alinear*}
De hecho, este ejemplo sugiere que para el número enterok≥0:
\ begin {alinear*}\ int\ tan^ {2k} x\, d {x} &=\ frac {1} {2k-1}\ tan^ {2k-1} (x) -\ frac {1} {2k-3}\ tan^ {2k-3} x +\ cdots\\ &\ hskip1.0in - (-1) ^k\ x bronceado + (-1) ^k ^k x +C\ final {alinear*}
Este último ejemplo también muestra cómo podríamos integrar un poder impar de tangente:
Solución
Seguimos los mismos pasos
- Extraiga un factor detan2x para crear un factor desec2x:
\ begin {align*}\ tan^7x &=\ tan^5x\ cdot\ tan^2x\\ &=\ tan^5x\ cdot\ big [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^5x\ qquad\ text {hazlo de nuevo}\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ cdot\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ tan^3x\ qquad\ texto {y otra vez}\\ &=\ tan^5 x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ tan x\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ bronceado x\ seg^2x -\ tan x\ end {alinear*}
- Ahora podemos sustituiru=tanxdu=sec2xdx y también usar el resultado del Ejemplo 1.8.11 para encargarnos del último término:∫tan7xdx=∫[tan5xsec2x−tan3xsec2x+tanxsec2x]dx−∫tanxdx
Ahora factorizar elsec2x término común e integrartanx a través del Ejemplo 1.8.11
\ begin {alinear*} &=\ int\ grande [\ tan^5x -\ tan^3x +\ tan x\ grande]\ sec x\, d {x} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ int\ grande [u^5 - u^3 + u\ grande]\, d {u} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ frac {^6} {6} -\ frac {u^4} {4} +\ frac {u^2} {2} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ frac {1} {6}\ tan^6x -\ frac {1} {4}\ tan^4x +\ frac {1} {2}\ tan^2x -\ log|\ seg x| + C\ final {alinear*}
Este ejemplo sugiere que para el número enterok≥0:
\ begin {alinear*}\ int\ tan^ {2k+1} x\, d {x} &=\ frac {1} {2k}\ tan^ {2k} (x) -\ frac {1} {2k-2}\ tan^ {2k-2} x +\ cdots\\ &\ hskip0.25in - (-1) ^k\ frac {1} {2}\ tan^2 x + (-1) ^k\ log|\ seg x| +C\ final {alinear*}
Por supuesto que no hemos considerado integrales que involucren poderes decotx ycscx. Pero se pueden tratar de la misma manera quetanx ysecx fueron.
Opcional — Integraciónsecx,cscx,sec3x ycsc3x
Como se señaló anteriormente, cuandon es impar ym es par, se pueden utilizar estrategias similares a las de los casos anteriores. Sin embargo, los cálculos suelen estar más involucrados y es necesario desplegar más trucos. Por esta razón hacemos que esta sección sea opcional — los cómputos definitivamente no son triviales. En lugar de tratar de construir un “método” coherente para este caso, damos algunos ejemplos para dar la idea de qué esperar.
Solución
Hay un truco muy furtivo para computar esta integral.
- El truco estándar para esta integral es multiplicar el integrando por1=secx+tanxsecx+tanx
\ start {alinear*}\ seg x &=\ seg x\\ frac {\ seg x+\ tan x} {\ seg x+\ tan x} =\ frac {\ seg^2x +\ seg x\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\ end {alinear*}
- Observe ahora que el numerador de esta expresión es exactamente la derivada su denominador. De ahí que podamos sustituiru=secx+tanx ydu=(secxtanx+sec2x)dx.
- De ahí
\ begin {alinear*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ int\ seg x\ frac {\ seg x+\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\, d {x} =\ int\ frac {\ seg^2 x+\ seg x\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\, d {x}\\ &=\ int\ frac {1} {u}\, d {u}\\ &=\ log |u|+C\\ &=\ log|\ seg x+\ tan x|+C\ final {alinear*}
- El truco anterior aparece a la vez totalmente inadivinable y muy difícil de recordar. Afortunadamente, hay una forma sencilla 3 de recuperar el truco. Aquí está.
- El objetivo es adivinar una función cuya derivada essecx.
- Así que saca una tabla de derivados y busca funciones cuyas derivadas al menos contengansecx. Hay dos:
\ start {alinear*}\ frac {d} {dx}\ tan x &=\ seg^2 x\\ frac {d} {dx}\ seg x &=\ tan x\,\ seg x\ final {alinear*}
- Observe que si sumamos estos juntos obtenemos
\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ big (\ sec x+\ tan x\ big) &= (\ sec x+\ tan x)\ sec x &\ implica\\ frac {\ frac {d} {dx}\ big (\ seg x+\ tan x\ big)} {\ seg x+\ tan x} &=\ seg x\ end {align*}
- ¡Lo hemos hecho! El lado derecho essecx y el lado izquierdo es el derivado delog|secx+tanx|.
Hay otro método de integración∫secxdx, que es más tedioso, pero más directo. En particular, no implica un truco memorizado. Primero usamos la sustituciónu=sinx,du=cosxdx, junto concos2x=1−sin2x=1−u2. Esto convierte la integral en
\ begin {alinear*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} =\ int\ frac {\ cos x\\, d {x}} {\ cos^2 x}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ big|_ {u=\ sin x}\ final {alinear*}
El integrando11−u2 es una función racional, es decir, una relación de dos polinomios. Existe un procedimiento, llamado método de fracciones parciales, que puede ser utilizado para integrar cualquier función racional. Lo conoceremos en la Sección 1.10 “Fracciones Parciales”. La evaluación detallada de la integral∫secxdx=∫du1−u2 por el método de fracciones parciales se presenta en el Ejemplo 1.10.5 a continuación.
Además, existe un truco estándar para evaluar∫du1−u2 que nos permite evitar pasar por todo el algoritmo de fracciones parciales.
Solución
Ya hemos visto que
\ start {alinear*}\ int\ seg x\, d {x} &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg|_ {u=\ sin x}\ end {alinear*}
El truco utiliza las obervaciones que
- 11−u2=1+u−u1−u2=11−u−u1−u2
- 11−utiene antiderivado−log(1−u) (parau<1)
- La derivadaddu(1−u2)=−2u del denominador deu1−u2 es la misma, hasta un factor de−2, como el numerador deu1−u2. Así podemos evaluar fácilmente la integral deu1−u2 sustituyendov=1−u2,dv=−2udu.
\ begin {reunir*}\ int\ frac {u\,\, d {u}} {1-u^2} =\ int\ frac {\ frac {\, d {v}} {-2}} {v}\ bigg|_ {v=1-u^2} =-\ frac {1} {2}\ log (1-u^2) +C\ end {reunir*}
La combinación de estas observaciones da
\ begin {align*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ bigg [\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg] _ {u=\ sin x} =\ bigg [\ int\ frac {1} {1-u}\, d {u} -\ int\ frac {u} {1-u^2}\, d {u}\ bigg] _ {u=\ sin x}\ &=\ grande [-\ log (1-u) +\ frac {1} {2}\ log (1-u^2) +C\ Grande] _ {u=\ sin x}\\ &=-\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin^2 x) +C\\ &=-\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1+\ sin x) +C\\ &=\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ final {alinear*}
Ejemplo 1.8.20 ha dado la respuesta
\ comenzar {reunir*}\ int\ seg x\, d {x} =\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ final {reunir*}
que parece ser diferente a la respuesta del Ejemplo 1.8.19. Pero son realmente los mismos desde
\ begin {alinear*} &\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {1-\ sin^2 x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x}\\ implica\ &\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} 1-\ sin x} =\ frac {1} {2}\ log\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x} =\ log\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ cos x}\ Big| =\ log|\ tan x+\ sec x|\ end {align*}
¡Oof!
Solución
La integral también∫cscxdx puede ser evaluada por ambos métodos anteriores. Eso es o
- multiplicando el integrando por un hábilmente elegido1=cotx−cscxcotx−cscx y luego sustituyendou=cotx−cscx,du=(−csc2x+cscxcotx)dx, o
- sustituyendou=cosx,du=−sinxdx para dar∫cscxdx=−∫du1−u2 y luego usando el método de fracciones parciales.
Estos dos métodos dan las respuestas
\ begin {reunir}\ int\ csc x\, d {x} =\ log|\ cot x-\ csc x|+C =-\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ cos x} {1-\ cos x} +C\ etiqueta {eq_intcscint}\ etiqueta {⋆}\ fin {reunir}
En este ejemplo, evaluaremos∫cscxdx por todavía un tercer método, que puede ser utilizado para integrar funciones racionales 4 Una función racional desinx and cosx is a ratio with both the numerator and denominator being finite sums of terms of the form asinmxcosnx, where a is a constant and m and n are positive integers. desinx ycosx.
- Este método utiliza la sustitución
\ begin {align*} x&=2\ arctan u &\ text {es decir} u &=\ tan\ frac {x} {2} &\ text {y}\, d {x} &=\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ end {align*}
— una sustitución de medio ángulo. - Para expresarsinx ycosx en términos de primerou, usamos las identidades trigonométricas de doble ángulo (Ecuaciones 1.8.2 y 1.8.3 conx↦x2) para expresarsinx ycosx en términos desinx2 ycosx2:
\ begin {align*}\ sin x &= 2\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}\\ cos x &=\ cos^2\ frac {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2}\ end {align*}
- Luego usamos el triángulo
para expresarsinx2 ycosx2 en términosu. de Se han elegido los lados inferior y derecho del triángulo para quetanx2=u. Esto nos diga que
\ begin {align*}\ sin\ frac {x} {2} &=\ frac {u} {\ sqrt {1+u^2}} &\ cos\ frac {x} {2} &=\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}}\ end {align*}
- Esto a su vez implica que:
\ begin {alinear*}\ sin x&=2\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =2\ frac {u} {\ sqrt {1+u^2}}\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}} =\ frac {2u} {1+u^2}\\ cos x&= 2\ frac {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2} =\ frac {1} {1+u^2} -\ frac {u^2} {1+u^2} =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ end {align*}
¡Oof! - Usemos esta sustitución para evaluar∫cscxdx.
\ begin {alinear*}\ int\ csc x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ sin x}\, d {x} =\ int\ frac {1+u^2} {2u}\\ frac {2} {1+u^2}\, d {u} =\ int\ frac {1} {u}\, d {u}\ &=\ log|u|+C =\ log\ Big|\ tan\ frac {x} {2}\ Big|+C\ end {align*}
Para ver que esta respuesta es realmente la misma que en (⋆), tenga en cuenta que\ comenzar {reunir*}\ cuna x-\ csc x =\ frac {\ cos x-1} {\ sin x} =\ frac {-2\ sin^2 (x/2)} {2\ sin (x/2)\ cos (x/2)} =-\ tan\ frac {x} {2}\ fin {reunir*}
Solución
El truco estándar utilizado para evaluar∫sec3xdx es la integración por partes.
- Estableceru=secx,dv=sec2xdx. Por lo tantodu=secxtanxdx,v=tanx y
\ begin {alinear*}\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ sec x} _ {u}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {dv}\\ &=\ underbrackets {\ sec x} _ {u}\\ underbrackets {\ tan x} _ {v} -\ int\ underbrackets {bronceados\ x} _ {v}\\ underbrackets {\ seg x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\ final {alinear*}
- Yatan2x+1=sec2x, que tenemostan2x=sec2x−1 y
\ begin {alinear*}\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ seg x\\ tan x -\ int [\ seg^3 x-\ seg x]\, d {x}\ &=\ seg x\\ tan x +\ log|\ seg x+\ tan x|+C -\ int\ seg^3 x\, d {x}\ end {align*}
donde usamos∫secxdx=log|secx+tanx|+C, lo que vimos en el Ejemplo 1.8.19. - Ahora moviendo el∫sec3xdx del lado derecho al lado izquierdo
\ begin {alinear*} 2\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ seg x\ tan x +\ log|\ sec x+\ tan x|+C &\ texto {y así}\\\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x +\ frac {1} {2}\ log|\ seg x+\ tan x|+C\ final {alinear*}
para una nueva constante arbitrariaC (que es apenas la mitad de la anterior).
La integral también∫sec3dx puede ser evaluada por otros dos métodos.
- u=sinx,du=cosxdxSustituir para∫sec3xdx convertir∫du[1−u2]2 y evaluar este último utilizando el método de fracciones parciales. Esto se hace en el Ejemplo 1.10.6 en la Sección 1.10.
- Utilice lau=tanx2 sustitución. Utilizamos este método para evaluar∫csc3xdx en el Ejemplo 1.8.23, a continuación.
Solución
Usemos la sustitución de medio ángulo que introdujimos en el Ejemplo 1.8.21.
- En este método establecemos
\ begin {align*} u&=\ tan\ frac {x} {2}\ quad\, d {x} =\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ quad\ sin x=\ frac {2u} {1+u^2}\ quad\ cos x=\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ end {align*}
- La integral se convierte entonces
\ begin {align*}\ int\ csc^3 x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ sin^3 x}\, d {x}\\ &=\ int {\ grande (\ frac {1+u^2} {2u}\ Grande)} ^3\\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\\ =\ frac {1} {4}\ int\ frac {1+2u^2+u^4} {u^3}\, d {u}\\ &=\ frac {1} {4}\ Grande\ {\ frac {u^ {-2}} {-2} +2\ log|u|+\ frac {u^2} {2}\ Grande\} +C\ &=\ frac {1} {8}\ Grande\ {-\ cot^2\ frac {x} {2} +4 \ log\ Big|\ tan\ frac {x} {2}\ Big| +\ tan^2\ frac {x} {2}\ Grande\} +C\ end {align*}
¡Oof! - Esta es una respuesta perfectamente aceptable. Pero si no te gustan losx2's, pueden ser eliminados usando
\ begin {align*}\ tan^2\ frac {x} {2} -\ cot^2\ frac {x} {2} &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2}} {\ cos^2\ frac {x} {2}} -\ frac {\ cos^2\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^4\ frac {x} {2} -\ cos^4\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ frac {\ grande (\ sin^2\ frac {x} 2} -\ cos^2\ frac {x} {2}\ grande)\ grande (\ sin^2\ frac {x} { 2} +\ cos^2\ frac {x} {2}\ grande)} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\ qquad\ text {desde $\ sin^2\ frac {x} {2} +\ cos^2\ frac {x} {2} =1$}\\ &=\ frac {-\ cos x} {\ frac {1} {4}\ sin^2x}\ qquad\ qquad\ texto {por} {\ texto {1.8.2}}\ texto {y} {\ texto {1.8.3}}\ end {align*}
y\ begin {align*}\ tan\ frac {x} {2} &=\ frac {\ sin\ frac {x} {2}} {\ cos\ frac {x} {2}} =\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2}} {\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}} =\ frac {\ frac {1} {2} [1-\ cos x]} {\ frac {1} {2}\ sin x}\ qquad\ qquad\ qquad\ texto {por}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityB.html} {\ text {1.8.2}}\ texto {y}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityC.html} {\ text {1.8.3}}\ end {align*}
Así que también podemos escribir\ comenzar {reunir*}\ int\ csc^3 x\, d {x} =-\ frac {1} {2}\ cuna x\ csc x +\ frac {1} {2}\ log|\ csc x-\ cuna x|+C\ final {reunir*}
Esa última sección opcional fue un poco aterradora — volvamos a algo un poco más fácil.
Ejercicios
Recordemos que estamos usandologx para denotar el logaritmo dex con basee. En otros cursos a menudo se denotalnx.
Etapa 1
Supongamos que quieres evaluar∫π/40sinxcosnxdx usando la sustituciónu=cosx. ¿Cuál de los siguientes necesita ser cierto para que tu sustitución funcione?
- ndebe ser parejo
- ndebe ser impar
- ndebe ser un entero
- ndebe ser positivo
- npuede ser cualquier número real
Evaluar∫secnxtanxdx, dónden es un entero estrictamente positivo.
Derivar la identidadtan2x+1=sec2x a partir de la identidad más fácil de recordarsin2x+cos2x=1.
Etapa 2
Las preguntas 4 a 10 tratan sobre los poderes de los senos y los cosenos. Revisar la Sección 1.8.1 en las notas para estrategias de integración.
Las preguntas 12 a 21 tratan sobre los poderes de tangentes y secantes. Revisar la Sección 1.8.2 en las notas para estrategias.
Evaluar∫cos3xdx.
Evaluar∫π0cos2xdx.
Evaluar∫sin36tcos3tdt.
Evaluar∫sin3xcos4xdx.
Evaluar∫π/30sin4xdx.
Evaluar∫sin5xdx.
Evaluar∫sin1.2xcosxdx.
Evaluar∫tanxsec2xdx.
Evaluar∫tan3xsec5xdx.
Evaluar∫sec4xtan46xdx.
Evaluar∫tan3xsec1.5xdx.
Evaluar∫tan3xsec2xdx.
Evaluar∫tan4xsec2xdx.
Evaluar∫tan3xsec−0.7xdx.
Evaluar∫tan5xdx.
Evaluar∫π/60tan6xdx.
Evaluar∫π/40tan8xsec4xdx.
Evaluar∫tanx√secxdx.
Evaluar∫sec8θtaneθdθ.
Etapa 3
Una fórmula de reducción.
- Dejarn ser un entero positivo conn≥2. Derivar la fórmula de reducción
∫tann(x)dx=tann−1(x)n−1−∫tann−2(x)dx.
- Calcular∫π/40tan6(x)dx.
Evaluar∫tan5xcos2xdx.
Evaluar∫1cos2θdθ.
Evaluar∫cotxdx.
Evaluar∫exsin(ex)cos(ex)dx.
Evaluar∫sin(cosx)sin3xdx.
Evaluar∫xsinxcosxdx.
- El lector más pedante podría construir una lista infinita de ellos.
- Tendrás que memorizar las derivadas de tangente y secante. Sin embargo no hay necesidad de memorizar1+tan2x=sec2x. Para derivarlo muy rápidamente solo dividirlosin2x+cos2x=1 porcos2x.
- Agradecemos a Serban Raianu por traer esto a nuestra atención.