1.8: Integrales trigonométricas

Integrales de polinomios de las funciones trigonométricas$\sin x\text{,}$$\cos x\text{,}$$\tan x$ y así sucesivamente, generalmente se evalúan mediante el uso de una combinación de sustituciones simples e identidades trigonométricas. Por supuesto, hay un número ¹ muy grande de identidades trigonométricas, pero generalmente usamos solo un puñado de ellas. Los tres más importantes son:

Ecuación 1.8.1

$$\begin{align*} \sin^2 x +\cos^2 x &= 1 \end{align*}$$

Ecuación 1.8.2

$$\begin{align*} \sin(2x)&=2\sin x\cos x \end{align*}$$

Ecuación 1.8.3

$$\begin{align*} \cos(2x)&=\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=2\cos^2 x - 1\\ &=1-2\sin^2 x \end{align*}$$

Observe que las dos últimas líneas de la Ecuación 1.8.3 siguen de la primera línea reemplazando$\sin^2x$ o$\cos^2x$ usando la Ecuación 1.8.1. También es útil reescribir estas dos últimas líneas:

Ecuación 1.8.4

$$\begin{align*} \sin^2 x &= \frac{1-\cos(2x)}{2} \end{align*}$$

Ecuación 1.8.5

$$\begin{align*} \cos^2 x &= \frac{1+\cos(2x)}{2} \end{align*}$$

Estos dos últimos son particularmente útiles ya que nos permiten reescribir potencias superiores de seno y coseno en términos de potencias inferiores. Por ejemplo:

\ begin {alinear*}\ sin^4 (x) &=\ left [\ frac {1-\ cos (2x)} {2}\ derecha] ^2 &\ text {por Ecuación} {\ text {1.8.4}}\\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ underbrackets {\ cos^2 (2x)} _ {\ text {hazlo de nuevo}} &\ text {use Ecuación} {\ text {1.8.5}}\\ &=\ frac {1} {4} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ left (1 +\ cos (4x)\ derecha)\\ &=\ frac {3} {8} -\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x)\ end {alinear*}

Entonces, si bien era difícil integrarse$\sin^4(x)$ directamente, la expresión final es bastante sencilla (con una pequeña regla de sustitución).

Existen muchos trucos de este tipo para integrar poderes de funciones trigonométricas. Aquí nos concentramos en dos familias

\ begin {alinear*}\ int\ sin^mx\ cos^nx\, d {x} &&\ text {y} &&\ int\ tan^mx\ seg^nx\, d {x}\ end {alinear*}

para entero$n,m\text{.}$ Los detalles de la técnica dependen de la paridad de$n$ y$m$ — es decir, si$n$ y$m$ son números pares o impares.

Integrando$\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}$

Uno de$n$ and $m$ is odd

Considera$\int \sin^2x \cos x\, d{x}\text{.}$ lo integral Podemos integrar esto sustituyendo$u=\sin x$ y$\, d{u}=\cos x \, d{x}\text{.}$ Esto da

\ begin {align*}\ int\ sin^2x\ cos x\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\\ &=\ frac {1} {3} u^3+C =\ frac {1} {3}\ sen ^3x +C\ end {align*}

Este método se puede utilizar siempre que$n$ sea un entero impar.

• Sustituto$u=\sin x$ y$\, d{u}=\cos x\, d{x}\text{.}$
• Esto deja un poder uniforme de cosenos: conviértelos usando$\cos^2x = 1-\sin^2x = 1-u^2\text{.}$

Aquí hay un ejemplo.

Ejemplo 1.8.6$\int \sin^2 x\cos^3 x\, d{x}$

Comience por factorizar una potencia de$\cos x$ combinar con$dx$ para obtener$\cos x\, d{x}=\, d{u}\text{.}$

\ begin {alinear*}\ int\ sin^2 x\ cos^3 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ sin^2 x} _ {=u^2}\ underbrackets {\ cos^2 x} _ {=1-u^2}\\ underbrackets {\ cos x\, d {x}} _ {=\, d {u}} &\ texto {conjunto u=\ sin x$}\\ &=\ int u^2\ (1-u^2)\, d {u}\\ &=\ frac {u^3} {3} -\ frac {u^5} {5} +C\ &=\ frac {\ sin^3x} {3} -\ frac {\ sin^5x} {5} +C\ end {align*}

Por supuesto si$m$ es un entero impar podemos usar la misma estrategia con los roles de$\sin x$ e$\cos x$ intercambiados. Es decir, sustituimos$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\, d{x}$ y$\sin^2 x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$

Ambos$n$ and $m$ are even

Si$m$ y$n$ son ambos pares, la estrategia es utilizar las identidades trigonométricas 1.8.4 y 1.8.5 para volver al caso$m$ o$n$ impar. Esto suele ser más laborioso que el caso anterior que estudiamos. Aquí hay un par de ejemplos que surgen con bastante frecuencia en las aplicaciones.

Ejemplo 1.8.7$\int \cos^2 x\, d{x}$

Por 1.8.5

$$\int \cos^2 x\, d{x} = \frac{1}{2}\int \big[1+\cos(2x)\big]\, d{x} = \frac{1}{2} \Big[x+\frac{1}{2}\sin(2x)\Big] + C \nonumber$$

Ejemplo 1.8.8$\int \cos^4 x\, d{x}$

Primero prepararemos el integrand$\cos^4x$ para una fácil integración aplicando 1.8.5 un par de veces. Ya hemos usado 1.8.5 una vez para obtener

\ comenzar {reunir*}\ cos^2 x =\ frac {1} {2}\ grande [1+\ cos (2x)\ grande]\ fin {reunir*}

Al cuadrar le da

\ begin {reunir*}\ cos^4 x =\ frac {1} {4}\ grande [1+\ cos (2x)\ grande] ^2 =\ frac {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ end {reunir*}

Ahora por 1.8.5 por segunda vez

\ begin {alinear*}\ cos^4 x &=\ frac {1} {4} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ frac {1+\ cos (4x)} {2}\ &=\ frac {3} {8} +\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8}\ cos (4x)\ end {align*}

Ahora es fácil de integrar

\ begin {alinear*}\ int\ cos^4 x\, d {x} &=\ frac {3} {8}\ int dx+\ frac {1} {2}\ int\ cos (2x)\, d {x} +\ frac {1} {8}\ int\ cos (4x)\, d {x}\ &=\ frac {3} {8} x+\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) + C\ end {align*}

Ejemplo 1.8.9$\int \cos^2x \sin^2x\, d{x}$

Aquí aplicamos tanto 1.8.4 como 1.8.5.

$$\begin{align*} \int \cos^2x \sin^2x\, d{x} &= \frac{1}{4} \int \big[1+\cos(2x)\big] \big[1-\cos(2x)\big] \, d{x}\\ &= \frac{1}{4} \int \big[ 1-\cos^2(2x) \big] \, d{x}\\ \end{align*}$$

Luego podemos aplicar 1.8.5 nuevamente

\ begin {alinear*} &=\ frac {1} {4}\ int\ grande [1-\ frac {1} {2}\ izquierda (1+\ cos (4x)\ derecha)\ grande]\, d {x}\\ &=\ frac {1} {8}\ int\ grande [1 -\ cos (4x)\ grande]\, d {x}\\ &= ac {1} {8} x -\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C\ final {alinear*}

¡Oof! También podríamos haber hecho esto usando 1.8.2 para escribir el integrand como$\sin^2(2x)$ y luego usar 1.8.4 para escribirlo en términos de$\cos(4x)\text{.}$

Ejemplo 1.8.10$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ and $\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$

Por supuesto que podemos calcular la integral definida$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ usando la antiderivada para la$\cos^2 x$ que encontramos en el Ejemplo 1.8.7. Pero aquí hay una manera más difícil de evaluar esa integral, y también la integral$\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$ a la vez, muy rápidamente sin necesidad de la antiderivada del Ejemplo 1.8.7.

Solución

• Observe eso$\int_0^\pi \cos^2 x\, d{x}$ y$\int_0^\pi \sin^2 x\, d{x}$ son iguales porque representan la misma área —mire las gráficas de abajo— las regiones sombreadas oscuras en las dos gráficas tienen la misma área y las regiones ligeramente sombreadas en las dos gráficas tienen la misma área.

• En consecuencia,

  \ begin {alinear*}\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x} =\ int_0^\ pi\ sen ^2 x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ bigg [\ int_0^\ pi\ sen ^2 x\, d {x} +\ int_0^\ pi\ cos^2 x\, d {x}\ bigg]\\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi\ grande [\ sen ^2 x+\ cos^2 x\ grande]\, d {x}\\ &=\ frac {1} {2}\ int_0^\ pi dx\ &=\ frac {\ pi} {2}\ end {align*}

Integrando$\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}$

La estrategia para tratar estas integrales es similar a la estrategia que utilizamos para evaluar integrales de la forma$\int \sin^m x\cos^n x\, d{x}$ y de nuevo depende de la paridad de los exponentes$n$ y$m\text{.}$ utiliza ²

\ begin {alinear*}\ frac {d} {dx}\ tan x &=\ seg^2 x &\ frac {d} {dx}\ seg x &=\ seg x\,\ tan x & 1+\ tan^2x &=\ seg^2 x\ end {alinear*}

Dividimos los métodos para integrarlos$\int \tan^m x\sec^n x\, d{x}$ en 5 casos que enumeramos a continuación. Estos se volverán mucho más claros después de un ejemplo (o dos).

1. Cuando$m$ es impar y cualquiera$n$ — reescribe el integrando en términos de$\sin x$ y$\cos x\text{:}$

   \ begin {alinear*}\ tan^m x\,\ seg^n x\, d {x} &=\ izquierda (\ frac {\ sin x} {\ cos x}\ derecha) ^m\ izquierda (\ frac {1} {\ cos x}\ derecha) ^n\, d {x}\ &=\ frac {\ sin^ {m-1} x} {\ cos^ {n+m} x}\\ sin x\, d {x}\ final {alinear*}

   y luego sustituir$u=\cos x\text{,}$$\, d{u} = -\sin x\, d{x}\text{,}$$\sin^2x = 1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$ Ver Ejemplos 1.8.11 y 1.8.12.
2. Alternativamente, si$m$ es impar y$n \geq 1$ mover un factor de$\sec x\,\tan x$ hacia un lado para que se pueda ver$\sec x\,\tan x\, d{x}$ en la integral, y sustituir$u=\sec x\text{,}$$\, d{u}=\sec x\,\tan x\,\, d{x}$ y$\tan^2 x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$ Ver Ejemplo 1.8.13.
3. Si$n$ es par con$n\ge 2\text{,}$ mover un factor de$\sec^2 x$ a un lado para que se pueda ver$\sec^2 x\, d{x}$ en la integral, y sustituto$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\,\, d{x}$ y$\sec^2 x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$ Ver Ejemplo 1.8.14.
4. Cuando$m$ es par y$n=0$ —es decir el integrando es solo un poder par de tangente— todavía podemos usar la$u=\tan x$ sustitución, después de usar$\tan^2x = \sec^2 x - 1$ (posiblemente más de una vez) para crear un$\sec^2 x\text{.}$ Ver Ejemplo 1.8.16.
5. Esto deja el caso$n$ par$m$ e impar. Existen estrategias como las anteriores para tratar este caso. Pero son más complicados y además implican más trucos (que básicamente hay que memorizar). Los ejemplos que los utilizan se proporcionan en la sección opcional titulada “Integrando$\sec x\text{,}$$\csc x\text{,}$$\sec^3 x$ y$\csc^3 x$”, a continuación. Una estrategia más directa utiliza otra técnica llamada “fracciones parciales”. Volveremos a esta estrategia después de haber aprendido sobre fracciones parciales. Ver Ejemplo 1.10.5 y 1.10.6 en la Sección 1.10.

$m$ is odd — odd power of tangent

En este caso reescribimos el integrando en términos de seno y coseno y luego sustituimos$u=\cos x, \, d{u}=-\sin x \, d{x}\text{.}$

Ejemplo 1.8.11$\int \tan x\, d{x}$

Solución

• Escribe el integrando$\tan x=\frac{1}{\cos x}\sin x\text{.}$
• Ahora sustituya$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}$ tal como lo hicimos en el tratamiento de los integrandos de la forma$\sin^mx\,\cos^nx$ con$m$ impar.

  \ begin {align*}\ int\ tan x\,\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ qquad\ qquad\ texto {sustituto $u=\ cos x$}\\ &=\ int\ frac {1} {u}\ cdot (-1)\, d {u}\\ &=-\ log|u|+C\\ &=-\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|+C\ qquad\ qquad\ texto {también puede escribir en términos de secante}\\ &=\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|^ {-1} +C =\ log\ izquierda|\ sec x\ derecha|+C\ end {alinear*}

Ejemplo 1.8.12$\int \tan^3 x\, d{x}$

Solución

• Escribe el integrando$\tan^3 x=\frac{\sin^2x}{\cos^3 x}\sin x\text{.}$
• De nuevo sustituto$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}\text{.}$ Reescribimos los restantes poderes pares de$\sin x$ usar$\sin^2x=1-\cos^2x=1-u^2\text{.}$
• De ahí

  \ begin {align*}\ int\ tan^3 x\,\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin^2x} {\ cos^3x}\ sin x\,\, d {x}\ qquad\ texto {sustituto $u=\ cos x$}\\ &=\ int\ frac {1-u^2} {u^3} (-1)\, d {u {}\\ &=\ frac {u^ {-2}} {2} +\ log|u|+C\\ &=\ frac {1} {2\ cos^2 x} +\ log\ izquierda|\ cos x\ derecha|+C\ qquad\ text {reescribir en términos de secante}\\ &=\ frac { 1} {2}\ seg^2 x -\ log\ izquierda|\ sec x\ derecha|+C\ final {alinear*}

$m$ is odd and $n\geq 1$ — odd power of tangent and at least one secant

Aquí recogemos un factor de$\tan x \sec x$ y luego$\, d{u} = \sec x \tan x \, d{x}\text{.}$ sustituimos$u = \sec x$ y luego podemos reescribir cualquier restante incluso poderes de$tan x$ en términos de$\sec x$ uso$\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$

Ejemplo 1.8.13$\int \tan^3 x\sec^4 x\, d{x}$

Solución

• Comience factorizando una copia de$\sec x\tan x$ y combínelo con$dx$ para formar$\sec x\tan x\, d{x}\text{,}$ el cual será$\, d{u}\text{.}$
• Ahora sustituya$u=\sec x\text{,}$$\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x}$ y$\tan^2x = \sec^2 x-1=u^2-1\text{.}$
• Esto da

  \ begin {alinear*}\ int\ tan^3x\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ tan^2 x} _ {u^2-1}\\ underbrackets {\ seg^3 x} _ {u^3}\\ underbrackets {\ seg x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ grande [u^2-1] u^3\, d {u}\\ &=\ frac {u^6} {6} -\ frac {u^4} {4} +C\\ &=\ frac {1} {6}\ seg^6 x-\ frac {1} {4}\ seg^4 x + C\ final {alinear*}

$n\geq 2$ is even — a positive even power of secant

En el caso anterior sustituimos$u = \sec x\text{,}$ mientras que en este caso sustituimos$u=\tan x\text{.}$ Cuando hacemos esto escribimos$\, d{u}=\sec^2 x \, d{x}$ y luego reescribimos los restantes incluso poderes de$\sec x$ como poderes de$\tan x$ uso$\sec^2x = 1+\tan^2x=1+u^2\text{.}$

Ejemplo 1.8.14$\int \sec^4 x\, d{x}$

Solución

• Factorizar una copia$\sec^2 x$ y combinarla con$dx$ para formar$\sec^2 x\, d{x}\text{,}$ que será$\, d{u}\text{.}$
• Luego sustituya$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}$ y reescriba los poderes pares restantes de$\sec x$ como poderes de$\tan x=u$ uso$\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$
• Esto da

  \ begin {alinear*}\ int\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ seg^2 x} _ {1+u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ grande [1+u^2]\, d {u}\\ &=u+\ frac {u^3} {3} +C\\ &=\ tan x+\ frac {1} {3}\ tan^3 x + C\ final {alinear*}

Ejemplo 1.8.15$\int \tan^3 x\sec^4x \, d{x}$ — redux

Solución

Revisemos este ejemplo usando este enfoque ligeramente diferente.

• Factorizar una copia$\sec^2 x$ y combinarla con$dx$ para formar$\sec^2 x\, d{x}\text{,}$ que será$\, d{u}\text{.}$
• Luego sustituya$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}$ y reescriba los poderes pares restantes de$\sec x$ como poderes de$\tan x=u$ uso$\sec^2x = 1+\tan^2 x=1+u^2\text{.}$
• Esto da

  \ begin {alinear*}\ int\ tan^3x\ seg^4 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ tan^3x} _ {u^3}\ underbrackets {\ seg^2 x} _ {1+u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}}\\ &=\ int\ big [u^3+u^5]\, d {u}\\ &=\ frac {u^4} {4} +\ frac {u^6} {6} + C\\ &=\ frac {1} {4}\ tan^4 x+\ frac {1} {6}\ tan^6 x + C\ end {align*}

• Esto no es exactamente lo mismo que la respuesta que obtuvimos arriba en el Ejemplo 1.8.13. Sin embargo podemos demostrar que son (casi) equivalentes. Para ello sustituimos$v=\sec x$ y$\tan^2x=\sec^2x-1 = v^2-1\text{:}$

  \ begin {alinear*}\ frac {1} {6}\ tan^6x +\ frac {1} {4}\ tan^4x &=\ frac {1} {6} (v^2-1) ^3 +\ frac {1} {4} (v^2-1) ^2\\ &=\ frac {1} {6} (v^6-3v^4+3v^2-1) +\ frac {1} {4} (v^4-2v^2+1)\\ &=\ frac {v^6} {6} -\ frac {v^4} {2} +\ frac {v^2} {2} -\ frac {1} {6} +\ frac {v^4} {4} -\ frac {v^2} {2}} +\ frac {1} {4}\\ &=\ frac {v^6} {6} -\ frac {v^4} {4} + 0\ cdot v^2 +\ izquierda (\ frac {1} {4} -\ frac {1} {6}\ derecha)\\ &=\ frac {1} {6}\ seg^6x -\ frac {1} {4}\ sec^4x +\ frac {1} {12}. \ end {alinear*}

  Entonces mientras solo$\frac{1}{6}\tan^6x + \frac{1}{4}\tan^4x \neq \frac{1}{6}\sec^6x - \frac{1}{4}\sec^4x\text{,}$ difieren por una constante. Por lo tanto, ambos son antiderivados válidos de$\tan^3 x\sec^4x\text{.}$

$m$ is even and $n=0$ — even powers of tangent

Integramos esto configurando$u=\tan x\text{.}$ Para que esto funcione necesitamos tirar un factor de$\sec^2x$ a un lado para formar$\, d{u}=\sec^2x\, d{x}\text{.}$ Para encontrar este factor de$\sec^2x$ aplicamos (quizás repetidamente) la identidad$\tan^2x=\sec^2x-1\text{.}$

Ejemplo 1.8.16$\int \tan^4 x\, d{x}$

Solución

• No hay$\sec^2x$ término presente, así que intentamos crearlo a partir$\tan^4x$ del uso$\tan^2x = \sec^2 x - 1\text{.}$

  \ begin {alinear*}\ tan^4 x &=\ tan^2 x\ cdot\ tan^2 x\\ &=\ tan^2 x\ big [\ seg^2 x - 1\ grande]\\ &=\ tan^2x\ seg^2 x-\ underbrackets {\ tan^2 x} _ {\ seg^2x-1}\\ & =\ tan^2x\ seg^2 x-\ seg^2 x + 1\ final {alinear*}

• Ahora podemos sustituir$u=\tan x\text{,}$$\, d{u}=\sec^2 x\, d{x}\text{.}$

  \ begin {alinear*}\ int\ tan^4 x\, d {x} & =\ int\ underbrackets {\ tan^2x} _ {u^2}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u}} -\ int\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ int u^2\, d {u} -\ int\, d {u} +\ int\, d {x}\\ &=\ frac {u^3} {3} -u+x+C\\ &=\ frac {\ tan^3x} {3} -\ tan x +x +C\ end {align*}

Ejemplo 1.8.17$\int \tan^8x \, d{x}$

Solución

Intentemos el mismo enfoque.

• Primero saca un factor de$\tan^2x$ para crear un$\sec^2x$ factor: $$\begin{align*} \tan^8x &= \tan^6x \cdot \tan^2x\\ &= \tan^6x \cdot \big[ \sec^2x - 1\big]\\ &= \tan^6x \sec^2x - \tan^6x\\ \end{align*}$$

  El primer término ya está listo para ser integrado, pero necesitamos volver a aplicar el método al segundo término:

  \ begin {align*} &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ cdot\ big [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^4x\ tan^4x\ qquad\ text {hazlo de nuevo}\\\ &=\ tan^6x sec^2x -\ tan^4x\ ^2x +\ tan^2x\ cdot\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ tan^2x -\ tan^2x\ qquad\ text {y otra vez}\\ &=\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ big [\ seg^2x-1\ grande]\ end {alinear*}
• De ahí

  \ begin {align*} &\ int\ tan^8x\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ left [\ tan^6x\ seg^2x -\ tan^4x\ seg^2x +\ tan^2x\ seg^2x -\ seg^2x +1\ derecha]\, d {x}\ &\ hskip0.25in=\ int\ left [\ tan^6x -\ tan^4x +\ tan^2x - 1\ derecha]\ seg^2x\, d {x} +\ int\, d {x}\\ &\ hskip0.25in=\ int\ izquierda [u^6 - u^4 +u^2 - 1\ derecha]\, d {u} + x +C\\ &\ hskip0.25in=\ frac {u^7} {7} -\ frac {u^5} {5} {5} +\ frac {u^3} {3} - u + x +C\\ &\ hskip0.25in=\ frac {1} {7}\ tan^7x -\ frac {1} {5}\ tan^5x +\ frac {1} {3}\ tan^3x -\ tan x + x +C\ final {alinear*}

De hecho, este ejemplo sugiere que para el número entero$k\geq 0\text{:}$

\ begin {alinear*}\ int\ tan^ {2k} x\, d {x} &=\ frac {1} {2k-1}\ tan^ {2k-1} (x) -\ frac {1} {2k-3}\ tan^ {2k-3} x +\ cdots\\ &\ hskip1.0in - (-1) ^k\ x bronceado + (-1) ^k ^k x +C\ final {alinear*}

Este último ejemplo también muestra cómo podríamos integrar un poder impar de tangente:

Ejemplo 1.8.18$\int \tan^7 x$

Solución

Seguimos los mismos pasos

• Extraiga un factor de$\tan^2x$ para crear un factor de$\sec^2x\text{:}$

  \ begin {align*}\ tan^7x &=\ tan^5x\ cdot\ tan^2x\\ &=\ tan^5x\ cdot\ big [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^5x\ qquad\ text {hazlo de nuevo}\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ cdot\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ tan^3x\ qquad\ texto {y otra vez}\\ &=\ tan^5 x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ tan x\ grande [\ seg^2x - 1\ grande]\\ &=\ tan^5x\ seg^2x -\ tan^3x\ seg^2x +\ bronceado x\ seg^2x -\ tan x\ end {alinear*}

• Ahora podemos sustituir$u=\tan x$$\, d{u}=\sec^2x \, d{x}$ y también usar el resultado del Ejemplo 1.8.11 para encargarnos del último término: $$\begin{align*} \int \tan^7x\, d{x} &= \int \big[\tan^5x \sec^2x - \tan^3x \sec^2x + \tan x \sec^2x\big] \, d{x}\\ &\hskip2in- \int \tan x \, d{x}\\ \end{align*}$$

  Ahora factorizar el$\sec^2x$ término común e integrar$\tan x$ a través del Ejemplo 1.8.11

  \ begin {alinear*} &=\ int\ grande [\ tan^5x -\ tan^3x +\ tan x\ grande]\ sec x\, d {x} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ int\ grande [u^5 - u^3 + u\ grande]\, d {u} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ frac {^6} {6} -\ frac {u^4} {4} +\ frac {u^2} {2} -\ log|\ sec x| +C\\ &=\ frac {1} {6}\ tan^6x -\ frac {1} {4}\ tan^4x +\ frac {1} {2}\ tan^2x -\ log|\ seg x| + C\ final {alinear*}

Este ejemplo sugiere que para el número entero$k\geq 0\text{:}$

\ begin {alinear*}\ int\ tan^ {2k+1} x\, d {x} &=\ frac {1} {2k}\ tan^ {2k} (x) -\ frac {1} {2k-2}\ tan^ {2k-2} x +\ cdots\\ &\ hskip0.25in - (-1) ^k\ frac {1} {2}\ tan^2 x + (-1) ^k\ log|\ seg x| +C\ final {alinear*}

Por supuesto que no hemos considerado integrales que involucren poderes de$\cot x$ y$\csc x\text{.}$ Pero se pueden tratar de la misma manera que$\tan x$ y$\sec x$ fueron.

Opcional — Integración$\sec x\text{,}$$\csc x\text{,}$$\sec^3 x$ y$\csc^3 x$

Como se señaló anteriormente, cuando$n$ es impar y$m$ es par, se pueden utilizar estrategias similares a las de los casos anteriores. Sin embargo, los cálculos suelen estar más involucrados y es necesario desplegar más trucos. Por esta razón hacemos que esta sección sea opcional — los cómputos definitivamente no son triviales. En lugar de tratar de construir un “método” coherente para este caso, damos algunos ejemplos para dar la idea de qué esperar.

Ejemplo 1.8.19$\int \sec x\, d{x}$ — by trickery

Solución

Hay un truco muy furtivo para computar esta integral.

• El truco estándar para esta integral es multiplicar el integrando por$1=\frac{\sec x+\tan x}{\sec x+\tan x}$

  \ start {alinear*}\ seg x &=\ seg x\\ frac {\ seg x+\ tan x} {\ seg x+\ tan x} =\ frac {\ seg^2x +\ seg x\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\ end {alinear*}

• Observe ahora que el numerador de esta expresión es exactamente la derivada su denominador. De ahí que podamos sustituir$u=\sec x+\tan x$ y$\, d{u} = (\sec x\tan x+\sec^2 x)\,\, d{x}\text{.}$
• De ahí

  \ begin {alinear*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ int\ seg x\ frac {\ seg x+\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\, d {x} =\ int\ frac {\ seg^2 x+\ seg x\ tan x} {\ seg x+\ tan x}\, d {x}\\ &=\ int\ frac {1} {u}\, d {u}\\ &=\ log |u|+C\\ &=\ log|\ seg x+\ tan x|+C\ final {alinear*}

• El truco anterior aparece a la vez totalmente inadivinable y muy difícil de recordar. Afortunadamente, hay una forma sencilla ³ de recuperar el truco. Aquí está.
  • El objetivo es adivinar una función cuya derivada es$\sec x\text{.}$
  • Así que saca una tabla de derivados y busca funciones cuyas derivadas al menos contengan$\sec x\text{.}$ Hay dos:

    \ start {alinear*}\ frac {d} {dx}\ tan x &=\ seg^2 x\\ frac {d} {dx}\ seg x &=\ tan x\,\ seg x\ final {alinear*}

  • Observe que si sumamos estos juntos obtenemos

    \ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ big (\ sec x+\ tan x\ big) &= (\ sec x+\ tan x)\ sec x &\ implica\\ frac {\ frac {d} {dx}\ big (\ seg x+\ tan x\ big)} {\ seg x+\ tan x} &=\ seg x\ end {align*}

  • ¡Lo hemos hecho! El lado derecho es$\sec x$ y el lado izquierdo es el derivado de$\log|\sec x+\tan x|\text{.}$

Hay otro método de integración$\int \sec x\, d{x}\text{,}$ que es más tedioso, pero más directo. En particular, no implica un truco memorizado. Primero usamos la sustitución$u=\sin x\text{,}$$\, d{u}=\cos x\,\, d{x}\text{,}$ junto con$\cos^2 x = 1-\sin^2x=1-u^2\text{.}$ Esto convierte la integral en

\ begin {alinear*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ cos x}\, d {x} =\ int\ frac {\ cos x\\, d {x}} {\ cos^2 x}\\ &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ big|_ {u=\ sin x}\ final {alinear*}

El integrando$\frac{1}{1-u^2}$ es una función racional, es decir, una relación de dos polinomios. Existe un procedimiento, llamado método de fracciones parciales, que puede ser utilizado para integrar cualquier función racional. Lo conoceremos en la Sección 1.10 “Fracciones Parciales”. La evaluación detallada de la integral$\int \sec x\,\, d{x}=\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$ por el método de fracciones parciales se presenta en el Ejemplo 1.10.5 a continuación.

Además, existe un truco estándar para evaluar$\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$ que nos permite evitar pasar por todo el algoritmo de fracciones parciales.

Ejemplo 1.8.20$\int \sec x\, d{x}$ — by more trickery

Solución

Ya hemos visto que

\ start {alinear*}\ int\ seg x\, d {x} &=\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg|_ {u=\ sin x}\ end {alinear*}

El truco utiliza las obervaciones que

• $\frac{1}{1-u^2}=\frac{1+u-u}{1-u^2}=\frac{1}{1-u}-\frac{u}{1-u^2}$
• $\frac{1}{1-u}$tiene antiderivado$-\log(1-u)$ (para$u\lt 1$)
• La derivada$\dfrac{d}{du}(1-u^2)=-2u$ del denominador de$\frac{u}{1-u^2}$ es la misma, hasta un factor de$-2\text{,}$ como el numerador de$\frac{u}{1-u^2}\text{.}$ Así podemos evaluar fácilmente la integral de$\frac{u}{1-u^2}$ sustituyendo$v=1-u^2\text{,}$$\, d{v}=-2u\,\, d{u}\text{.}$

  \ begin {reunir*}\ int\ frac {u\,\, d {u}} {1-u^2} =\ int\ frac {\ frac {\, d {v}} {-2}} {v}\ bigg|_ {v=1-u^2} =-\ frac {1} {2}\ log (1-u^2) +C\ end {reunir*}

La combinación de estas observaciones da

\ begin {align*}\ int\ sec x\, d {x} &=\ bigg [\ int\ frac {\, d {u}} {1-u^2}\ bigg] _ {u=\ sin x} =\ bigg [\ int\ frac {1} {1-u}\, d {u} -\ int\ frac {u} {1-u^2}\, d {u}\ bigg] _ {u=\ sin x}\ &=\ grande [-\ log (1-u) +\ frac {1} {2}\ log (1-u^2) +C\ Grande] _ {u=\ sin x}\\ &=-\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin^2 x) +C\\ &=-\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1-\ sin x) +\ frac {1} {2}\ log (1+\ sin x) +C\\ &=\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ final {alinear*}

Ejemplo 1.8.20 ha dado la respuesta

\ comenzar {reunir*}\ int\ seg x\, d {x} =\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} +C\ final {reunir*}

que parece ser diferente a la respuesta del Ejemplo 1.8.19. Pero son realmente los mismos desde

\ begin {alinear*} &\ frac {1+\ sin x} {1-\ sin x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {1-\ sin^2 x} =\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x}\\ implica\ &\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ sin x} 1-\ sin x} =\ frac {1} {2}\ log\ frac {(1+\ sin x) ^2} {\ cos^2 x} =\ log\ Big|\ frac {\ sin x+1} {\ cos x}\ Big| =\ log|\ tan x+\ sec x|\ end {align*}

¡Oof!

Ejemplo 1.8.21$\int \csc x\, d{x}$ — by the $u=\tan\frac{x}{2}$ substitution

Solución

La integral también$\int \csc x\, d{x}$ puede ser evaluada por ambos métodos anteriores. Eso es o

• multiplicando el integrando por un hábilmente elegido$1=\frac{\cot x-\csc x}{\cot x-\csc x}$ y luego sustituyendo$u=\cot x -\csc x\text{,}$$\, d{u} = (-\csc^2 x+\csc x \cot x)\,\, d{x}\text{,}$ o
• sustituyendo$u=\cos x\text{,}$$\, d{u}=-\sin x\,\, d{x}$ para dar$\int \csc x\, d{x}=-\int\frac{\, d{u}}{1-u^2}$ y luego usando el método de fracciones parciales.

Estos dos métodos dan las respuestas

\ begin {reunir}\ int\ csc x\, d {x} =\ log|\ cot x-\ csc x|+C =-\ frac {1} {2}\ log\ frac {1+\ cos x} {1-\ cos x} +C\ etiqueta {eq_intcscint}\ etiqueta {$\star$}\ fin {reunir}

En este ejemplo, evaluaremos$\int\csc x\, d{x}$ por todavía un tercer método, que puede ser utilizado para integrar funciones racionales ⁴ Una función racional de$\sin x$ and $\cos x$ is a ratio with both the numerator and denominator being finite sums of terms of the form $a\sin^m x\cos^n x\text{,}$ where $a$ is a constant and $m$ and $n$ are positive integers. de$\sin x$ y$\cos x\text{.}$

• Este método utiliza la sustitución

  \ begin {align*} x&=2\ arctan u &\ text {es decir} u &=\ tan\ frac {x} {2} &\ text {y}\, d {x} &=\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ end {align*}

  — una sustitución de medio ángulo.
• Para expresar$\sin x$ y$\cos x$ en términos de primero$u\text{,}$ usamos las identidades trigonométricas de doble ángulo (Ecuaciones 1.8.2 y 1.8.3 con$x \mapsto \frac{x}{2}$) para expresar$\sin x$ y$\cos x$ en términos de$\sin\frac{x}{2}$ y$\cos\frac{x}{2}\text{:}$

  \ begin {align*}\ sin x &= 2\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}\\ cos x &=\ cos^2\ frac {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2}\ end {align*}

• Luego usamos el triángulo

  

  para expresar$\sin\frac{x}{2}$ y$\cos\frac{x}{2}$ en términos$u\text{.}$ de Se han elegido los lados inferior y derecho del triángulo para que$\tan\frac{x}{2}=u\text{.}$ Esto nos diga que

  \ begin {align*}\ sin\ frac {x} {2} &=\ frac {u} {\ sqrt {1+u^2}} &\ cos\ frac {x} {2} &=\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}}\ end {align*}

• Esto a su vez implica que:

  \ begin {alinear*}\ sin x&=2\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2} =2\ frac {u} {\ sqrt {1+u^2}}\ frac {1} {\ sqrt {1+u^2}} =\ frac {2u} {1+u^2}\\ cos x&= 2\ frac {x} {2} -\ sin^2\ frac {x} {2} =\ frac {1} {1+u^2} -\ frac {u^2} {1+u^2} =\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ end {align*}

  ¡Oof!
• Usemos esta sustitución para evaluar$\int \csc x\,\, d{x}\text{.}$

  \ begin {alinear*}\ int\ csc x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ sin x}\, d {x} =\ int\ frac {1+u^2} {2u}\\ frac {2} {1+u^2}\, d {u} =\ int\ frac {1} {u}\, d {u}\ &=\ log|u|+C =\ log\ Big|\ tan\ frac {x} {2}\ Big|+C\ end {align*}

  Para ver que esta respuesta es realmente la misma que en ($\star$), tenga en cuenta que

  \ comenzar {reunir*}\ cuna x-\ csc x =\ frac {\ cos x-1} {\ sin x} =\ frac {-2\ sin^2 (x/2)} {2\ sin (x/2)\ cos (x/2)} =-\ tan\ frac {x} {2}\ fin {reunir*}

Ejemplo 1.8.22$\int \sec^3 x\, d{x}$ — by trickery

Solución

El truco estándar utilizado para evaluar$\int \sec^3 x\, d{x}$ es la integración por partes.

• Establecer$u=\sec x\text{,}$$\, d{v}=\sec^2 x\, d{x}\text{.}$ Por lo tanto$\, d{u}=\sec x\tan x\, d{x}\text{,}$$v=\tan x$ y

  \ begin {alinear*}\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ int\ underbrackets {\ sec x} _ {u}\\ underbrackets {\ seg^2 x\, d {x}} _ {dv}\\ &=\ underbrackets {\ sec x} _ {u}\\ underbrackets {\ tan x} _ {v} -\ int\ underbrackets {bronceados\ x} _ {v}\\ underbrackets {\ seg x\ tan x\, d {x}} _ {\, d {u}}\ final {alinear*}

• Ya$\tan^2 x+1=\sec^2 x\text{,}$ que tenemos$\tan^2 x=\sec^2 x-1$ y

  \ begin {alinear*}\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ seg x\\ tan x -\ int [\ seg^3 x-\ seg x]\, d {x}\ &=\ seg x\\ tan x +\ log|\ seg x+\ tan x|+C -\ int\ seg^3 x\, d {x}\ end {align*}

  donde usamos$\int \sec x\, d{x} = \log|\sec x+\tan x|+C\text{,}$ lo que vimos en el Ejemplo 1.8.19.
• Ahora moviendo el$\int \sec^3 x\, d{x}$ del lado derecho al lado izquierdo

  \ begin {alinear*} 2\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ seg x\ tan x +\ log|\ sec x+\ tan x|+C &\ texto {y así}\\\ int\ seg^3 x\, d {x} &=\ frac {1} {2}\ seg x\ tan x +\ frac {1} {2}\ log|\ seg x+\ tan x|+C\ final {alinear*}

  para una nueva constante arbitraria$C$ (que es apenas la mitad de la anterior).

La integral también$\int \sec^3\, d{x}$ puede ser evaluada por otros dos métodos.

• $u=\sin x\text{,}$$\, d{u}=\cos x\, d{x}$Sustituir para$\int\sec^3 x\, d{x}$ convertir$\int\frac{\, d{u}}{{[1-u^2]}^2}$ y evaluar este último utilizando el método de fracciones parciales. Esto se hace en el Ejemplo 1.10.6 en la Sección 1.10.
• Utilice la$u=\tan\frac{x}{2}$ sustitución. Utilizamos este método para evaluar$\int\csc^3 x\, d{x}$ en el Ejemplo 1.8.23, a continuación.

Ejemplo 1.8.23$\int \csc^3 x\, d{x}$ – by the $u=\tan\frac{x}{2}$ substitution

Solución

Usemos la sustitución de medio ángulo que introdujimos en el Ejemplo 1.8.21.

• En este método establecemos

  \ begin {align*} u&=\ tan\ frac {x} {2}\ quad\, d {x} =\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\ quad\ sin x=\ frac {2u} {1+u^2}\ quad\ cos x=\ frac {1-u^2} {1+u^2}\ end {align*}

• La integral se convierte entonces

  \ begin {align*}\ int\ csc^3 x\, d {x} &=\ int\ frac {1} {\ sin^3 x}\, d {x}\\ &=\ int {\ grande (\ frac {1+u^2} {2u}\ Grande)} ^3\\ frac {2} {1+u^2}\, d {u}\\ =\ frac {1} {4}\ int\ frac {1+2u^2+u^4} {u^3}\, d {u}\\ &=\ frac {1} {4}\ Grande\ {\ frac {u^ {-2}} {-2} +2\ log|u|+\ frac {u^2} {2}\ Grande\} +C\ &=\ frac {1} {8}\ Grande\ {-\ cot^2\ frac {x} {2} +4 \ log\ Big|\ tan\ frac {x} {2}\ Big| +\ tan^2\ frac {x} {2}\ Grande\} +C\ end {align*}

  ¡Oof!
• Esta es una respuesta perfectamente aceptable. Pero si no te gustan los$\frac{x}{2}$'s, pueden ser eliminados usando

  \ begin {align*}\ tan^2\ frac {x} {2} -\ cot^2\ frac {x} {2} &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2}} {\ cos^2\ frac {x} {2}} -\ frac {\ cos^2\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^4\ frac {x} {2} -\ cos^4\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ frac {\ grande (\ sin^2\ frac {x} 2} -\ cos^2\ frac {x} {2}\ grande)\ grande (\ sin^2\ frac {x} { 2} +\ cos^2\ frac {x} {2}\ grande)} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\\ &=\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2} -\ cos^2\ frac {x} {2}} {\ sin^2\ frac {x} {2}\ cos^2\ frac {x} {2}}\ qquad\ text {desde $\ sin^2\ frac {x} {2} +\ cos^2\ frac {x} {2} =1$}\\ &=\ frac {-\ cos x} {\ frac {1} {4}\ sin^2x}\ qquad\ qquad\ texto {por} {\ texto {1.8.2}}\ texto {y} {\ texto {1.8.3}}\ end {align*}

  y

  \ begin {align*}\ tan\ frac {x} {2} &=\ frac {\ sin\ frac {x} {2}} {\ cos\ frac {x} {2}} =\ frac {\ sin^2\ frac {x} {2}} {\ sin\ frac {x} {2}\ cos\ frac {x} {2}} =\ frac {\ frac {1} {2} [1-\ cos x]} {\ frac {1} {2}\ sin x}\ qquad\ qquad\ qquad\ texto {por}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityB.html} {\ text {1.8.2}}\ texto {y}\ knowl {. /knowl/eq_TRGINTtrigidentityC.html} {\ text {1.8.3}}\ end {align*}

  Así que también podemos escribir

  \ comenzar {reunir*}\ int\ csc^3 x\, d {x} =-\ frac {1} {2}\ cuna x\ csc x +\ frac {1} {2}\ log|\ csc x-\ cuna x|+C\ final {reunir*}

Esa última sección opcional fue un poco aterradora — volvamos a algo un poco más fácil.

Ejercicios

Recordemos que estamos usando$\log x$ para denotar el logaritmo de$x$ con base$e\text{.}$ En otros cursos a menudo se denota$\ln x\text{.}$

Etapa 1

1

Supongamos que quieres evaluar$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \sin x \cos^n x \, d{x}$ usando la sustitución$u=\cos x\text{.}$ ¿Cuál de los siguientes necesita ser cierto para que tu sustitución funcione?

1. $n$debe ser parejo
2. $n$debe ser impar
3. $n$debe ser un entero
4. $n$debe ser positivo
5. $n$puede ser cualquier número real

2

Evaluar$\displaystyle\int \sec^n x \tan x \, d{x}\text{,}$ dónde$n$ es un entero estrictamente positivo.

3

Derivar la identidad$\tan^2 x +1 = \sec^2 x$ a partir de la identidad más fácil de recordar$\sin^2x+\cos^2 x =1\text{.}$

Etapa 2

Las preguntas 4 a 10 tratan sobre los poderes de los senos y los cosenos. Revisar la Sección 1.8.1 en las notas para estrategias de integración.

Las preguntas 12 a 21 tratan sobre los poderes de tangentes y secantes. Revisar la Sección 1.8.2 en las notas para estrategias.

4 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int\cos^3x\,\, d{x}\text{.}$

5 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int_0^\pi\cos^2x\,\, d{x}\text{.}$

6 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int\sin^{36}t\,\cos^3t\,\, d{t}\text{.}$

7

Evaluar$\displaystyle\int \dfrac{\sin^3 x}{\cos ^4 x} \, d{x}\text{.}$

8

Evaluar$\displaystyle\int_0^{\pi/3} \sin^{4}x \, d{x}\text{.}$

9

Evaluar$\displaystyle\int \sin^{5}x \, d{x}\text{.}$

10

Evaluar$\displaystyle\int \sin^{1.2}x\cos x \, d{x}\text{.}$

11

Evaluar$\displaystyle\int \tan x \sec^2 x \, d{x}\text{.}$

12 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^5x \,\, d{x}\text{.}$

13 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int\sec^4x\,\tan^{46}x\,\, d{x}\text{.}$

14

Evaluar$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{1.5} x \, d{x}\text{.}$

15

Evaluar$\displaystyle\int \tan^3x\sec^2x \, d{x}\text{.}$

16

Evaluar$\displaystyle\int \tan^4 x \sec^2 x \, d{x}\text{.}$

17

Evaluar$\displaystyle\int \tan^3 x \sec^{-0.7}x \, d{x}\text{.}$

18

Evaluar$\displaystyle\int \tan^5 x \, d{x}\text{.}$

19

Evaluar$\displaystyle\int_0^{\pi/6} \tan^6 x \, d{x}\text{.}$

20

Evaluar$\displaystyle\int_0^{\pi/4} \tan^8 x \sec^4 x \, d{x}\text{.}$

21

Evaluar$\displaystyle\int \tan x \sqrt{\sec x} \, d{x}\text{.}$

22

Evaluar$\displaystyle\int \sec^{8}\theta \tan^{e}\theta \, d{\theta}\text{.}$

Etapa 3

23 (✳)

Una fórmula de reducción.

1. Dejar$n$ ser un entero positivo con$n\ge 2\text{.}$ Derivar la fórmula de reducción

   $$\int\tan^n(x)\,\, d{x}=\frac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} -\int\tan^{n-2}(x)\,\, d{x}. \nonumber$$

2. Calcular$\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan^6(x)\,\, d{x}\text{.}$

24

Evaluar$\displaystyle\int \tan^5 x \cos^2 x \, d{x}\text{.}$

25

Evaluar$\displaystyle\int \frac{1}{\cos^2 \theta}\, d{\theta}\text{.}$

26

Evaluar$\displaystyle\int \cot x\, d{x}\text{.}$

27

Evaluar$\displaystyle\int e^x\sin(e^x)\cos(e^x) \, d{x}\text{.}$

28

Evaluar$\displaystyle\int \sin(\cos x)\sin^3 x \, d{x}\text{.}$

29

Evaluar$\displaystyle\int x\sin x \cos x \, d{x}\text{.}$

1. El lector más pedante podría construir una lista infinita de ellos.
2. Tendrás que memorizar las derivadas de tangente y secante. Sin embargo no hay necesidad de memorizar$1+\tan^2x = \sec^2 x\text{.}$ Para derivarlo muy rápidamente solo dividirlo$\sin^2 x+\cos^2 x = 1$ por$\cos^2 x\text{.}$
3. Agradecemos a Serban Raianu por traer esto a nuestra atención.