1.12: Integrales inadecuadas

Definiciones

A este punto solo hemos considerado integrales de buen comportamiento\(\int_a^b f(x)\, d{x}\text{.}\) Aunque el álgebra involucrada en algunos de nuestros ejemplos fue bastante difícil, todas las integrales tenían

• límites finitos de integración\(a\)\(b\text{,}\) y
• un integrando limitado\(f(x)\) (y de hecho continuo excepto posiblemente por finitamente muchas discontinuidades de salto).

No todas las integrales que necesitamos estudiar son tan agradables.

Definición 1.12.1

Una integral que tiene un límite infinito de integración o un integrando no limitado se denomina integral impropia.

Dos ejemplos son

\ begin {align*}\ int_0^\ infty\ frac {dx} {1+x^2} &&\ text {and} &&\ int_0^1\ frac {dx} {x}\ end {align*}

El primero tiene un dominio infinito de integración y el integrando del segundo tiende a\(\infty\) como\(x\) se acerca al extremo izquierdo del dominio de integración. Empezaremos con un ejemplo que ilustre las trampas en las que puedes caer si tratas a tales integrales descuidadamente. Entonces veremos cómo tratarlos con cuidado.

Ejemplo 1.12.2\(\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\, d{x}\)

Considerar la integral

\ comenzar {reunir*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\ fin {reunir*}

Si “hacemos” esta integral completamente ingenuamente entonces obtenemos

\ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\ dx &=\ frac {x^ {-1}} {-1}\ bigg|_ {-1} ^1\\ &=\ frac {1} {-1} -\ frac {-1} {-1}\\ &=-2\ end {align*}

lo cual está mal ¹. De hecho, la respuesta es ridícula. El integrando\(\frac{1}{x^2} \gt 0\text{,}\) así que el integral tiene que ser positivo.

El defecto en el argumento es que el teorema fundamental del cálculo, que dice que

si\(F'(x)=f(x)\) entonces\(\int_a^b f(x)\,\, d{x}=F(b)-F(a)\)

es aplicable sólo cuando\(F'(x)\) existe y es igual\(f(x)\) para todos\(a\le x\le b\text{.}\) En este caso\(F'(x)=\frac{1}{x^2}\) no existe para\(x=0\text{.}\) La integral dada es impropia. Veremos más adelante que la respuesta correcta es\(+\infty\text{.}\)

Pongamos este ejemplo a un lado por un momento y volvamos a la integral\(\int_a^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}\text{.}\) En este caso, el integrando está acotado pero el dominio de la integración se extiende a\(+\infty\text{.}\) Podemos evaluar esta integral colándonos sigilosamente en ella. Lo calculamos en un dominio limitado de integración, como\(\int_a^R\frac{\, d{x}}{1+x^2}\text{,}\) y luego tomamos el límite\(R\rightarrow\infty\text{.}\)

Pongamos esto en práctica:

Ejemplo 1.12.3\(\int_a^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}\)

Solución:

• Dado que el dominio se extiende hasta\(+\infty\) que primero integramos en un dominio finito

  \ begin {alinear*}\ int_a^R\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ arctan x\ Bigg|_a^R\\ &=\ arctan R -\ arctan a\ end {alinear*}

• Luego tomamos el límite como\(R \to +\infty\text{:}\)

  \ begin {alinear*}\ int_a^\ infty\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ int_a^R\ frac {\, d {x}} {1+x^2}\\ &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ big [\ arctan R -\ arctan a\ grande]\\ &=\ frac {\ pi} {2} -\ arctan a.\ end {alinear*}

Para ser más precisos, en realidad definimos formalmente una integral con un dominio infinito como el límite de la integral con un dominio finito a medida que llevamos uno o más de los límites de la integración al infinito.

Definición 1.12.4 Integral inadecuada con dominio infinito de integración

1. Si la integral\(\int_a^R f(x)\, d{x}\) existe para todos\(R \gt a\text{,}\) entonces

   \[ \int_a^\infty f(x)\, d{x}=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_a^R f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando el límite existe (y es finito).
2. Si la integral\(\int_r^b f(x)\, d{x}\) existe para todos\(r \lt b\text{,}\) entonces

   \[ \int_{-\infty}^b f(x)\, d{x}=\lim_{r\rightarrow-\infty}\int_r^b f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando el límite existe (y es finito).
3. Si la integral\(\int_r^R f(x)\, d{x}\) existe para todos\(r \lt R\text{,}\) entonces

   \[ \int_{-\infty}^\infty f(x)\, d{x}=\lim_{r\rightarrow-\infty}\int_r^c f(x)\, d{x} +\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando ambos límites existen (y son finitos). Cualquiera\(c\) puede ser utilizado.

Cuando los límites existen, se dice que la integral es convergente. De lo contrario se dice que es divergente.

También debemos poder tratar a una integral como\(\int_0^1\frac{\, d{x}}{x}\) esa tiene un dominio finito de integración pero cuyo integrando no tiene límites cerca de un límite de integración ² Nuestro enfoque es similar —nos acercamos sigilosamente al problema. Calculamos la integral en un dominio más pequeño, como\(\int_t^1\frac{\, d{x}}{x}\text{,}\) con\(t \gt 0\text{,}\) y luego tomamos el límite\(t\rightarrow 0+\text{.}\)

Ejemplo 1.12.5\(\int_0^1 \frac{1}{x}\, d{x}\)

Solución:

• Como el integrando no está limitado cerca,\(x=0\text{,}\) integramos en el dominio más pequeño\(t\leq x \leq 1\) con\(t \gt 0\text{:}\)

  \ begin {alinear*}\ int_t^1\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ log|x|\ big|_t^1 = -\ log|t|\ end {align*}

• Luego tomamos el límite como\(t \to 0^+\) para obtener

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {1} {x}\, d {x} &=\ lim_ {t=0^+}\ int_t^1\ frac {1} {x}\, d {x} =\ lim_ {t=0^+} -\ log|t| = +\ infty\ end {align*}

  Así esta integral diverge a\(+\infty\text{.}\)

De hecho, definimos integrales con integrands no acotados a través de este proceso:

Definición 1.12.6 Integral inadecuada con integrando sin límites

1. Si la integral\(\int_t^b f(x)\, d{x}\) existe para todos\(a \lt t \lt b\text{,}\) entonces

   \[ \int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{t\rightarrow a+}\int_t^b f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando el límite existe (y es finito).
2. Si la integral\(\int_a^T f(x)\, d{x}\) existe para todos\(a \lt T \lt b\text{,}\) entonces

   \[ \int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{T\rightarrow b-}\int_a^T f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando el límite existe (y es finito).
3. Dejar\(a \lt c \lt b\text{.}\) Si las integrales\(\int_a^T f(x)\, d{x}\) y\(\int_t^b f(x)\, d{x}\) existen para todos\(a \lt T \lt c\) y\(c \lt t \lt b\text{,}\) luego

   \[ \int_a^b f(x)\, d{x}=\lim_{T\rightarrow c-}\int_a^T f(x)\, d{x} +\lim_{t\rightarrow c+}\int_t^b f(x)\, d{x} \nonumber \]

   cuando ambos límites existen (y son finitos).

Cuando los límites existen, se dice que la integral es convergente. De lo contrario se dice que es divergente.

Observe que (c) se utiliza cuando el integrando no está acotado en algún momento en el medio del dominio de integración, como fue el caso en nuestro ejemplo original

\ comenzar {reunir*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\ fin {reunir*}

Un cálculo rápido muestra que esta integral diverge a\(+\infty\)

\ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x} &=\ lim_ {a\ a 0^-}\ int_ {-1} ^a\ frac {1} {x^2}\, d {x} +\ lim_ {b\ a 0^+}\ int_b^1\ frac {1} x^2}\, d {x}\\ &=\ lim_ {a\ a 0^-}\ izquierda [1-\ frac {1} {a}\ derecha] +\ lim_ {b\ a 0^+}\ izquierda [\ frac {1} {b} -1\ derecha]\\ &= +\ infty\ end {align*}

De manera más general, si una integral tiene más de una “fuente de incorrección” (por ejemplo, un dominio infinito de integración y un integrando con un integrando no acotado o múltiples discontinuidades infinitas) entonces la divides en una suma de integrales con una única “fuente de incorrección” en cada una. Para que lo integral, en su conjunto, converja cada término en esa suma tiene que converger.

Por ejemplo

Ejemplo 1.12.7\(\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{(x-2)x^2}\)

Considerar la integral

\ comenzar {reunir*}\ int_ {-\ infty} ^\ infty\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2}\ fin {reunir*}

• El dominio de la integración que se extiende a ambos\(+\infty\) y\(-\infty\text{.}\)
• El integrando es singular (es decir, se vuelve infinito) en\(x=2\) y en\(x=0\text{.}\)
• Entonces escribiríamos la integral como

  \ begin {alinear*}\ int_ {-\ infty} ^\ infty\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} &=\ int_ {-\ infty} ^ {a}\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_ {a} ^0\ frac {\, d {x} {(x-2) x^2} +\ int_0^b\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2}\\ &+\ int_b^2\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_2^c\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2} +\ int_c^\ infty\ frac {\, d {x}} {(x-2) x^2}\ final {alinear*}

  donde

  • \(a\)es cualquier número estrictamente menor que\(0\text{,}\)
  • \(b\)es cualquier número estrictamente entre\(0\) y\(2\text{,}\) y
  • \(c\)es cualquier número estrictamente mayor que\(2\text{.}\)

  Entonces, por ejemplo, tomar\(a=-1, b=1, c=3\text{.}\)

• Cuando examinamos el lado derecho vemos que
  • la primera integral tiene dominio de integración que se extiende a\(-\infty\)
  • la segunda integral tiene un integrando que queda sin límites como\(x\rightarrow 0-\text{,}\)
  • la tercera integral tiene un integrando que queda sin límites como\(x\rightarrow 0+\text{,}\)
  • la cuarta integral tiene un integrando que queda sin límites como\(x\rightarrow 2-\text{,}\)
  • la quinta integral tiene un integrando que queda sin límites como\(x\rightarrow 2+\text{,}\) y
  • la última integral tiene dominio de integración que se extiende a\(+\infty\text{.}\)
• Cada una de estas integrales puede entonces expresarse como un límite de una integral en un dominio pequeño.

Ejemplos

Con las definiciones más formales fuera del camino, ahora estamos listos para algunos ejemplos (importantes).

Ejemplo 1.12.8\(\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}\) with \(p \gt 0\)

Solución:

• Arreglar cualquier\(p \gt 0\text{.}\)
• El dominio de la integral\(\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}\) se extiende\(+\infty\) y el\(\frac{1}{x^p}\) integrando es continuo y limitado en todo el dominio.
• Entonces escribimos esta integral como el límite

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ int_1^R\ frac {\, d {x}} {x^p}\ end {align*}

• La antiderivada de\(1/x^p\) los cambios cuando\(p=1\text{,}\) así dividiremos el problema en tres casos,\(p \gt 1\text{,}\)\(p=1\) y\(p \lt 1\text{.}\)
• Cuando\(p \gt 1\text{,}\)

  \ begin {alinear*}\ int_1^R\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ frac {1} {1-p} x^ {1-p}\ Bigg|_1^R\\ &=\ frac {R^ {1-p} -1} {1-p}\ end {align*}

  Tomando el límite como\(R \to \infty\) da

  \ begin {alinear*}\ int_1^\ infty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ int_1^R\ frac {\, d {x}} {x^p} {x^p}\\ &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ frac {R^ {1-p} -1} p}\\ &=\ frac {-1} {1-p} =\ frac {1} {p-1}\ end {alinear*}

  desde\(1-p \lt 0\text{.}\)
• Del mismo modo cuando\(p \lt 1\) tenemos

  \ begin {alinear*}\ int_1^\ infty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ int_1^R\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ frac {R^ {1-p} -1} {1-p}\\ &= +\ infty\ fin {alinear*}

  porque\(1-p \gt 0\) y el término\(R^{1-p}\) diverge a\(+\infty\text{.}\)
• Finalmente cuando\(p=1\)

  \ begin {alinear*}\ int_1^R\ frac {\, d {x}} {x} &=\ log|r|-\ log 1 =\ log R\ end {align*}

  Entonces tomando el límite como nos\(R \to \infty\) da

  \ begin {alinear*}\ int_1^\ infty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {R\ a\ infty}\ log|R| = +\ infty. \ end {alinear*}

• Así que resumiendo, tenemos

  \ begin {align*}\ int_1^\ infty\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ begin {cases}\ text {divergente} &\ text {if} p\ le 1\\ frac {1} {p-1} &\ text {if} p\ gt 1\ end {cases}\ end {align*}

Ejemplo 1.12.9\(\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p}\) with \(p \gt 0\)

Solución:

• Nuevamente arregle cualquier\(p \gt 0\text{.}\)
• El dominio de integración de la integral\(\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p}\) es finito, pero el integrando\(\frac{1}{x^p}\) queda sin límites a medida que se\(x\) acerca al extremo izquierdo,\(0\text{,}\) del dominio de la integración.
• Entonces escribimos esta integral como

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ rightarrow 0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x^p}\ end {align*}

• Nuevamente, el antiderivado cambia en\(p=1\text{,}\) así que dividimos el problema en tres casos.
• Cuando\(p \gt 1\) tenemos

  \ begin {align*}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ frac {1} {1-p} x^ {1-p}\ bigg|_t^1\\ &=\ frac {1-t^ {1-p}} {1-p}\ end {align*}

  Desde\(1-p \lt 0\) cuando tomamos el límite como\(t\to 0\) el término\(t^{1-p}\) diverge\(+\infty\) y obtenemos

  \ begin {alinear*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ to0^+}\ frac {1-t^ {1-p}} {1-p} = +\ infty\ end {align*}

• Cuando\(p=1\) obtenemos de manera similar

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {t\ to0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x} {x}\\ &=\ lim_ {t\ to0+}\ big (-\ log|t|\ big)\\ &= +\ infty\ fin {alinear*}

• Por último, cuando\(p \lt 1\) tenemos

  \ begin {alinear*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ lim_ {t\ to0^+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x^p} {x^p}\\ &=\ lim_ {t\ to0^+}\ frac {1-t^ {1-p}} {1-p} =\ frac {1} {1-p}\ final {alinear*}

  desde\(1-p \gt 0\text{.}\)
• En resumen

  \ begin {align*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x^p} &=\ begin {cases}\ frac {1} {1-p} &\ text {if} p\ lt 1\\ text {divergente} &\ text {if} p\ ge 1\ end {cases}\ end {align*}

Ejemplo 1.12.10\(\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}\) with \(p \gt 0\)

Solución:

• Una vez más arreglar\(p \gt 0\text{.}\)
• Esta vez el dominio de integración de lo integral\(\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}\) se extiende hasta\(+\infty\text{,}\) y además el integrando\(\frac{1}{x^p}\) queda sin límites a medida que se\(x\) acerca al extremo izquierdo,\(0\text{,}\) del dominio de la integración.
• Entonces dividimos el dominio en dos, dados nuestros dos últimos ejemplos, el lugar obvio para cortar está en\(x=1\text{:}\)

  \[ \int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p} =\int_0^1\frac{\, d{x}}{x^p} + \int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x^p} \nonumber \]

• Vimos, en el Ejemplo 1.12.9, que la primera integral divergía siempre\(p\ge 1\text{,}\) y también vimos, en el Ejemplo 1.12.8, que la segunda integral divergía cada vez que\(p\le 1\text{.}\)
• Entonces la integral\(\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^p}\) diverge para todos los valores de\(p\text{.}\)

Ejemplo 1.12.11\(\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}\)

Este es un ejemplo bastante sutil. Mira el boceto a continuación:

Esto sugiere que el área firmada a la izquierda del\(y\) eje -debe cancelar exactamente el área a la derecha del\(y\) eje, haciendo que el valor de la integral sea\(\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}\) exactamente cero.

Pero ambas integrales

\ begin {alinear*}\ int_0^1\ frac {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x}} {x} =\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ grande [\ log x\ grande] _t^1 =\ lim_ {t\ derecha 0+}\ log\ frac {1} {t} =+\ infty\\ int_ {-1} ^0\ frac {\, d {x}} {x} &=\ lim_ {T\ fila derecha 0-}\ int_ {-1} ^T\ frac {\, d {x}} {x} {x} =\ lim_ {T\ fila derecha 0-}\ Grande [\ log|x|\ Grande ] _ {-1} ^T =\ lim_ {T\ fila derecha 0-}\ log|t|\ =-\ infty\ final {alinear*}

divergen tan\(\int_{-1}^1\frac{\, d{x}}{x}\) diverge. No cometas el error de pensar que\(\infty-\infty=0\text{.}\) es indefinido. Y es indefinido por una buena razón.

Por ejemplo, acabamos de ver que el área a la derecha del\(y\) eje es

\[ \lim_{t\rightarrow 0+}\int_t^1\frac{\, d{x}}{x}=+\infty \nonumber \]

y que el área a la izquierda del\(y\) eje es (sustituya\(-7t\) por\(T\) arriba)

\[ \lim_{t\rightarrow 0+}\int_{-1}^{-7t}\frac{\, d{x}}{x}=-\infty \nonumber \]

Si\(\infty-\infty=0\text{,}\) el siguiente límite debe ser\(0\text{.}\)

\ begin {alinear*}\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ bigg [\ int_t^1\ frac {\, d {x}} {x} {x} +\ int_ {-1} ^ {-7t}\ frac {\, d {x}} {x}\ bigg] &=\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ grande [\ log\ frac {1} {t} +\ log |-7t|\ Grande]\\ &=\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ Grande [\ log\ frac {1} {t} +\ log (7t)\ Grande]\\ &=\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ Grande [-\ log t+\ log7 +\ log t\ Grande] =\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ log 7\\ &=\ log 7\ end {align*}

Esto parece dar Por\(\infty-\infty=\log 7\text{.}\) supuesto que el número\(7\) fue escogido al azar. Usted puede hacer\(\infty-\infty\) ser cualquier número en absoluto, haciendo un reemplazo adecuado para\(7\text{.}\)

Ejemplo 1.12.12 Ejemplo 1.12.2 revisado

El cálculo cuidadoso de la integral del Ejemplo 1.12.2 es

\ begin {alinear*}\ int_ {-1} ^1\ frac {1} {x^2}\, d {x} &=\ lim_ {T\ fila derecha 0-}\ int_ {-1} ^T\ frac {1} {x^2}\, d {x} +\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ int_t^1\ frac {1} {x^2}\, d {x}\\ &=\ lim_ {T\ fila derecha 0-}\ Grande [-\ frac {1} {x}\ Grande] _ {-1} ^T +\ lim_ {t\ fila derecha 0+}\ grande [-\ frac {1} {x}\ grande] _t^1\ &=\ infty+\ infty\ end {align*}

De ahí que la integral diverja a\(+\infty\text{.}\)

Ejemplo 1.12.13\(\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}\)

Desde

\ begin {alinear*}\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ int_0^R\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ grande [\ arctan x\ grande] _0^R =\ lim_ {R\ derecha\ infty}\ arctan R =\ frac {\ pi} {2}\\\ lim_ {r\ fila derecha-\ infty}\ int_r^0\ frac {\, d {x}} {1+x^2} &=\ lim_ {r\ fila derecha-\ infty}\ grande [\ arctan x\ Grande] _r^0 =\ lim_ {r\ fila derecha-\ infty} -\ arctan r =\ frac {\ pi} {2}\ final {alinear*}

La integral\(\int_{-\infty}^\infty\frac{\, d{x}}{1+x^2}\) converge y toma el valor\(\pi\text{.}\)

Ejemplo 1.12.14 ¿Cuándo\(\int_e^\infty\frac{\, d{x}}{x(\log x)^p}\) converge?

¿Para qué valores de\(p\)\(\int_e^\infty\frac{\, d{x}}{x(\log x)^p}\) convergen?

Solución:

• Porque\(x\ge e\text{,}\) el denominador nunca\(x(\log x)^p\) es cero. Entonces el integrando está acotado en todo el dominio de la integración y esta integral es impropia sólo porque el dominio de la integración se extiende hasta\(+\infty\) y procedemos como de costumbre.
• Tenemos

  \ begin {align*}\ int_e^\ infty\ frac {\, d {x}} {x (\ log x) ^p} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ int_e^R\ frac {\, d {x}} {x (\ log x) ^p}\ qquad\ qquad\ qquad\ texto {usar sustitución}\ &=\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ int_1^ {\ log R}\ frac {\, d {u}} {u^p}\ qquad\ qquad\ texto {con} u=\ log x,\, d {u} =\ frac {\, d {x}} {x}} {x}\\ &=\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ comenzar {casos}\ frac {1} {1-p}\ Grande [(\ log R) ^ {1-p} -1\ Grande] &\ texto {si} p\ ne 1\\ log (\ log R) &\ texto {si} p=1\ end {casos}\ &=\ comenzar {casos}\ texto {divergente} &\ texto {si} p\ le 1\\\ frac {1} {p-1} &\ text {if} p\ gt 1\ end {cases}\ end {align*}

  En este último paso hemos utilizado una lógica similar a la utilizada en el Ejemplo 1.12.8, pero con\(R\) reemplazada por\(\log R\text{.}\)

Ejemplo 1.12.15 La función gamma

La función gamma\(\Gamma(x)\) se define por la integral inadecuada

\[ \Gamma(t) = \int_0^\infty x^{t-1}e^{-x}\, d{x} \nonumber \]

Ahora calcularemos\(\Gamma(n)\) para todos los números naturales\(n\text{.}\)

• Para comenzar, calcularemos

  \ begin {alinear*}\ Gamma (1) &=\ int_0^\ infty e^ {-x}\, d {x} =\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ int_0^R e^ {-x}\, d {x} =\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ Grande [-e^ {-x}\ Grande] _0^R = 1\ final {alinear*}

• Luego cómpule\[\begin{align*} \Gamma(2) &= \int_0^\infty x e^{-x}\, d{x}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R x e^{-x}\, d{x}\\ \end{align*}\]

  Utilice la integración por partes con\(u=x, \, d{v}=e^{-x}\, d{x},\)\(v=-e^{-x}, \, d{u}=\, d{x}\)

  \ begin {align*} & =\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ bigg [- xe^ {-x}\ Big|_0^R +\ int_0^R e^ {-x}\, d {x}\ bigg]\\ & =\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ Grande [- xe^ {-x} - e^ {-x}\ Grande] _0^R\\ & = 1\ end {align*} Para la última igualdad, usamos eso\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x e^{-x}=0\text{.}\)
• Ahora pasamos a general\(n\text{,}\) usando el mismo tipo de cómputo que acabamos de usar para evaluar\(\Gamma(2)\text{.}\) Para cualquier número natural\(n\text{,}\)\[\begin{align*} \Gamma(n+1) &= \int_0^\infty x^n e^{-x}\, d{x}\\ &=\lim_{R\rightarrow\infty} \int_0^R x^n e^{-x}\, d{x}\\ \end{align*}\]

  De nuevo integrar por partes con\(u=x^n,\, d{v}= e^{-x}\, d{x}\text{,}\)\(v=-e^{-x}, \, d{u}=nx^{n-1}\, d{x}\)

  \ begin {alinear*} & =\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ bigg [- x^ne^ {-x}\ Big|_0^R +\ int_0^R nx^ {n-1} e^ {-x}\, d {x}\ bigg]\\ & =\ lim_ {R\ fila derecha\ infty} n\ int_0^r x^ {n-1} e^ {-x}\, d {x}\\ & = n\ Gamma (n)\ end {align*} Para llegar a la tercera fila, usamos eso\(\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^n e^{-x}=0\text{.}\)
• Ahora que sabemos\(\Gamma(2)=1\) y\(\Gamma(n+1)= n\Gamma(n)\text{,}\) para todos\(n\in\mathbb{N}\text{,}\) podemos calcular todos los\(\Gamma(n)\)'s.

  \ begin {alignat*} {1}\ Gamma (2) &=1\\\ Gamma (3) &=\ Gamma (2+1) =2\ Gamma (2) =2\ cdot 1\\ Gamma (4) &=\ Gamma (3+1) =3\ Gamma (3) =3\ cdot2\ cdot 1\\ Gamma (5) &=\ Gamma (4+1) =4\ Gamma (4) =4\ cdot3\ cdot 2\ cdot 1\\ &\ vdots\\\ Gamma (n) &= (n-1)\ cdot (n-2)\ cdot 4\ cdot 3\ cdot 2\ cdot 1 = (n-1)! \ end {alignat*}

  Es decir, el factorial es apenas ³ la función Gamma desplazada en una.

Pruebas de convergencia para integrales inaceptables

Es muy común encontrar integrales que son demasiado complicadas de evaluar explícitamente. En su lugar, a menudo se utilizan esquemas de aproximación numérica, evaluados por computadora (ver Sección 1.11). Quieres estar seguro de que al menos la integral converge antes de alimentarla a una computadora ⁴. Afortunadamente suele ser posible determinar si una integral inadecuada converge o no incluso cuando no se puede evaluarla explícitamente.

Comentario 1.12.16

Para fines pedagógicos, nos vamos a concentrar en el problema de determinar si una integral\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) converge o no, cuando no\(f(x)\) tiene singularidades para\(x\ge a\text{.}\) Recordemos que el primer paso para analizar cualquier integral impropia es escribirla como una suma de integrales cada una de tiene solo una sola” fuente de incorrección”, ya sea un dominio de integración que se extiende a\(+\infty\text{,}\) o un dominio de integración que se extiende a\(-\infty\text{,}\) o un integrando que es singular en un extremo del dominio de integración. Entonces ahora vamos a considerar sólo la primera de estas tres posibilidades. Pero las técnicas que estamos a punto de ver tienen análogos obvios para las otras dos posibilidades.

Ahora comencemos. Imagínese que tenemos una integral impropia\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\text{,}\) que no\(f(x)\) tiene singularidades para\(x\ge a\) y que\(f(x)\) es lo suficientemente complicada como para que no podamos evaluar la integral explícitamente ⁵. La idea es encontrar otra integral impropia\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\)

• con lo suficientemente\(g(x)\) simple como para poder evaluar la integral\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) explícitamente, o al menos determinar fácilmente si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) converge o no, y
• con\(g(x)\) comportarse lo suficiente como\(f(x)\) para grande\(x\) que la integral\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) converja si y sólo si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) converge.

Hasta el momento, esta es una estrategia bastante vaga. Aquí hay un teorema que empieza a hacerlo más preciso.

Teorema 1.12.17 Comparación

\(a\)Déjese ser un número real. Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones que son definidas y continuas para todos\(x\ge a\) y asumir que\(g(x)\ge 0\) para todos\(x\ge a\text{.}\)

1. Si\(|f(x)|\le g(x)\) para todos\(x\ge a\) y si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) converge entonces\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) también converge.
2. Si\(f(x)\ge g(x)\) para todos\(x\ge a\) y si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) diverge entonces\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) también diverge.

No vamos a probar este teorema, pero, ojalá, los siguientes argumentos de apoyo deberían parecerle razonables al menos. Considera la siguiente figura:

• Si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) converge, entonces el área de

  \ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ grande\}\ texto {es finito.} \ end {reunir*}

  Cuando\(|f(x)|\le g(x)\text{,}\) la región

  \ begin {reunir*}\ big\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le |f (x) |\\ grande\}\ texto {está contenido dentro}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y le\ g (x)\ grande\}\ fin {reunir*}

  y así también deben tener área finita. En consecuencia las zonas de ambas regiones

  \ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ grande\}\ texto {y}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ f (x)\ le y\ le 0\ grande\}\ fin {reunir*}

  son finitos también ⁶.
• Si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) diverge, entonces el área de

  \ comenzar {reunir*}\ grande\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ grande\}\ texto {es infinito.} \ end {reunir*}

  Cuando\(f(x)\ge g(x)\text{,}\) la región

  \ begin {reunir*}\ big\ {\ (x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le f (x)\\ big\}\ text {contiene la región}\ grande\ {(x, y)\\ big|\ x\ ge a,\ 0\ le y\ le g (x)\\ big\}\ end {gather*}

  y así también tiene área infinita.

Ejemplo 1.12.18\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\)

No podemos evaluar la integral\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) explícitamente ⁷, sin embargo todavía nos gustaría entender si es finita o no — ¿converge o diverge?

Solución: Utilizaremos el Teorema 1.12.17 para responder a la pregunta.

• Entonces queremos encontrar otra integral que podamos calcular y con la que podamos comparar\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\text{.}\) Para ello elegimos un integrando que se vea\(e^{-x^2}\text{,}\) pero cuya integral indefinida conocemos — como\(e^{-x}\text{.}\)
• Cuando\(x\ge 1\text{,}\) tenemos\(x^2\ge x\) y por lo\(e^{-x^2}\le e^{-x}\text{.}\) tanto podemos usar el Teorema 1.12.17 para comparar

  \ comenzar {reunir*}\ int_1^\ infty e^ {-x^2}\, d {x}\ texto {con}\ int_1^\ infty e^ {-x}\, d {x}\ fin {reunir*}

• El integral

  \ begin {alinear*}\ int_1^\ infty e^ {-x}\, d {x} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ int_1^R e^ {-x}\, d {x}\\ &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ Grande [-e^ {-x}\ Grande] _1^ {}\\ &=\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ Grande [e^ {-1} -e^ {-R}\ Grande] =e^ {-1}\ final {alinear*}

  converge.
• Entonces, por Teorema 1.12.17, con\(a=1\text{,}\)\(f(x)=e^{-x^2}\) y\(g(x)=e^{-x}\text{,}\) la integral\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) converge también (es aproximadamente igual a\(0.1394\)).

Ejemplo 1.12.19\(\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}\)

Solución:

• La integral\(\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) es bastante similar a la integral\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) del Ejemplo 1.12.18. Pero no podemos simplemente repetir el argumento del Ejemplo 1.12.18 porque no es cierto que\(e^{-x^2}\le e^{-x}\) cuando\(0 \lt x \lt 1\text{.}\)
• De hecho,\(0 \lt x \lt 1\text{,}\)\(x^2 \lt x\) para que\(e^{-x^2} \gt e^{-x}\text{.}\)
• Sin embargo, la diferencia entre el ejemplo actual y el Ejemplo 1.12.18 es

  \ begin {align*}\ int_ {1/2} ^\ infty e^ {-x^2}\, d {x} -\ int_1^\ infty e^ {-x^2}\, d {x} &=\ int_ {1/2} ^1 e^ {-x^2}\, d {x}\ end {align*}

  que es claramente un número finito bien definido (en realidad se trata\(0.286\)). Es importante señalar que estamos siendo un poco descuidados al tomar la diferencia de dos integrales como esta —estamos asumiendo que ambas integrales convergen. Más sobre esto a continuación.
• Entonces esperaríamos que esa\(\int_{1/2}^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) sea la suma de la integral propiamente dicha integral\(\int_{1/2}^1 e^{-x^2}\, d{x}\) y la integral convergente\(\int_1^\infty e^{-x^2}\, d{x}\) y así debería ser una integral convergente. Este es efectivamente el caso. El teorema a continuación proporciona la justificación.

Teorema 1.12.20

Dejar\(a\) y\(c\) ser números reales con\(a \lt c\) y dejar que la función\(f(x)\) sea continua para todos\(x\ge a\text{.}\) Entonces la integral impropia\(\int_a^\infty f(x)\ \, d{x}\) converge si y sólo si la integral impropia\(\int_c^\infty f(x)\ \, d{x}\) converge.

Prueba

Por definición la integral impropia\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) converge si y sólo si el límite

\ begin {alinear*}\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ int_a^r f (x)\, d {x} &=\ lim_ {R\ rightarrow\ infty}\ bigg [\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ int_c^r f (x)\, d {x}\ bigg]\ =\ int_a^c f (x)\, d {x} +\ lim_ {R\ fila derecha\ infty}\ int_c^r f (x)\, d {x}\ final {alinear*}

existe y es finito. (Recuerda que, al calcular el límite,\(\int_a^c f(x)\, d{x}\) es una constante finita independiente\(R\) y así se puede sacar del límite). Pero ese es el caso si y sólo si el límite\(\lim_{R\rightarrow\infty}\int_c^R f(x)\, d{x}\) existe y es finito, que a su vez es el caso si y sólo si la integral\(\int_c^\infty f(x)\, d{x}\) converge.

Ejemplo 1.12.21 Does\(\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}\) converge?

¿La integral\(\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}\) converge o diverge?

Solución:

• Nuestra primera tarea es identificar las posibles fuentes de incorrección para esta integral.
• El dominio de la integración se extiende a\(+\infty\text{,}\) pero también debemos verificar para ver si el integrando contiene alguna singularidad. En el dominio de la integración\(x\ge 1\) así el denominador nunca es cero y el integrando es continuo. Así que el único problema está en\(+\infty\text{.}\)
• Nuestra segunda tarea es desarrollar alguna intuición ⁸. Como el único problema es que el dominio de la integración se extiende hasta el infinito, si la integral converge o no estará determinado por el comportamiento del integrando para muy grandes\(x\text{.}\)
• Cuando\(x\) es muy grande,\(x^2\) es mucho más grande que\(x\) (que podemos escribir como\(x^2\gg x\)) para que el denominador\(x^2+x\approx x^2\) y el integrando

  \ begin {alinear*}\ frac {\ sqrt {x}} {x^2+x} &\ approx\ frac {\ sqrt {x}} {x^2} =\ frac {1} {x^ {3/2}}\ end {align*}

• Por Ejemplo 1.12.8, con\(p=\frac{3}{2}\text{,}\) la integral\(\int_1^\infty \frac{\, d{x}}{x^{3/2}}\) converge. Entonces esperaríamos que eso\(\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}\) converja también.
• Nuestra tarea final es verificar que nuestra intuición es correcta. Para ello, queremos aplicar la parte (a) del Teorema 1.12.17 con\(f(x)= \frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\) y\(g(x)\) siendo\(\frac{1}{x^{3/2}}\text{,}\) o posiblemente algunos tiempos\(\frac{1}{x^{3/2}}\text{.}\) constantes Es decir, necesitamos demostrar que para todos\(x \geq 1\) (es decir, en el dominio de la integración)

  \ comenzar {reunir*}\ frac {\ sqrt {x}} {x^2+x}\ leq\ frac {A} {x^ {3/2}}\ end {reunir*}

  por alguna constante\(A\text{.}\) Probemos esto.
• Ya\(x\geq 1\) que sabemos que\[\begin{align*} x^2+x & \gt x^2\\ \end{align*}\]

  Ahora toma el recíproco de ambos lados:

  \ begin {alinear*}\ frac {1} {x^2+x} &\ lt\ frac {1} {x^2}\\\ end {alinear*}

  Multiplicar ambos lados por\(\sqrt{x}\) (lo que siempre es positivo, por lo que el signo de la desigualdad no cambia)

  \ begin {alinear*}\ frac {\ sqrt {x}} {x^2+x} &\ lt\ frac {\ sqrt {x}} {x^2} =\ frac {1} {x^ {3/2}}\ end {align*}
• Así Teorema 1.12.17 (a) y Ejemplo 1.12.8, con\(p=\frac{3}{2}\) sí muestran que la integral\(\int_1^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+x}\, d{x}\) converge.

Observe que en este último ejemplo logramos mostrar que la integral existe al encontrar un integrando que se comportó de la misma manera para grandes\(x\text{.}\) Nuestra intuición entonces tuvo que ser reafirmada con algunas cuidadosas desigualdades para aplicar el Teorema de comparación 1.12.17. Sería bueno evitar este último paso y poder saltar de la intuición a la conclusión sin meterse con las desigualdades. Agradecidamente existe una variante del Teorema 1.12.17 que muchas veces es más fácil de aplicar y que también encaja bien con el tipo de intuición que desarrollamos para resolver Ejemplo 1.12.21.

Una frase clave en el párrafo anterior es “se comporta de la misma manera para grandes\(x\)”. Una buena manera de formalizar esta expresión — “\(f(x)\)se comporta como\(g(x)\) para grandes\(x\)” — es exigir que el límite

\ begin {align*}\ lim_ {x\ rightarrow\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &\ text {existe y es un número finito distinto de cero.} \ end {alinear*}

Supongamos que este es el caso y llama al límite\(L\ne 0\text{.}\) Entonces

• la relación\(\frac{f(x)}{g(x)}\) debe\(x\) aproximarse\(L\) como tiende a\(+\infty\text{.}\)
• Entonces, cuando\(x\) es muy grande —digamos\(x \gt B\text{,}\) para algún número grande\(B\) — debemos tener eso

  \ begin {align*}\ frac {1} {2} L\ leq\ frac {f (x)} {g (x)}\ leq 2L &&\ text {para todos $x\ gt B$}\ end {alinear*}

  Equivalentemente,\(f(x)\) se encuentra entre\(\frac{L}{2}g(x)\) y\(2Lg(x)\text{,}\) para todos\(x\ge B\text{.}\)
• En consecuencia, la integral de\(f(x)\) converge si y sólo si la integral de\(g(x)\) converge, por los Teoremas 1.12.17 y 1.12.20.

Estas consideraciones conducen a la siguiente variante del Teorema 1.12.17.

Teorema 1.12.22 Comparación limitante

\(-\infty \lt a \lt \infty\text{.}\)Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones que son definidas y continuas para todos\(x\ge a\) y asumir que\(g(x)\ge 0\) para todos\(x\ge a\text{.}\)

1. Si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) converge y el límite

   \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)}\ fin {reunir*}

   existe, luego\(\int_a^\infty f(x)\, d{x}\) converge.
2. Si\(\int_a^\infty g(x)\, d{x}\) diverge y el límite

   \ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)}\ fin {reunir*}

   existe y es distinto de cero, luego\(\int_a^\infty f(x)\) diverge.

Obsérvese que en (b) el límite debe existir y ser distinto de cero, mientras que en (a) solo requerimos que el límite exista (puede ser cero).

Aquí un ejemplo de cómo se utiliza el Teorema 1.12.22.

Ejemplo 1.12.23\(\int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}\)

¿La integral\(\displaystyle \int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}\) converge o diverge?

Solución:

• Nuestra primera tarea es identificar las posibles fuentes de incorrección para esta integral.
• El dominio de la integración se extiende a\(+\infty\text{.}\) En el dominio de la integración el denominador nunca es cero por lo que el integrando es continuo. Así el único problema está en\(+\infty\text{.}\)
• Nuestra segunda tarea es desarrollar cierta intuición sobre el comportamiento del integrando para muy grandes\(x\text{.}\) Una buena manera de comenzar es pensar en el tamaño de cada término cuando\(x\) se vuelve grande.
• Cuando\(x\) es muy grande:
  • \(e^{-x} \ll x^2\text{,}\)para que el denominador\(e^{-x}+x^2\approx x^2\text{,}\) y
  • \(|\sin x|\le 1 \ll x\text{,}\)para que el numerador\(x+\sin x\approx x\text{,}\) y
  • el integrando\(\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2} \approx \frac{x}{x^2} =\frac{1}{x}\text{.}\)

  Observe que estamos usando\(A \ll B\) para significar que “\(A\)es mucho más pequeño que\(B\)”. Del mismo modo\(A\gg B\) significa “\(A\)es mucho más grande que\(B\)”. Realmente no necesitamos ser demasiado precisos sobre su significado más allá de esto en el contexto actual.

• Ahora, dado que\(\int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x}\) diverge, esperaríamos\(\int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}\) divergir también.
• Nuestra tarea final es verificar que nuestra intuición es correcta. Para ello, establecemos

  \ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {x+\ sin x} {e^ {-x} +x^2} & g (x) &=\ frac {1} {x}\ end {alinear*}

  y cómpute

  \ begin {alinear*}\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {x+\ sin x} {e^ {-x} +x^2}\ div\ frac {1} {x}\ &=\ lim_ {x\ derecha_derecha fila\ infty}\ frac {(1+\ sin x/x) x} {(e^ {-x} /x^2+1) x^2}\ veces x\\ &=\ lim_ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {1+\ sin x/x} {e^ {-x} /x^2+1}\\ &=1\ end {alinear*}

• Ya que\(\int_1^\infty g(x)\, d{x} = \int_1^\infty\frac{\, d{x}}{x}\) diverge, por el Ejemplo 1.12.8 con el\(p=1\text{,}\) Teorema 1.12.22 (b) ahora nos dice que\(\int_1^\infty f(x)\, d{x} = \int_1^\infty\frac{x+\sin x}{e^{-x}+x^2}\, d{x}\) diverge también.

Ejercicios

Etapa 1

1

¿Para qué valores de la integral\(b\) es\(\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2-1} \, d{x}\) impropia?

2

¿Para qué valores de la integral\(b\) es\(\displaystyle\int_0^b \frac{1}{x^2+1} \, d{x}\) impropia?

3

A continuación se presentan las gráficas\(y=f(x)\) y\(y=g(x)\text{.}\) Supongamos\(\displaystyle\int_0^\infty f(x) \, d{x}\) converge, y\(\displaystyle\int_0^\infty g(x) \, d{x}\) diverge. Suponiendo que los gráficos continúen como se muestra como\(x \to \infty\text{,}\) qué gráfico es\(f(x)\text{,}\) y cuál es\(g(x)\text{?}\)

4 (✳)

Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si es falso, proporcione un contraejemplo. Si es cierto, proporcionar una breve justificación. (Supongamos que\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones continuas.)

Si\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x) \,\, d{x}\) converge y\(g(x)\ge f(x)\ge 0\) para todos\(x\text{,}\) entonces\(\displaystyle\int_{1}^{\infty} g(x) \,\, d{x}\) converge.

5

Let\(f(x) = e^{-x}\) y\(g(x)=\dfrac{1}{x+1}\text{.}\) Note\(\int_{0}^\infty f(x) \, d{x}\) converge mientras\(\int_{0}^\infty g(x) \, d{x}\) diverge.

Para cada una de las funciones que\(h(x)\) se describen a continuación, decidir si\(\int_{0\vphantom{\frac12}}^\infty h(x) \, d{x}\) converge o diverge, o si no hay suficiente información para decidir. Justifica tu decisión.

1. \(h(x)\text{,}\)continuo y definido para todos\(x \ge0\text{,}\)\(h(x) \leq f(x)\text{.}\)
2. \(h(x)\text{,}\)continuo y definido para todos\(x\ge 0\text{,}\)\(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\text{.}\)
3. \(h(x)\text{,}\)continuo y definido para todos\(x\ge 0\text{,}\)\(-2f(x) \leq h(x) \leq f(x)\text{.}\)

Etapa 2

6 (✳)

Evaluar la integral\(\displaystyle\int_0^1\frac{x^4}{x^5-1}\,\, d{x}\) o estado que diverge.

7 (✳)

Determinar si la integral\(\displaystyle\int_{-2}^2\frac{1}{(x+1)^{4/3}}\,\, d{x}\) es convergente o divergente. Si es convergente, encuentra su valor.

8 (✳)

¿\(\displaystyle\int_1^\infty\frac{1}{\sqrt{4x^2-x}}\,\, d{x}\)Converge la integral impropia? Justifica tu respuesta.

9 (✳)

¿La integral\(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\, d{x}}{x^2+\sqrt{x}}\) converge o diverge? Justifica tu reclamo.

10

¿La integral\(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \cos x \, d{x}\) converge o diverge? Si converge, evalúalo.

11

¿La integral\(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \sin x \, d{x}\) converge o diverge? Si converge, evalúalo.

12

Evaluar\(\displaystyle\int_{10}^\infty \frac{x^4-5x^3+2x-7}{x^5+3x+8} \, d{x}\text{,}\) o afirmar que diverge.

13

Evaluar\(\displaystyle\int_0^{10} \frac{x-1}{x^2-11x+10} \, d{x}\text{,}\) o afirmar que diverge.

14 (✳)

Determinar (¡con justificación!) cuál de las siguientes se aplica a la integral\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}\text{:}\)

1. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}\)diverge
2. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}\)converge pero\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\, d{x}\) diverge
3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x}{x^2+1}\, d{x}\)converge, al igual que\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\left|\frac{x}{x^2+1}\right|\, d{x}\)

Observación: estas opciones, respectivamente, son que la integral diverge, converge condicionalmente, y converge absolutamente. Verá esta terminología utilizada para las series en la Sección 3.4.1.

15 (✳)

Decidir si\(I=\displaystyle\int_0^\infty\frac{|\sin x|}{x^{3/2}+x^{1/2}}\, d{x} \) converge o diverge. Justificar.

16 (✳)

¿La integral\(\displaystyle\int_0^\infty\frac{x+1}{x^{1/3}(x^2+x+1)}\,\, d{x}\) converge o diverge?

Etapa 3

17

Elaboramos un sólido alto con forma de vuvuzela girando la línea\(y = \dfrac{1}{x\vphantom{\frac{1}{2}}}\) desde\(x=a\) hasta\(x=1\) alrededor del\(y\) eje, donde\(a\) hay alguna constante entre 0 y 1.

Verdadero o falso: No importa cuán grande\(M\) sea una constante, hay algún valor de\(a\) que hace que un sólido con volumen mayor que\(M\text{.}\)

18 (✳)

¿Cuál es el mayor valor\(q\) para el que\(\displaystyle \int_1^\infty \frac1{x^{5q}}\,\, d{x}\) diverge la integral?

19

\(p\)¿Para qué valores de\(\displaystyle\int_0^\infty \dfrac{x}{(x^2+1)^p} \, d{x}\) converge la integral?

20

Evaluar\(\displaystyle\int_2^\infty \frac{1}{t^4-1}\, d{t}\text{,}\) o afirmar que diverge.

21

¿La integral\(\displaystyle\int_{-5}^5 \left(\frac{1}{\sqrt{|x|}} + \frac{1}{\sqrt{|x-1|}}+\frac{1}{\sqrt{|x-2|}}\right)\, d{x}\) converge o diverge?

22

Evaluar\(\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin x \, d{x}\text{,}\) o afirmar que diverge.

23 (✳)

¿Es el integral\(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin^4 x}{x^2}\, \, d{x}\) convergente o divergente? Explique por qué.

24

¿La integral\(\displaystyle\int_0^\infty \frac{x}{e^x+\sqrt{x}} \, d{x}\) converge o diverge?

25 (✳)

Let\(M_{n,t}\) Ser la aproximación de Regla de Punto Medio para\(\displaystyle\int_0^t \frac{e^{-x}}{1+x}\, d{x}\) con subintervalos\(n\) iguales. Encuentre un valor de\(t\) y un valor de\(n\) tal que\(M_{n,t}\) difiera de\(\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{1+x}\, d{x}\) por a lo sumo\(10^{-4}\text{.}\) Recuerde que el error\(E_n\) introducido cuando se usa la Regla de Punto Medio con\(n\) subintervalos obedece

\ begin {reunir*} |e_n|\ le\ frac {M (b-a) ^3} {24n^2}\ end {reunir*}

donde\(M\) es el valor absoluto máximo de la segunda derivada del integrando y\(a\) y\(b\) son los puntos finales del intervalo de integración.

26

Supongamos que\(f(x)\) es continuo para todos los números reales, y\(\displaystyle\int_1^\infty f(x) \, d{x}\) converge.

1. Si\(f(x)\) es impar, ¿\(\displaystyle\int_{-\infty\vphantom{\frac12}}^{-1} f(x) \, d{x}\)converge o diverge, o no hay suficiente información para decidir?
2. Si\(f(x)\) es par, ¿\(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x) \, d{x}\)converge o diverge, o no hay suficiente información para decidir?

27

Verdadero o falso:

Hay algún número real\(x\text{,}\) con\(x \geq 1\text{,}\) tal que\(\displaystyle\int_0^x \frac{1}{e^t} \, d{t} = 1\text{.}\)

1. Muy equivocado. Pero no es un ejemplo de “ni siquiera mal” —que es una frase atribuida al físico Wolfgang Pauli quien era conocido por sus duras críticas a los argumentos descuidados. La frase suele emplearse para describir argumentos que son tan incoherentes que no sólo se puede no probar que son ciertos, sino que carecen de suficiente coherencia para poder demostrar que son falsos. El lector interesado debe hacer un poco de ingeniería de búsqueda y mirar el concepto de falisfyability.
2. Esto, a su vez, nos permitirá tratar con integrales cuyo integrando no tiene límites en algún lugar dentro del dominio de la integración.
3. La función Gamma es mucho más importante que una simple generalización de lo factorial. Aparece por todas partes las matemáticas, la física, la estadística y más allá. Tiene todo tipo de propiedades interesantes y su definición se puede extender desde números naturales\(n\) a todos los números excluyendo\(0,-1,-2,-3,\cdots\text{.}\) Por ejemplo, se puede demostrar que\(\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin \pi z}.\)
4. La aplicación de métodos de integración numérica a una integral divergente puede resultar en respuestas perfectamente razonables pero muy incorrectas.
5. Podrías, por ejemplo, pensar en algo como nuestro ejemplo running\(\int_a^\infty e^{-t^2} \, d{t}\text{.}\)
6. Hemos separado las regiones en las que\(f(x)\) es positiva y negativa, porque la integral\(\int_a^\infty f(x)\,d{x}\) representa el área firmada de la unión de\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ x\ge a,\ 0\le  y\le f(x)\ \big\}\) y\(\big\{\ (x,y)\ \big|\ x\ge a,\ f(x)\le y\le 0\  \big\}\text{.}\)
7. Ha sido objeto de muchas observaciones y notas al pie de página.
8. Esto requiere práctica, práctica y más práctica. A riesgo de aliteración — por favor, realice muchos problemas de práctica.