3.5: Sustitución

No tenemos muchas reglas de integración. Para bastantes de los problemas que vemos, las reglas no se aplicarán directamente; primero tendremos que hacer alguna manipulación algebraica. En la práctica, es mucho más difícil anotar la antiderivada de una función que encontrar una derivada. (De hecho, es muy fácil escribir una función que no tenga ningún antiderivado que puedas encontrar con álgebra, aunque probar que no tiene un antiderivado es mucho más difícil).

El Método de Sustitución (también llamado$u$ -Sustitución) es una forma de manipular algebraicamente un integrando para que se apliquen las reglas. Esta es una manera de desenrollar o deshacer la Regla de Cadena para derivados. Cuando encuentras la derivada de una función usando la Regla de Cadena, terminas con un producto de algo así como la función original multiplicada por una derivada. Podemos revertir esto para escribir una integral: $$\frac{d}{dx} f\left( g(x) \right) = f'\left( g(x) \right)g'(x) \nonumber$$ entonces $$f\left( g(x) \right) =\int f'\left( g(x) \right)g'(x)\, dx\nonumber$$

Con la sustitución, vamos a sustituir$u=g(x)$ (de ahí el nombre $u$-sustitución). Esto significa$\frac{du}{dx}=g'(x)$, entonces$du=g'(x)dx$. Hacer estas sustituciones,$\int f'\left( g(x) \right)g'(x)\, dx$ se convierte$\int f'(u)\, du$, que probablemente será más fácil de integrar.

Prueba$u$ -Sustitución cuando veas un producto en tu integral, especialmente si reconoces un factor como derivado de alguna parte del otro factor.

El$u$-Substitution Method for Antiderivatives

El objetivo es$\int f\left( g(x) \right)\, dx$ convertirse en$\int f(u)\, du$, donde$f(u)$ es mucho menos desordenado que$f\left(g(x)\right)$.

1. $u$Déjese formar parte del integrando. Una buena primera opción es un paso dentro del bit más desordenado.
2. Cómputos$du=\frac{du}{dx}\,dx$.
3. Traduce todos tus en$x$$u$'s en todas partes de la integral, incluyendo el$dx$. Cuando termines, deberías tener una nueva integral que esté completamente adentro$u$. Si te queda alguno$x$, entonces eso es una indicación de que la sustitución no funcionó o no está completa; es posible que tengas que volver al paso 1 y probar una opción diferente para$u$.
4. Integrar la nueva$u$ -integral, si es posible. Si aún no lo puedes integrar, vuelve al paso 1 y prueba una opción diferente para$u$.
5. Por último, sustituya$x$ la espalda por$u$'s en todas partes en tu respuesta.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Evaluar$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx$.

Solución

Este integrando es más complicado que nada en nuestra lista de fórmulas integrales básicas, así que tendremos que probar otra cosa. La única herramienta que tenemos es la sustitución, ¡así que probemos eso!

1. $u$Déjese formar parte del integrando. Una buena primera opción es un paso dentro del bit más desordenado:

   Vamos$u=4-x^2$.

2. Cómputos$du=\frac{du}{dx}\,dx$:

   $du=-2x\, dx$. Hay$x\, dx$ en el integrando, así que eso es una buena señal; eso será$-\frac{1}{2}\,du$.

3. Traduce todas tus$x$ cosas en$u$ todas partes de la integral, incluyendo$dx$:

   $$\begin{align*} \int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx & = \int\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}(x\, dx) \\ & = \int\frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2}du\right) \\ & = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}\, du \\ & = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du \end{align*} \nonumber$$

   Alternativamente, podríamos haber resuelto por dx y sustituido eso y simplificado:$dx=\frac{du}{-2x}$, entonces $$\begin{align*} \int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx & = \int\frac{x}{\sqrt{u}}\left(\frac{du}{-2x}\right) \\ & = \int\frac{1}{\sqrt{u}}\left(-\frac{1}{2}du\right) \\ & = -\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}\, du \\ & = -\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du \end{align*} \nonumber$$

4. Integrar la nueva$u$ -integral, si es posible:

   $$-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\, du = -\frac{1}{2}\frac{u^{1/2}}{1/2}+C=-u^{1/2}+C \nonumber$$

5. Por último, sustituya$x$ la espalda por$u$'s en todas partes en la respuesta:

   Deshaciendo nuestros rendimientos de$u=4-x^2$ sustitución $$-u^{1/2}+C = -\sqrt{4-x^2}+C. \nonumber$$

Así hemos encontrado $$\int\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\, dx= -\sqrt{4-x^2}+C \nonumber$$

¿Cómo comprobaríamos esto? Diferenciando: $$\begin{align*} \frac{d}{dx}\left(-\sqrt{4-x^2}+C\right) & = \frac{d}{dx}\left(-\left(4-x^2\right)^{1/2}+C\right) \\ & = -\frac{1}{2}\left(4-x^2\right)^{-1/2}(-2x) \\ & = x\left(4-x^2\right)^{-1/2} \\ & = \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \end{align*} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Evaluar$\displaystyle \int\frac{e^x\, dx}{\left(e^x+15\right)^3}$.

Solución

Esta integral no está en nuestra lista de bloques de construcción. Pero fíjense que la derivada de$e^x+15$ (que vemos en el denominador) es justa$e^x$ (que vemos en el numerador), por lo que la sustitución será una buena opción para esto.

Vamos$u=e^x+15$. Entonces$du=e^x\, dx$, y esta integral se vuelve$\int\frac{du}{u^3} = \int u^{-3}\, du$.

Por suerte, eso está en nuestra lista de fórmulas de bloques de construcción:$\int\frac{du}{u^3} = \frac{u^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2u^2}+C$.

Finalmente, traduciendo de nuevo: $$\int\frac{e^x\, dx}{\left(e^x+15\right)^3} = -\frac{1}{2\left(e^x+15\right)^2} +C. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Evaluar

1. $\displaystyle \int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx$
2. $\displaystyle \int\frac{x^3+5}{x^2}\, dx$

Solución

1. Esta no es una integral básica, pero la composición es menos obvia. Aquí, podemos tratar el denominador como el interior de la$\frac{1}{x}$ función.

   Vamos$u=x^3+5$. Entonces$du=3x^2\, dx$. Resolviendo para$dx$,$dx=\frac{du}{3x^2}$. Sustituyendo, $$\int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx = \int\frac{x^2}{u}\frac{du}{3x^2} = \int \frac{1}{u}\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\, du \nonumber$$

   Usando nuestras fórmulas básicas, $$\frac{1}{3}\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3}\ln|u| +C. \nonumber$$

   Deshaciendo la sustitución, $$\int\frac{x^2}{x^3+5}\, dx = \frac{1}{3}\ln\left|x^3+5\right| +C. \nonumber$$

2. Es tentador iniciar este problema de la misma manera que hicimos el último, pero si lo intentamos no va a funcionar, ya que el numerador de esta fracción no es la derivada del denominador. En cambio, tenemos que probar un enfoque diferente. Para este problema, podemos usar algún álgebra básica: $$\begin{align*} \int\frac{x^3+5}{x^2}\, dx & = \int\left(\frac{x^3}{x^2}+\frac{5}{x^2}\right)\, dx \\ & = \int\left(x+5x^{-2}\right)\, dx. \end{align*} \nonumber$$

   Podemos integrar esto usando nuestras reglas básicas, sin necesidad de sustitución: $$\begin{align*} \int\left(x+5x^{-2}\right)\, dx & = \frac{x^2}{2}+5\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ & = \frac{1}{2}x^2-\frac{5}{x}+C. \end{align*} \nonumber$$

Sustitución e Integrales Definitivas

Cuando usas la sustitución para ayudar a evaluar una integral definida, tienes la opción de manejar los límites de la integración. Puedes hacer cualquiera de estos, lo que te parezca mejor. Lo importante a recordar es que los límites originales de integración eran valores de la variable original (digamos,$x$), no valores de la nueva variable (digamos,$u$).

1. Se puede resolver el antiderivado como un problema secundario, traduciendo de nuevo a$x$'s, y luego usar el antiderivado con los límites originales de integración.

   O...

2. Puedes sustituir los límites de la integración al mismo tiempo que estás sustituyendo por todo lo que hay dentro de la integral, y luego saltarte la traducción de nuevo al$x$ paso.

   Si la integral original tenía puntos finales$x =a$ y$x =b$, y hacemos la sustitución$u = g(x )$ y$du = g'(x )\, dx$, entonces la nueva integral tendrá puntos finales$u= g(a)$ y$u=g(b)$ y $$\int_{x=a}^{x=b}\text{(original integrand)}\, dx\nonumber$$ se convierte $$\int_{u=g(a)}^{u=g(b)} \text{(new integrand)}\, du.\nonumber$$

El método 1 parece más sencillo para la mayoría de los estudiantes, pero puede implicar un poco de álgebra desordenada. El método 2 suele ser más ordenado y generalmente implica menos pasos.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Evaluar$\int\limits_0^1 (3x-1)^4\, dx$.

Solución

Necesitaremos una sustitución para encontrar un antiderivado, por lo que tendremos que manejar cuidadosamente los límites de la integración. Resolvamos este ejemplo en ambos sentidos.

1. Paso uno: encuentre el antiderivado, usando la sustitución:

   Vamos$u=3x-1$. Entonces$du=3\, dx$ y $$\int(3x-1)^4\, dx = \int u^4\left(\frac{1}{3}\, du\right) = \frac{1}{3}\frac{u^5}{5}+C. \nonumber$$

   Traduciendo de nuevo a$x$: $$\frac{1}{3}\frac{u^5}{5}+C = \frac{(3x-1)^5}{15}+C. \nonumber$$

   Paso Dos — evaluar la integral definida: $$\int\limits_0^1 (3x-1)^4\, dx = \left. \frac{(3x-1)^5}{15}\right]_0^1 = \frac{\left(3(1)-1\right)^5}{15} - \frac{\left(3(0)-1\right)^5}{15} = \frac{32}{15}-\frac{-1}{15}=\frac{33}{15}. \nonumber$$

2. Vamos$u=3x-1$. Entonces$du=3\, dx$ y, sustituyendo los límites de la integración, cuándo$x = 0$,$u = -1$, y cuándo$x = 1$,$u = 2$.

   Entonces, $$\begin{align*} \int_{x=0}^{x=1} (3x-1)^4\, dx & = \int_{u=-1}^{u=2} u^4\left(\frac{1}{3}\, du\right) \\ & = \left.\frac{u^5}{15}\right]_{u=-1}^{u=2} \\ & = \frac{(2)^5}{15}-\frac{(-1)^5}{15} \\ & = \frac{32}{15}-\frac{-1}{15} \\ & = \frac{33}{15} \end{align*} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Evaluar$\int\limits_2^{10} \frac{\left(\ln(x)\right)^6}{x}\, dx$.

Solución

Puedo ver la derivada de$\ln(x)$ en el integrando, así puedo decir que la sustitución es una buena opción.

Vamos$u=\ln(x)$. Entonces$du=\frac{1}{x}\, dx$. Cuando$x=2$,$u=\ln(2)$. Cuando$x=10$,$u=\ln(10)$. Entonces la nueva integral definitiva es $$\begin{align*} \int\limits_{x=2}^{x=10}\frac{\left(\ln(x)\right)^6}{x}\, dx & = \int\limits_{u=\ln(2)}^{u=\ln(10)} u^6\, du \\ & = \left.\frac{u^7}{7}\right]_{u=\ln(2)}^{u=\ln(10)} \\ & = \frac{1}{7}\left(\left(\ln(10)\right)^7-\left(\ln(2)\right)^7\right) \\ \approx & 49.01. \end{align*} \nonumber$$