0.1: Números

Antes de hacer otra cosa, es muy importante que estemos de acuerdo en las definiciones y nombres de algunas colecciones importantes de números.

• Números naturales — Estos son los “números enteros” 1,2,3,... que aprendemos primero aproximadamente al mismo tiempo que aprendemos el alfabeto. Denotaremos esta colección de números con el símbolo “\(\mathbb{N}\)”. El símbolo\(\mathbb{N}\) está escrito en un tipo de fuente en negrita que llamamos “tablero negro negrita” (y definitivamente no es el mismo símbolo que\(N\)). Deberías acostumbrarte a escribir algunas letras de esta manera ya que normalmente se usa para denotar colecciones de números importantes. Desafortunadamente, a menudo hay cierta confusión en cuanto a si se debe incluir o no cero ¹. En este texto los números naturales no incluyen cero.

  Observe que el conjunto de números naturales se cierra bajo suma y multiplicación. Esto significa que si tomas dos números naturales cualquiera y los agregas obtienes otro número natural. De igual manera si tomas dos números naturales cualesquiera y los multiplicas obtienes otro número natural. Sin embargo, el conjunto no se cierra bajo resta o división; necesitamos números y fracciones negativas para hacer colecciones de números cerrados bajo resta y división.

  Dos subconjuntos importantes de números naturales son:

  • Números primos — un número natural es primo cuando los únicos números naturales que lo dividen exactamente son 1 y él mismo. Equivalentemente no puede escribirse como producto de dos números naturales ninguno de los cuales es 1. Tenga en cuenta que 1 no es un número primo ².
  • Números compuestos — un número natural es un número compuesto cuando no es primo.

  De ahí que el número\(7\) sea primo, pero\(6 = 3\times 2\) es compuesto.

• Enteros — todos los números positivos y negativos junto con el número cero. Denotamos la colección de todos los enteros por el símbolo “\(\mathbb{Z}\)”. Nuevamente, tenga en cuenta que este no es el mismo símbolo que “\(Z\)”, y debemos escribirlo en la misma fuente negrita de pizarra negra. Las\(\mathbb{Z}\) siglas para el alemán Zahlen que significa números ³. Tenga en cuenta que\(\mathbb{Z}\) se cierra bajo suma, resta y multiplicación, pero no división.

  Dos subconjuntos importantes de números enteros son:

  • Números pares — un entero es incluso si es exactamente divisible por\(2\text{,}\) o equivalentemente si se puede escribir como el producto de 2 y otro entero. Esto significa eso\(-14, 6\) y\(0\) están todos parejos.
  • Números impares — un entero es impar cuando no es par. Equivalentemente se puede escribir como\(2k+1\) donde\(k\) está otro entero. Así\(11 = 2\times 5+1\) y\(-7 = 2\times(-4)+1\) son ambos impares.
• Números racionales — esto es todos los números que se pueden escribir como la proporción de dos enteros. Es decir, cualquier número racional\(r\) puede escribirse como\(p/q\) donde\(p,q\) están los enteros. Denotamos esta colección\(\mathbb{Q}\) al representar quoziente que es italiano para cociente o ratio. Ahora por fin tenemos un conjunto de números que se cierra bajo suma, resta, multiplicación y división (claro que todavía hay que tener cuidado de no dividir por cero).
• Números reales — generalmente pensamos en estos números como números que se pueden escribir como expansiones decimales y lo denotamos por\(\mathbb{R}\text{.}\) Está más allá del alcance de este texto entrar en los detalles de cómo dar una definición precisa de números reales, y la noción de que un número real puede escribirse como decimal la expansión será suficiente.

  Los matemáticos tardaron bastante tiempo en darse cuenta de que había números que no podían escribirse como proporciones de enteros ⁴. Los primeros números que se mostraron no racionales son raíces cuadrados de números primos, como\(\sqrt{2}\text{.}\) Otros ejemplos bien conocidos son\(\pi\) y\(e\text{.}\) Por lo general, el hecho de que algunos números no se puedan representar como proporciones de números enteros es inofensivo porque esos números pueden aproximarse por racionales números a cualquier precisión deseada.

  La razón por la que podemos aproximar números reales de esta manera es el sorprendente hecho de que entre dos números reales cualesquiera, siempre se puede encontrar un número racional. Entonces, si nos interesa un número real en particular siempre podemos encontrar un número racional que sea extremadamente cercano. Los matemáticos se refieren a esta propiedad diciendo que\(\mathbb{Q}\) es densa en\(\mathbb{R}\text{.}\)

Así que para resumir

Definición 0.1.1. Juegos de números.

Esto no es realmente una definición, pero debes conocer estos símbolos

• \(\mathbb{N} = \)los números naturales,
• \(\mathbb{Z} = \)los enteros,
• \(\mathbb{Q} = \)los racionales, y
• \(\mathbb{R} = \)los reales.

Más sobre números reales

En los párrafos anteriores hemos hablado de las expansiones decimales de los números reales y sólo hay un punto más que deseamos tocar. Las expansiones decimales de los números racionales son siempre periódicas, es decir, la expansión finalmente comienza a repetirse. Por ejemplo

\ begin {alinear*}\ frac {2} {15} &= 0.133333333\ puntos\\\ frac {5} {17} &= 0. \ subrayado {2941176470588235} 2941176470588235\ subrayado {2941176470588235} 294117647058823\ dots\ end {align*}

donde hemos subrayado algunos de los últimos ejemplos para que el periodo sea más claro. Por otro lado, los números irracionales, como\(\sqrt{2}\) y\(\pi\text{,}\) tienen expansiones que nunca se repiten.

Si queremos pensar en los números reales como sus expansiones decimales, entonces necesitamos que esas expansiones sean únicas. Es decir, no queremos poder anotar dos expansiones distintas, cada una dando el mismo número real. Desafortunadamente hay un conjunto infinito de números que no tienen expansiones únicas. Considera el número 1. Normalmente solo escribimos “1”, pero como expansión decimal es

\ begin {reunir*} 1.00000000000\ dots\ end {recolección*}

es decir, un solo 1 seguido de una cadena infinita de 0's. Ahora considere el siguiente número

\ begin {reunir*} 0.99999999999\ dots\ end {recolección*}

Esta segunda expansión decimal en realidad representa el mismo número —el número\(1\text{.}\) Vamos a probar esto. Primero llama al número real que esto representa\(q\text{,}\) entonces

\ begin {align*} q &=0.99999999999\ dots\ end {align*}

Usemos un pequeño truco para deshacernos de la larga cadena de trailing 9's.\(10q\text{:}\)

\ begin {align*} q &=0.99999999999\ dots\\ 10q &=9.99999999999\ dots\ end {align*}

Si ahora restamos uno del otro obtenemos

\ begin {align*} 9q &= 9.0000000000\ dots\ end {align*}

y así nos quedamos con\(q=1.0000000\dots\text{.}\) Así que ambas expansiones representan el mismo número real.

Agradecidamente este tipo de cosas solo ocurren con números racionales de una forma particular —aquellos cuyos denominadores son productos de 2s y 5s. Por ejemplo

\ begin {alinear*}\ frac {3} {25} &= 1.200000\ puntos = 1.19999999\ puntos\\ -\ frac {7} {32} &= -0.2187500000\ puntos = -0.2187499999\ puntos\\ frac {9} {20} &= 0.45000000\ puntos = 0.4499999\ puntos\ end {alinear*}

Podemos formalizar este resultado en el siguiente teorema (que no hemos probado en general, pero está más allá del alcance del texto hacerlo):

Teorema 0.1.2.

\(x\)Déjese ser un número real. Entonces\(x\) deben caer en una de las dos categorías siguientes,

• \(x\)tiene una expansión decimal única, o
• \(x\)es un número racional de la forma\(\frac{a}{2^k 5^\ell}\) donde\(a\in \mathbb{Z}\) y\(k,l\) son enteros no negativos.

En el segundo caso,\(x\) tiene exactamente dos expansiones, una que termina en una cadena infinita de 9's y la otra termina en una cadena infinita de 0's.

Cuando tenemos la opción de dos expansiones, es habitual evitar la que termina en una cadena infinita de 9's y escribir la otra en su lugar (omitiendo la cadena infinita final de 0's).