2.13: Definición de Ejemplos Derivados

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En la última sección, vimos la tasa instantánea de cambio, o derivada, de una función\(f(x)\) en un punto\(x\) viene dada por

\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\)

Definición de Derivada 1

Encuentra la derivada de la función\(f(x) = 3x + 5\) usando la definición de la derivada.

Para usar esto en la fórmula\(f'(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\), primero necesitamos reemplazar la\(f(x+h)\) parte de la fórmula. Esto es\(f(x)\) lo mismo que es\(3x+5\), salvo que\(x\) sustituimos por eso\((x+h)\) en parantheses. Al igual que los siguientes. Los colores son sólo para resaltar la sustitución de\(f(x+h)\) y\(f(x)\). Dejaremos caer los colores tan pronto como necesitemos combinar expresiones.

\[\begin{align*} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ \end{align*}\]

Ahora seguimos simplificando y encontrando la respuesta.

\[\begin{align*} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{3x + 3h + 5 - 3x - 5}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} 3 \\ & = \boxed{3} \end{align*}\]

Aquí, tenemos\(f'(x) = 3\). Eso tiene sentido si lo piensas: ¡\(3x + 5\)es una línea con pendiente\(3\)!

Definición de Derivada 2

Encuentra la derivada de\(f(x) = x^2\) usar la definición.

\[\begin{align*} f'(x) & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac

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{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} 2x + h \\ & = 2x + (0) \\ & = \boxed{2x} \end{align*}\]

Entonces, ¿qué significa esto? Bueno, esto significa que doblamos\(x\) para encontrar la pendiente de la línea tangente de\(f(x) =x^2\). Entonces en\(x = 3\), la pendiente es\(6\), y en\(x = 1.2\), la pendiente es\(2.4\). ETC.