2.1: Límites

Antes de que realmente empecemos, recordemos alguna notación útil.

Definición 2.1.1

• $\mathbb{N}$es el conjunto$\{1,2,3,\cdots\}$ de todos los números naturales.
• $\mathbb{R}$es el conjunto de todos los números reales.
• $\in$se lee “es un elemento de”.
• $\notin$se lee “no es un elemento de”.
• $\left \{ A|B \right \}$se lee “el conjunto de todos$A$ tales que$B$”
• Si$S$ es un conjunto y$T$ es un subconjunto de$S\text{,}$ entonces$S\setminus T$ es$\left \{x\in S|x\notin T\right \}\text{,}$ el conjunto$S$ con los elementos de$T$ eliminado. En particular, si$S$ es un conjunto y$a$ es un elemento de$S\text{,}$ entonces$S\setminus\{a\}=\left \{x\in S|x\ne\ a\right \}$ es el conjunto$S$ con el elemento$a$ eliminado.
• Si$n$ es un número natural,$\mathbb{R}^n$ se utiliza tanto para el conjunto de vectores$n$$\left \langle  x_1,x_2,\cdots,x_n  \right \rangle$ -componente como para el conjunto de puntos$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ con$n$ coordenadas.
• Si$S$ y$T$ son conjuntos, entonces$f:S\rightarrow T$ significa que$f$ es una función que asigna a cada elemento de$S$ un elemento de$T\text{.}$ El conjunto$S$ se llama el dominio de$f\text{.}$

• \ begin {alinear*}
  [a, b] =\ izquierda\ {x\ in\ mathbb {R} |a\ le x\ le b\ derecha\} &&
  (a, b] =\ izquierda\ {x\ in\ mathbb {R} |a\ lt x\ le b\ derecha\}\\
  [a, b) =\ izquierda\ {x\ en\ mathbb {R} |a\ le x\ lt b\ derecha\} &&
  (a, b) =\ izquierda\ {x\ in\ mathbb {R} |a\ lt x\ lt b\ derecha\}
  \ final {alinear*}

La definición del límite de una función de más de una variable se parece a la definición ¹ del límite de una función de una variable. Muy a grandes rasgos

$$\begin{gather*} \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = \textbf{L} \end{gather*}$$

si$f(\vec{x})$ se$\vec{x}$ acerca$\textbf{L}$ cada vez que se acerca$\vec{a}\text{.}$ Aquí hay una definición más cuidadosa de límite.

Definición 2.1.2. Límite

Let

• $m$y$n$ ser números naturales ²
• $\displaystyle \vec{a}\in \mathbb{R}^m$
• la función$f(\vec{x})$ se define para todos los$\vec{x}$ cerca de ³$\vec{a}$ y tomar valores en$\mathbb{R}^n$
• $\displaystyle \textbf{L}\in\mathbb{R}^n$

Escribimos

$$\begin{gather*} \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = \textbf{L} \end{gather*}$$

si ⁴ el valor de la función$f(\vec{x})$ está seguro de estar arbitrariamente cerca de$\textbf{L}$ siempre que el valor de$\vec{x}$ esté lo suficientemente cerca$\vec{a}\text{,}$ sin que ⁵ sea exactamente$\vec{a}\text{.}$

Ahora que hemos ampliado la definición de límite, podemos extender la definición de continuidad.

Definición 2.1.3. Continuidad

Let

• $m$y$n$ ser números naturales
• $\displaystyle \vec{a}\in\mathbb{R}^m$
• la función$f(\vec{x})$ se define para todos los valores$\vec{x}$ cercanos$\vec{a}$ y tomar en$\mathbb{R}^n$

1. La función$f$ es continua en un punto$\vec{a}$ si

   $$\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = f(\vec{a}) \nonumber$$

2. La función$f$ es continua en un conjunto$D$ si es continua en cada punto de$D\text{.}$

Aquí hay algunos ejemplos muy simples. Habrá algunos ejemplos más sustanciales más adelante —después, como hicimos en el texto CLP-1, construimos algunas herramientas que se pueden utilizar para construir límites complicados a partir de otros más simples.

Ejemplo 2.1.4

1. Si$f(x,y)$ es la función constante que siempre toma el valor$L\text{,}$ entonces

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = L \nonumber$$

2. Si$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ se define por$f(x,y) = (x,y)\text{,}$ entonces

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = (a,b) \nonumber$$

3. Por definición, como$(x,y)$ enfoques$(a,b)\text{,}$$x$ enfoques$a$ y$y$ enfoques$b\text{,}$ para que si$f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ se define para$f(x,y) = x\text{,}$ entonces

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = a \nonumber$$

   Del mismo modo, si$g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ se define por$g(x,y) = y\text{,}$ entonces

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) = b \nonumber$$

Los límites de las funciones multivariables tienen las mismas propiedades computacionales que los límites de funciones de una variable. El siguiente teorema resume un montón de ellos. Por simplicidad, se refiere principalmente a funciones valoradas reales. Es decir, funciones que dan salida a números reales a diferencia de vectores. Sin embargo, sí contiene una función valorada por vector. La función$\textbf{X}$ en el teorema toma como entrada un vector$n$ -component y devuelve un vector$m$ -component. No vamos a tratar con muchas funciones valoradas por vectores aquí en CLP-3, pero veremos mucho en CLP-4.

Teorema 2.1.5. Aritmética y otras propiedades de los límites

Let

• $m$y$n$ ser números naturales
• $\vec{a}\in \mathbb{R}^m$y$\vec{b}\in\mathbb{R}^n$
• $D$ser un subconjunto de$\mathbb{R}^m$ que contiene todos los$\vec{x}\in\mathbb{R}^m$ que están cerca$\vec{a}$
• $\displaystyle c,F,G\in\mathbb{R}$

y

$$f,g:D\setminus\{\vec{a}\}\rightarrow\mathbb{R}\qquad \textbf{X}:\mathbb{R}^m\setminus\{\vec{b}\}\rightarrow D\setminus\{\vec{a}\}\qquad \gamma :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \nonumber$$

Supongamos que

$$\lim_{\vec{x}\to \vec{a}} f(\vec{x}) = F\qquad \lim_{\vec{x}\to \vec{a}} g(\vec{x}) = G\qquad \lim_{\vec{y}\to \vec{b}} \textbf{X}(\vec{y}) = \vec{a}\qquad \lim_{t\to F} \gamma (t) = \gamma (F) \nonumber$$

Entonces

1. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}}\big[f(\vec{x})+g(\vec{x})\big] =F+G$

   $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}}\big[f(\vec{x})-g(\vec{x})\big] =F-G$

2. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} f(\vec{x})\,g(\vec{x}) =FG$

   $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} cf(\vec{x}) =cF$

3. $\lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} \frac{f(\vec{x})}{g(\vec{x})} =\frac{F}{G}$si$G\ne 0$
4. $\displaystyle \lim\limits_{\vec{y}\rightarrow \vec{b}} f\big(\textbf{X}(\vec{y})\big) =F$
5. $\displaystyle \lim\limits_{\vec{x}\rightarrow \vec{a}} \gamma \big(f(\vec{x})\big) =\gamma (F)$

Esto demuestra que los límites multivariables interactúan muy bien con la aritmética, tal como lo hicieron los límites de una sola variable. Recordemos también, del Teorema 1.6.8 en el texto CLP-1,

Teorema 2.1.6

Las siguientes funciones son continuas en todas partes en sus dominios

• polinomios, funciones racionales
• raíces y poderes
• funciones trigonales y sus inversos
• exponencial y el logaritmo

Ejemplo 2.1.7

En este ejemplo evaluamos

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \frac{x+\sin y}{x^2y^2+1} \nonumber$$

como una aplicación típica del Teorema 2.1.5. Aquí “$\overset{a}{=}$” significa que la parte (a) del Teorema 2.1.5 justifica esa igualdad. Comience por computar por separado los límites del numerador y denominador.

$$\begin{align*} &\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \big(x+\sin y\big)\ \overset{a}{=} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x +\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)}\sin y\\ &\hskip0.5in\overset{e}{=} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x +\sin\Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big)\\ &\hskip0.5in=\ 2+\sin 3\\ &\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \big(x^2y^2+1\big)\ \overset{a}{=}\ \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x^2y^2 +\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)}1\\ &\hskip0.5in\overset{b}{=}\ \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} x\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big) \Big(\lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} y\Big)+1\\ &\hskip0.5in=\ 2^23^2+1 \end{align*}$$

Dado que el límite del denominador es distinto de cero, simplemente podemos dividir.

$$\begin{align*} \lim_{(x,y)\rightarrow (2,3)} \frac{x+\sin y}{x^2y^2+1}\ &\overset{c}{=}\ \frac {\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (2,3)}(x+\sin y)} {\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (2,3)}(x^2y^2+1)}\\ &=\ \frac{2+\sin 3}{37} \end{align*}$$

Aquí hemos utilizado que$\sin x$ es una función continua.

Si bien la Definición 1.3.3 del texto CLP-1 del límite de una función de una variable, y nuestra Definición 2.1.2 del límite de una función multivariable parecen prácticamente idénticas, existe una diferencia práctica sustancial entre las dos. En la dimensión uno, puedes acercarte a un punto desde la izquierda o desde la derecha y eso es todo. Sólo hay dos posibles direcciones de aproximación. En dos o más dimensiones hay “mucho más espacio” y hay infinitamente muchos tipos posibles de aproximación. Incluso uno puede entrar en espiral hasta un punto. Vea las figuras del medio y de la mano derecha a continuación.

Los siguientes ejemplos ilustran el impacto que el “espacio extra” en dimensiones mayores a uno tiene en los límites.

Ejemplo 2.1.8

Como segundo ejemplo, consideramos$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\text{.}$ En este ejemplo, tanto el numerador, como el denominador,$x^2y\text{,}$$x^2+y^2\text{,}$ tienden a cero a medida que se$(x,y)$ aproxima$(0,0)\text{,}$ por lo que hay que tener más cuidado.

Una buena manera de ver el comportamiento de una función$f(x,y)$ cuando$(x,y)$ está cerca$(0,0)$ es cambiar a las coordenadas polares,$r,\theta\text{,}$ que están definidas por

$$\begin{align*} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta \end{align*}$$

Los puntos$(x,y)$ que están cerca$(0,0)$ son aquellos con pequeños$r\text{,}$ independientemente de lo que$\theta$ sea. Recordemos que$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=L$ cuando se$(x,y)$ acerca$L$ como$f(x,y)$ enfoques$(0,0)\text{.}$ Sustituir por$x=r\cos\theta\text{,}$$y=r\sin\theta$ esa afirmación la convierte en la afirmación de que$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=L$ cuando se$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ acerca$L$ como$r$ enfoques$0\text{.}$ Para nuestro ejemplo actual

$$\begin{gather*} \frac{x^2y}{x^2+y^2} =\frac{(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)}{r^2} =r\cos^2\theta\sin\theta \end{gather*}$$

Como$\big|r\cos^2\theta\sin\theta\big|\le r$ tiende a$0$ lo que$r$ tiende a$0$ (independientemente de lo que$\theta$ hace lo que$r$ tiende a$0$) tenemos

$$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0 \nonumber$$

Ejemplo 2.1.9

Como tercer ejemplo, consideramos$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{.}$ Una vez más, la mejor manera de ver el comportamiento de$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ for$(x,y)$ close to$(0,0)$ es cambiar a coordenadas polares.

$$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2}{r^2} =\cos^2\theta-\sin^2\theta =\cos(2\theta) \nonumber$$

Tenga en cuenta que, esta vez,$f$ es independiente$r$ pero depende de$\theta\text{.}$ Aquí hay un boceto muy magnificado de una serie de curvas de nivel para$f(x,y)\text{.}$

Observe que

• como$(x,y)$ se acerca$(0,0)$ a lo largo del rayo con$2\theta =30^\circ\text{,}$$f(x,y)$ aproximaciones al valor$\frac{\sqrt{3}}{2}$ (y de hecho$f(x,y)$ toma el valor$\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ en cada punto de ese rayo)
• como$(x,y)$ se acerca$(0,0)$ a lo largo del rayo con$2\theta =60^\circ\text{,}$$f(x,y)$ aproximaciones al valor$\frac{1}{2}$ (y de hecho$f(x,y)$ toma el valor$\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ en cada punto de ese rayo)
• como$(x,y)$ se acerca$(0,0)$ a lo largo del rayo con$2\theta =90^\circ\text{,}$$f(x,y)$ aproximaciones al valor$0$ (y de hecho$f(x,y)$ toma el valor$\cos(90^\circ)=0$ en cada punto de ese rayo)
• y así sucesivamente

Por lo que no hay un solo número$L$ tal que$f(x,y)$ se acerque$L$ como$r=|(x,y)|\rightarrow 0\text{,}$ sin importar cuál sea la dirección de aproximación. El límite$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ no existe.

Aquí hay otra manera de llegar a la misma conclusión.

• Elige cualquier número positivo realmente pequeño. Vamos a usar$10^{-137}$ como ejemplo.
• Elige cualquier número real$F$ entre$-1$ y Lo$1\text{.}$ usaremos$F=\frac{\sqrt{3}}{2}$ como ejemplo.
• Mirando el boceto anterior, vemos que$f(x,y)$ toma el valor$F$ a lo largo de un rayo entero$\theta={\rm const}\text{,}$$r\gt 0\text{.}$ En el caso de que$F=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}$ el rayo sea$2\theta=30^{\circ}\text{,}$$r\gt 0\text{.}$ En particular, porque el rayo se extiende todo el camino para$(0,0)\text{,}$$f$ tomar el valor$F$ para algunos$(x,y)$ obedecer$|(x,y)|\lt 10^{-137}\text{.}$
• Eso es cierto independientemente del número realmente pequeño que hayas elegido. Entonces$f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ no se acerca a ningún valor único como$r=|(x,y)|$ enfoques$0$ y concluimos que$\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ no existe.

Opcional: un límite desagradable que no existe

Ejemplo 2.1.10

En este ejemplo estudiamos el comportamiento de la función

$$f(x,y)=\begin{cases} \frac{(2x-y)^2}{x-y} & \text{if } x\ne y\\ 0 & \text{if } x=y \end{cases} \nonumber$$

as$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$ Aquí hay una gráfica de la curva de nivel,$f(x,y)=-3\text{,}$ para esta función.

Aquí hay una gráfica más grande de curvas de nivel,$f(x,y)=c\text{,}$ para varios valores de la constante$c\text{.}$

Como antes, ayuda a convertir a coordenadas polares —es un buen acercamiento ⁶. En coordenadas polares

$$f(r\cos\theta,r\sin\theta) =\begin{cases} r\frac{(2\cos\theta-\sin\theta)^2}{\cos\theta-\sin\theta} & \text{if } \cos\theta\ne\sin\theta \\ 0 & \text{if } \cos\theta=\sin\theta \end{cases} \nonumber$$

Si nos acercamos al origen a lo largo de cualquier rayo fijo$\theta=\text{const}\text{,}$ entonces$f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ son los tiempos constantes$\frac{(2\cos\theta-\sin\theta)^2}{\cos\theta-\sin\theta}$ (o$0$ if$\cos\theta=\sin\theta$)$r$ y así se acerca a cero a medida que se$r$ acerca a cero. Esto se puede ver en la siguiente figura, que muestra de nuevo las curvas de nivel, con los rayos$\theta=\frac{1}{8}\pi$ y$\theta=\frac{3}{16}\pi$ superpuestas.

Si te mueves hacia el origen en cualquiera de esos rayos, primero cruzas la$f=3$ curva de$f=2$ nivel, luego la curva de$f=1$ nivel, luego la curva de$f=\frac{1}{2}$ nivel, y así sucesivamente.

Que$f(x,y)\rightarrow 0$ como$(x,y)\rightarrow (0,0)$ a lo largo de cualquier rayo fijo es sugerente, pero no implica que el límite exista y sea cero. Recordemos que para tener$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=0\text{,}$ necesitamos$f(x,y)\rightarrow 0$ no importa cómo$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$ No es suficiente comprobar sólo los enfoques de línea recta.

De hecho, el límite de$f(x,y)$ como$(x,y)\rightarrow (0,0)$ no existe. Una buena manera de ver esto es observar que si arreglas$r \gt 0\text{,}$ alguna por pequeña que sea,$f(x,y)$ toma todos los valores de$-\infty$ a$+\infty$ en el círculo$x^2+y^2=r^2\text{.}$ Puedes ver esto en la siguiente figura, que muestra las curvas de nivel una vez más, con un círculo$x^2+y^2=r^2$ superpuesto. Por cada uno$-\infty \lt c \lt \infty\text{,}$ la curva de nivel$f(x,y)=c$ cruza el círculo.

En consecuencia no hay un número$L$ tal que$f(x,y)$ esté cerca$L$ cuando$(x,y)$ esté lo suficientemente cerca de$(0,0)\text{.}$ El límite$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} f(x,y)$ no existe.

Otra forma de ver que$f(x,y)$ no tiene ningún límite como$(x,y)\rightarrow (0,0)$ es mostrar que$f(x,y)$ no tiene un límite como$(x,y)$ aproximaciones$(0,0)$ a lo largo de alguna curva específica. Esto se puede hacer escogiendo una curva que haga que el denominador,$x-y\text{,}$ tienda a cero muy rápidamente. Una de esas curvas es$x-y=x^3$ o, equivalentemente,$y=x-x^3\text{.}$ A lo largo de esta curva, para$x\ne 0\text{,}$

$$\begin{align*} f(x,x-x^3)&=\frac{{(2x-x+x^3)}^2}{x-x+x^3} =\frac{{(x+x^3)}^2}{x^3}\\ &=\frac{{(1+x^2)}^2}{x}\longrightarrow \begin{cases}+\infty & \text{as $x\rightarrow 0$ with } x \gt 0 \\ -\infty & \text{as $x\rightarrow 0$ with } x \lt 0 \end{cases} \end{align*}$$

La elección del poder específico no$x^3$ es importante. Cualquier poder$x^p$ con$p \gt 2$ tendrá el mismo efecto.

Si enviamos$(x,y)$ a$(0,0)$ lo largo de la curva$x-y=ax^2$ o, equivalentemente,$y=x-ax^2\text{,}$ donde$a$ es una constante distinta de cero,

$$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 0}f(x,x-ax^2) &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(2x-x+ax^2)}^2}{x-x+ax^2} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(x+ax^2)}^2}{ax^2}\\ &=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{(1+ax)}^2}{a} =\frac{1}{a} \end{align*}$$

Este límite depende de la elección de la constante$a\text{.}$ Una vez más, esto demuestra que$f(x,y)$ no tiene un límite como$(x,y)\rightarrow (0,0)\text{.}$

Ejercicios

Etapa 1

1

Supongamos que$f(x,y)$ es una función tal que$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=10\text{.}$

Verdadero o falso:$|f(0.1,0.1)-10| \lt |f(0.2,0.2)-10|$

2

Una piedra de molino libra el trigo en harina. El trigo se sienta en una cuenca, y la piedra de molino libra arriba y abajo.

Se toman muestras de trigo de diversos lugares a lo largo de la cuenca. Se miden sus diámetros y se registra su posición en la cuenca.

Considera esta afirmación: “A medida que las partículas se acercan mucho a la piedra de molino, los diámetros de las partículas se acercan a los 50$\mu$ m”. En este contexto, describa las variables a continuación de la Definición 2.1.2.

1. $\displaystyle \mathbf x$
2. $\displaystyle \mathbf a$
3. $\displaystyle \mathbf L$

3

Let$f(x,y)=\dfrac{x^2}{x^2+y^2}\text{.}$

1. Encuentra un rayo acercándose al origen a lo largo del cual$f(x,y)=1\text{.}$
2. Encuentra un rayo acercándose al origen a lo largo del cual$f(x,y)=0\text{.}$
3. ¿Qué muestra el trabajo anterior sobre un límite de$f(x,y)\text{?}$

4

Let$f(x,y)=x^2-y^2$

1. Expresar la función en términos de las coordenadas polares$r$ y$\theta\text{,}$ y simplificar.
2. Supongamos que$(x,y)$ es una distancia de 1 desde el origen. ¿Cuáles son los valores más grandes y más pequeños de$f(x,y)\text{?}$
3. Let$r \gt 0\text{.}$ Supongamos$(x,y)$ es una distancia de$r$ desde el origen. ¿Cuáles son los valores más grandes y más pequeños de$f(x,y)\text{?}$
4. Deje$\epsilon \gt 0\text{.}$ Encontrar un valor positivo de$r$ que garantice$|f(x,y)| \lt \epsilon$ siempre que$(x,y)$ sea a lo sumo$r$ unidades desde el origen.
5. ¿Qué acabas de mostrar?

5

Supongamos que$f(x,y)$ es un polinomio. Evaluar$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\text{,}$ dónde$(a,b)\in\mathbb R^2\text{.}$

Etapa 2

6

Evaluar, si es posible,

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(2,-1)}\ \big(xy+x^2\big)$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x}{x^2+y^2}$
3. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2}{x^2+y^2}$
4. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^3}{x^2+y^2}$
5. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\ \frac{x^2y^2}{x^2+y^4}$
6. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\ \frac{(\sin x)\left(e^y-1\right)}{xy}$

7. ✳

1. Encuentra el límite:$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^8+y^8}{x^4+y^4}\text{.}$
2. Demostrar que no existe el siguiente límite:$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^5}{x^8+y^{10}}\text{.}$

8. ✳

Evalúe cada uno de los siguientes límites o demuestre que no existe.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{x^2-y^4}{x^2+y^4}$

Etapa 3

9. ✳

Evalúe cada uno de los siguientes límites o demuestre que no existe.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\frac{2x^2 + x^2y - y^2x + 2y^2}{x^2 + y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,1)} \frac{x^2y^2 -2 x^2y + x^2} {(x^2 + y^2-2y+1)^2}$

10

Definir, para todos$(x,y)\ne(0,0)\text{,}$$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}\text{.}$

1. Let$0\le \theta \lt 2\pi\text{.}$ Compute$\displaystyle\lim_{r\rightarrow 0^+}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\text{.}$
2. Compute$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x,x^2)\text{.}$
3. ¿$\displaystyle\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$Existe?

11. ✳

Calcular los siguientes límites o explicar por qué no existen.

1. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$
2. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$
3. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(-1,1)}\frac{x^2+2xy^2+y^4}{1+y^4}$
4. $\displaystyle \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}|y|^x$

1. Definición 1.3.3 en el texto CLP-1.
2. En este texto, nos interesará$m,n\in\big\{1,2,3\big\}\text{,}$ pero la definición funciona para todos los números naturales$m,n\text{.}$
3. Para ser precisos, hay un número$r\gt 0$ tal que$f(\vec{x})$ se define para todos los que$\vec{x}$ obedecen$|\vec{x}-\vec{a}|\lt r\text{.}$
4. Existe una versión precisa y formal de esta definición que se parece a la Definición 1.7.1 del texto CLP-1.
5. Puede encontrar la condición “sin ser exactamente$\vec{a}$” un poco extraña, pero hay una buena razón para ello, que ya hemos visto en Cálculo I. En la definición$f'(x) = \lim\limits_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{,}$ la función cuyo límite se está tomando,$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\text{,}$ es decir, no se define en absoluto en$x=a\text{.}$ Esto volverá a suceder cuando definimos derivadas de funciones de más de una variable.
6. No solo un juego de palabras.