3.1: Integrales dobles

Rebanadas verticales

Supongamos que se quiere calcular la masa de una placa que llena la región$\mathcal{R}$ en el$xy$ plano. Supongamos además que la densidad de la placa, digamos en kilogramos por metro cuadrado, depende de la posición. Llamar a la densidad$f(x,y)\text{.}$ Por simplicidad asumiremos que$\mathcal{R}$ es la región entre la curva inferior$y=B(x)$ y la curva superior$y=T(x)$ con$x$ correr de$a$ a Es$b\text{.}$ decir,

$$\begin{gather*} \mathcal{R}=\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\} \end{gather*}$$

En breve expresaremos esa masa como una integral bidimensional. Como un calor, recordemos el procedimiento que utilizamos para configurar una integral (unidimensional) que representa el área del$\mathcal{R}$ Ejemplo 1.5.1 del texto CLP-2.

• Elija un número natural$n$ (que luego enviaremos al infinito), y luego
• $\mathcal{R}$subdividir en cortes verticales$n$ estrechos, cada uno de ancho$\Delta x=\frac{b-a}{n}\text{.}$ Denote por$x_i = a + i\,\Delta x$ la$x$ coordenada -del borde derecho del número de corte$i\text{.}$

  

• Por cada$i=1,2,\dots,n\text{,}$ rebanada el número$i$ tiene$x$ corriendo de$x_{i-1}$ a$x_i\text{.}$ Aproximamos su área por el área de un rectángulo. Escogemos un número$x_i^*$ entre$x_{i-1}$ y$x_i$ y aproximamos la rebanada por un rectángulo cuya parte superior está en$y=T(x_i^*)$ y cuya parte inferior está en$y=B(x_i^*)\text{.}$ El rectángulo está delineado en azul en la siguiente figura.

  

• Por lo tanto, el área de rebanada$i$ es aproximadamente$\big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x\text{.}$
• Entonces la aproximación de la suma de Riemann del área de$\mathcal{R}$ es

  $$\begin{align*} \text{Area} &\approx \sum_{i=1}^n \big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x \end{align*}$$

• Al tomar el límite como$n \to \infty$ (es decir, tomando el límite como el ancho de los rectángulos va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida (ver Definición 1.1.9 en el texto CLP-2) y al mismo tiempo nuestra aproximación del área se convierte en el área exacta:

  $$\begin{gather*} \text{Area} =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x =\int_a^b \big[T(x)-B(x)\big]\mathrm{d}{x} \end{gather*}$$

Ahora podemos expandir ese procedimiento para producir la masa de$\mathcal{R}$ en lugar del área de Solo$\mathcal{R}\text{.}$ tenemos que reemplazar nuestra aproximación$\big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\Delta x$ del área de rebanada$i$ por una aproximación a la masa de rebanada$i\text{.}$ Para ello, nosotros

• Elija un número natural$m$ (que luego enviaremos al infinito), y luego
• subdividir el número de corte$i$ en$m$ pequeños rectángulos, cada uno de ancho$\Delta x$ y de alto$\Delta y=\frac{1}{m}\big[T(x_i^*)-B(x_i^*)\big]\text{.}$ Denote por$y_j = B(x_i^*) + j\,\Delta y$ la$y$ coordenada -de la parte superior del número de rectángulo$j\text{.}$

  

• En este punto aproximamos la densidad dentro de cada rectángulo por una constante. Por cada$j=1,2,\dots,m\text{,}$ rectángulo el número$j$ tiene$y$ corriendo de$y_{j-1}$ a$y_j\text{.}$ Escogemos un número$y_j^*$ entre$y_{j-1}$ y$y_j$ y aproximamos la densidad en el número de rectángulo$j$ en número de rebanada$i$ por la constante$f\big(x_i^*,y_j^*\big)\text{.}$
• Por lo tanto, la masa del número de rectángulo$j$ en el número de corte$i$ es aproximadamente$f\big(x_i^*,y_j^*\big)\,\Delta x\,\Delta y\text{.}$
• Entonces, la aproximación de la suma de Riemann de la masa del número de rebanada$i$ es

  $$\begin{align*} \text{Mass of slice } i &\approx \sum_{j=1}^m f\big(x_i^*,y_j^*\big)\,\Delta x\,\Delta y \end{align*}$$

  Tenga en cuenta que los$y_j^*$'s dependen de$i$ y$m\text{.}$
• Al tomar el límite como$m \to \infty$ (es decir, tomando el límite a medida que la altura de los rectángulos va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida:

  $$\begin{align*} \text{Mass of slice } i &\approx \Delta x \int_{B(x_i^*)}^{T(x_i^*)} f\big(x_i^*,y\big)\,\mathrm{d}{y} = F(x_i^*)\,\Delta x \end{align*}$$

  donde

  $$F(x) = \int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

  Observe que, si bien empezamos con la densidad$f(x,y)$ siendo una función de ambos$x$ y$y\text{,}$ tomando el límite de esta suma de Riemann, hemos “integrado” la dependencia de$y\text{.}$ Como resultado,$F(x)$ es una función de$x$ solo, no de$x$ y$y\text{.}$
• Finalmente tomando el límite como$n \to \infty$ (es decir, tomando el límite a medida que el ancho del corte va a cero), obtenemos

  $$\begin{align*} \text{Mass} &=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \Delta x \int_{B(x_i^*)}^{T(x_i^*)} f\big(x_i^*,y\big)\,\mathrm{d}{y} = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n F(x_i^*)\,\Delta x \end{align*}$$

  Ahora estamos de vuelta en territorio familiar de 1 variable. La suma$\sum\limits_{i=1}^n F(x_i^*)\,\Delta x$ es una aproximación de la suma de Riemann a la integral$\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}{x}\text{.}$ So

  $$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left[\int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\right]\mathrm{d}{x} \end{align*}$$

Esta es nuestra primera doble integral. Hay un par de notaciones estándar diferentes para esta integral.

Definición 3.1.1

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y} &= \int_a^b \left[\int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\right]\mathrm{d}{x}\\ &=\int_a^b \int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big) \end{align*}$$

Las tres últimas integrales aquí se llaman integrales iteradas, por razones obvias.

Tenga en cuenta que

• para evaluar la integral$\displaystyle\int_a^b \int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{x}\text{,}$
  • primero evaluar la integral interna$\int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}$ usando los límites internos de integración, y tratándola$x$ como una constante y utilizando técnicas estándar de integración de una sola variable, como las del texto CLP-2. El resultado de la integral interna es una función de$x$ solo. Llámenlo$F(x)\text{.}$
  • Después evaluar la integral externa$\int_a^b F(x)\, \mathrm{d}{x} \text{,}$ cuyo integrando es la respuesta a la integral interna. Nuevamente, esta integral se evalúa utilizando técnicas estándar de integración de variables únicas.
• Evaluar la integral$\displaystyle\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big)\text{,}$
  • primero evaluar la integral interna$\int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big)$ utilizando los límites de integración que están directamente al lado del$\mathrm{d}{y}\text{.}$ Indeed el$\mathrm{d}{y}$ se escribe directamente$\int_{B(x)}^{T(x)}$ al lado para dejar claro que los límites de la integración$B(x)$ y$T(x)$ son para la$y$ -integral. En el pasado probablemente escribiste esta integral como$\int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\ \mathrm{d}{y}\text{.}$ El resultado de la integral interna vuelve a ser una función de$x$ solo. Llámalo$F(x)\text{.}$
  • Luego evaluar la integral externa$\int_a^b \mathrm{d}{x} \,F(x)\text{,}$ cuyo integrando es la respuesta a la integral interna y cuyos límites de integración están directamente al lado de la$\mathrm{d}{x}\text{.}$

En este punto tal vez se esté preguntando “¿Siempre tenemos que usar rebanadas verticales?” y “¿Siempre tenemos que integrarnos con respecto a$y$ primero?” La respuesta es “no”. Esto nos lleva a considerar “rebanadas horizontales”.

Rebanadas Horizontales

Encontramos, al calcular áreas de regiones en el$xy$ plano, que a menudo es ventajoso usar rebanadas horizontales, en lugar de rebanadas verticales. Véase, por ejemplo, el Ejemplo 1.5.4 en el texto CLP-2. Lo mismo ocurre cuando se configuran integrales multidimensionales. Así que ahora repetimos el procedimiento de configuración de la última sección, pero comenzando con rebanadas horizontales, en lugar de rebanadas verticales. Este procedimiento será útil cuando se trate de regiones de la forma

$$\mathcal{R} = \big\{\ (x,y)\ \big|\ c\le y\le d,\ L(y)\le x\le R(y)\ \big\} \nonumber$$

Aquí$L(y)$ (“$L$” significa “izquierda”) es el menor ¹ valor permitido de$x\text{,}$ cuando la$y$ coordenada es$y\text{,}$ y$R(y)$ (“$R$” significa “derecha”) es el mayor valor permitido de$x\text{,}$ cuando la$y$ coordenada es$y\text{.}$ Supongamos que deseamos evaluar la masa de una placa que llena la región$\mathcal{R}\text{,}$ y que la densidad de la placa es$f(x,y)\text{.}$ Seguimos esencialmente el mismo procedimiento que usamos con rebanadas verticales, pero con los roles de$x$ e$y$ intercambiados.

• Escoja un número natural$n$ (que posteriormente enviaremos al infinito). Entonces
• subdividir el intervalo$c\le y\le d$ en subintervalos$n$ estrechos, cada uno de ancho$\Delta y=\frac{d-c}{n}\text{.}$ Cada subintervalo corta un corte horizontal delgado de la región (ver la figura a continuación).
• Aproximamos el número de corte$i$ por un rectángulo horizontal delgado (indicado por el rectángulo largo gris más oscuro en la figura de abajo). En esta porción, la$y$ coordenada -corre sobre un rango muy estrecho. Escogemos un número en$y_i^*\text{,}$ algún lugar de ese rango. Aproximamos$i$ el corte por un rectángulo cuyo lado izquierdo está en$x=L(y_i^*)$ y cuyo lado derecho está en$x=R(y_i^*)\text{.}$
• Si estuviéramos calculando el área de ahora$\mathcal{R}\text{,}$ nos aproximaríamos al área de rebanada$i$ por la$\big[R(x_i^*)-L(x_i^*)\big]\Delta y\text{,}$ cual es el área del rectángulo con ancho$\big[R(x_i^*)-L(x_i^*)\big]$ y alto$\Delta y\text{.}$
• Para obtener la masa, tal como hicimos anteriormente con rebanadas verticales,
  • elegir otro número natural$m$ (que luego enviaremos al infinito), y luego
  • subdividir el número de rebanada$i$ en$m$ pequeños rectángulos, cada uno de alto$\Delta y$ y de ancho$\Delta x=\frac{1}{m}\big[R(y_i^*)-L(y_i^*)\big]\text{.}$
  • Para cada$j=1,2,\dots,m\text{,}$ rectángulo el número$j$$x$ tiene que recorrer un rango muy estrecho. Escogemos un número en$x_j^*$ algún lugar de ese rango. Vea el pequeño rectángulo negro en la figura de abajo.

    

    Aquí hay un boceto ampliado del número de rebanada$i$

    

  • En el número de rectángulo$j$ en número de corte$i\text{,}$ aproximamos la densidad$f\big(x_j^*,y_i^*\big)\text{,}$ dándonos que la masa del número de rectángulo$j$ en número de rebanada$i$ es aproximadamente$f\big(x_j^*,y_i^*\big)\,\Delta x\,\Delta y\text{.}$
  • Entonces, la aproximación de la suma de Riemann de la masa del número de rebanada (horizontal)$i$ es

    $$\begin{align*} \text{Mass of slice } i &\approx \sum_{j=1}^m f\big(x_j^*,y_i^*\big)\,\Delta x\,\Delta y \end{align*}$$

  • Al tomar el límite como$m \to \infty$ (es decir, tomando el límite como el ancho de los rectángulos va a cero), convertimos la suma de Riemann en una integral definida:

    $$\begin{align*} \text{Mass of slice }i &\approx \Delta y \int_{L(y_i^*)}^{R(y_i^*)} f\big(x,y_i^*\big)\, \mathrm{d}{x} = F(y_i^*)\,\Delta y \end{align*}$$

    donde

    $$F(y) = \int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

    Observe que, como se$x$ ha integrado hacia fuera,$F(y)$ es una función de$y$ solo, no de$x$ y$y\text{.}$
• Finalmente tomando el límite como$n \to \infty$ (es decir, tomando el límite a medida que el ancho del corte va a cero), obtenemos

  $$\begin{align*} \text{Mass} &=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n \Delta y \int_{L(y_i^*)}^{R(y_i^*)} f\big(x,y_i^*\big)\, \mathrm{d}{x} = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n F(y_i^*)\,\Delta y \end{align*}$$

  Ahora$\sum\limits_{i=1}^n F(y_i^*)\,\Delta y$ es una aproximación de la suma de Riemann a la integral$\int_c^d F(y)\,\mathrm{d}{y}\text{.}$ So

  $$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_c^d F(y)\,\mathrm{d}{y} =\int_c^d \left[\int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \right]\mathrm{d}{y} \end{align*}$$

Las notaciones estándar de Notación 3.1.1 también se aplican a esta integral.

Definición 3.1.2

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} &=\int_c^d \left[\int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \right] \mathrm{d}{y}\\ &=\int_c^d \int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} =\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big) \end{align*}$$

Tenga en cuenta que

• para evaluar la integral$\displaystyle\int_c^d \int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{,}$
  • primero evaluar la integral interna$\int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x}$ usando los límites internos de la integración. El resultado de la integral interna es una función de$y$ solo. Llámenlo$F(y)\text{.}$
  • Después evaluar la integral externa$\int_c^d F(y)\,\mathrm{d}{y}\text{,}$ cuyo integrando es la respuesta a la integral interna.
• Evaluar la integral$\displaystyle\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big)\text{,}$
  • primero evaluar la integral interna$\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big)$ utilizando los límites de integración que están directamente al lado de la$\mathrm{d}{x} \text{.}$ Otra vez, la$\mathrm{d}{x}$ se escribe directamente$\int_{L(y)}^{R(y)}$ al lado para dejar claro que los límites de la integración$L(y)$ y$R(y)$ son para la$x$ -integral. En el pasado probablemente escribiste esta integral como$\int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\ \mathrm{d}{x} \text{.}$ El resultado de la integral interna vuelve a ser una función de$y$ solo. Llámalo$F(y)\text{.}$
  • Luego evaluar la integral externa$\int_c^d \mathrm{d}{y}\,F(y)\text{,}$ cuyo integrando es la respuesta a la integral interna y cuyos límites de integración están directamente al lado de la$\mathrm{d}{y}\text{.}$

A modo de resumen, ahora tenemos dos representaciones integrales para la masa de regiones en el$xy$ plano -plano.

Teorema 3.1.3

Dejar$\mathcal{R}$ ser una región en el$xy$ -plano y dejar que la función$f(x,y)$ sea definida y continua en$\mathcal{R}\text{.}$

1. Si

   $$\begin{gather*} \mathcal{R}=\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\} \end{gather*}$$

   con$B(x)$ y$T(x)$ siendo continuo, y si la densidad de masa adentro$\mathcal{R}$ es$f(x,y)\text{,}$ entonces la masa de$\mathcal{R}$ es

   $$\begin{align*} \int_a^b \left[\int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\right] \mathrm{d}{x} &=\int_a^b \int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \\ &=\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big) \end{align*}$$

2. Si

   $$\mathcal{R} = \big\{\ (x,y)\ \big|\ c\le y\le d,\ L(y)\le x\le R(y)\ \big\} \nonumber$$

   con$L(y)$ y$R(y)$ siendo continuo, y si la densidad de masa adentro$\mathcal{R}$ es$f(x,y)\text{,}$ entonces la masa de$\mathcal{R}$ es

   $$\begin{align*} \int_c^d \left[\int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \right]\mathrm{d}{y} &=\int_c^d \int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\\ &=\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big) \end{align*}$$

Implícita en el Teorema 3.1.3 es la afirmación de que, si

$$\begin{align*} &\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\}\\ =& \big\{\ (x,y)\ \big|\ c\le y\le d,\ L(y)\le x\le R(y)\ \big\} \end{align*}$$

y si$f(x,y)$ es continuo, entonces

$$\int_a^b \int_{B(x)}^{T(x)} f\big(x,y\big)\,\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} =\int_c^d \int_{L(y)}^{R(y)} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

Esto se llama teorema ² de Fubini. Se discutirá más en la optativa §3.1.5.

Definición 3.1.4

Las integrales del Teorema 3.1.3 a menudo se denotan

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \qquad\text{or}\qquad \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\,\mathrm{d}{A} \nonumber$$

El símbolo$\mathrm{d}{A}$ representa el área de una pieza “infinitesimal” de$\mathcal{R}\text{.}$

Aquí hay un ejemplo sencillo. Haremos algunos ejemplos más complicados en §3.1.4.

Ejemplo 3.1.5

Dejar$\mathcal{R}$ ser la región triangular por encima del$x$ eje -eje, a la derecha del$y$ eje -y a la izquierda de la línea$x+y=1\text{.}$ Encuentra la masa de$\mathcal{R}$ si tiene densidad$f(x,y)=y\text{.}$

Solución

Haremos este problema dos veces, una vez usando tiras verticales y otra usando tiras horizontales. Primero, aquí hay un boceto de$\mathcal{R}\text{.}$

Solución usando tiras verticales. $\ \ \ $Ahora configuraremos una doble integral para la masa usando tiras verticales. Nota, de la figura

que

• los puntos más a la izquierda en$\mathcal{R}$ tienen$x=0$ y el punto más a la derecha en$\mathcal{R}$ tiene$x=1$ y
• para cada fijo$x$ entre$0$ y$1\text{,}$ el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más pequeño$y$ tiene$y=0$ y el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más grande$y$ tiene$y=1-x\text{.}$

Así

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|0=a\le x\le b=1,\ 0= B(x)\le y\le T(x) = 1-x\right \} \nonumber$$

y, por la parte (a) del Teorema 3.1.3

$$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big) = \int_0^1 \mathrm{d}{x} \int_0^{1-x} \mathrm{d}{y}\, y \end{align*}$$

Ahora la integral interior es

$$\begin{gather*} \int_0^{1-x} y \ \mathrm{d}{y} =\left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} =\frac{1}{2}(1-x)^2 \end{gather*}$$

para que el

$$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_0^1 \mathrm{d}{x} \ \frac{(1-x)^2}{2} =\left[-\frac{(1-x)^3}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{6} \end{align*}$$

Solución usando tiras horizontales. $\ \ \ $Esta vez configuraremos una doble integral para la masa usando tiras horizontales. Nota, de la figura

que

• los puntos más bajos en$\mathcal{R}$ tienen$y=0$ y el punto más alto en$\mathcal{R}$ tiene$y=1$ y
• para cada fijo$y$ entre$0$ y$1\text{,}$ el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más pequeño$x$ tiene$x=0$ y el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más grande$x$ tiene$x=1-y\text{.}$

Así

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|0=c\le y\le d=1,\ 0= L(y)\le x\le R(y) = 1-y\right \} \nonumber$$

y, por la parte (b) del Teorema 3.1.3

$$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big) = \int_0^1 \mathrm{d}{y} \int_0^{1-y} \mathrm{d}{x} \, y \end{align*}$$

Ahora la integral interior es

$$\begin{gather*} \int_0^{1-y} y \ \mathrm{d}{x} =\left[ xy \right]_0^{1-y} =y-y^2 \end{gather*}$$

ya que la$y$ integral trata$x$ como una constante. Así que el

$$\begin{align*} \text{Mass} &= \int_0^1 \mathrm{d}{y}\ \big[y-y^2\big] =\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{1}{6} \end{align*}$$

Las integrales dobles comparten las propiedades básicas habituales a las que estamos acostumbrados a partir de integrales de funciones de una variable. Véase, por ejemplo, Teorema 1.2.1 y Teorema 1.2.12 en el texto CLP-2. En efecto, de ellos se desprenden los siguientes teoremas.

Teorema 3.1.6. Aritmética de Integración

$A,B,C$Dejen ser números reales. Bajo las hipótesis del Teorema 3.1.3,

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} \left( f(x,y) + g(x,y) \right)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} + \iint_{\mathcal{R}} g(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \tag{a}\\ \iint_{\mathcal{R}}\left(f(x,y)-g(x,y)\right)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} - \iint_{\mathcal{R}} g(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \tag{b}\\ \iint_{\mathcal{R}} C f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= C\,\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \tag{c} \end{align*}$$

Combinando estas tres reglas tenemos

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}}\left( Af(x,y) + Bg(x,y) \right)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= A\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}\\ &\hskip0.25in + B\iint_{\mathcal{R}} g(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} \tag{d} \end{align*}$$

Es decir, las integrales dependen linealmente del integrando.

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} \, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= \text{Area}(\mathcal{R}) \tag{e} \end{align*}$$

Si la región$\mathcal{R}$ en el$xy$ plano -es la unión de regiones$\mathcal{R}_1$ y$\mathcal{R}_2$ que no se superponen (excepto posiblemente en sus límites), entonces

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &= \iint_{\mathcal{R_1}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} +\iint_{\mathcal{R_2}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \tag{f} \end{align*}$$

En el caso muy especial (pero no tan infrecuente) ese$\mathcal{R}$ es el rectángulo

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|a\le x\le b,\ c\le y\le d \right \} \nonumber$$

y el integrand es el producto$f(x,y)=g(x)h(y)\text{,}$

$$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &=\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_c^d\mathrm{d}{y}\ g(x) h(y)\\ &=\int_a^b \mathrm{d}{x} \ g(x) \int_c^d\mathrm{d}{y}\ h(y)\\ &\hskip0.25in\text{since $g(x)$ is a constant as far as the $y$-integral is concerned}\\ &=\left[ \int_a^b \mathrm{d}{x} \ g(x)\right]\ \left[\int_c^d\mathrm{d}{y}\ h(y)\right] \end{align*}$$

ya que$\int_c^d\mathrm{d}{y}\ h(y)$ es una constante en lo que se refiere al $x$-integral.

Esto vale la pena decirlo como teorema

Teorema 3.1.7

Si el dominio de la integración

$$\mathcal{R}= \left \{ (x,y)|a\le x\le b,\ c\le y\le d \right \} \nonumber$$

es un rectángulo y el integrando es el producto$f(x,y)=g(x)h(y)\text{,}$ entonces

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} =\left[ \int_a^b \mathrm{d}{x} \ g(x)\right]\ \left[\int_c^d\mathrm{d}{y}\ h(y)\right] \nonumber$$

Así como fue el caso de las integrales de una sola variable, a veces en realidad no necesitamos saber exactamente el valor de una doble integral. En cambio, nos interesan los límites de su valor. El siguiente teorema proporciona algunas herramientas simples para generar tales límites. Son los análogos multivariables de las herramientas de variable única en el Teorema 1.2.12 del texto CLP-2.

Teorema 3.1.8. Desigualdades para Integrales

Bajo las hipótesis del Teorema 3.1.3,

1. Si$f(x,y)\ge 0$ para todos$(x,y)$ en$\mathcal{R}\text{,}$ entonces

   $$\begin{gather*} \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \ge 0 \end{gather*}$$

2. Si hay constantes$m$ y$M$ tal que$m\le f(x,y)\le M$ para todos$(x,y)$ en$\mathcal{R}\text{,}$ entonces

   $$\begin{gather*} m\,\text{Area}(\mathcal{R})\le \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \le M\,\text{Area}(\mathcal{R}) \end{gather*}$$

3. Si$f(x,y)\le g(x,y)$ para todos$(x,y)$ en$\mathcal{R}\text{,}$ entonces

   $$\begin{gather*} \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \le \iint_{\mathcal{R}} g(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{gather*}$$

4. Tenemos

   $$\begin{gather*} \left|\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}\right| \le \iint_{\mathcal{R}} |f(x,y)|\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{gather*}$$

Volúmenes

Ahora que hemos definido las dobles integrales, deberíamos empezar a ponerlas en uso. Una de las aplicaciones más inmediatas surge de interpretar$f(x,y)\text{,}$ no como una densidad, sino como la altura de la parte de un sólido por encima del punto$(x,y)$ en el$xy$ plano. Entonces el Teorema 3.1.3 da el volumen entre el$xy$ plano y la superficie$z=f(x,y)\text{.}$

Ahora veremos cómo va esto en el caso de la parte (b) del Teorema 3.1.3. El caso de la parte (a) funciona de la misma manera. Entonces asumimos que el sólido$\mathcal{V}$ se encuentra por encima de la región base

$$\mathcal{R} = \big\{\ (x,y)\ \big|\ c\le y\le d,\ L(y)\le x\le R(y)\ \big\} \nonumber$$

y que

$$\mathcal{V} = \big\{\ (x,y,z)\ \big|\ (x,y)\in\mathcal{R} ,\ 0\le z\le f(x,y)\ \big\} \nonumber$$

La región base$\mathcal{R}$ (que también es la vista superior de$\mathcal{V}$) se esboza en la figura a la izquierda de abajo y la parte de$\mathcal{V}$ en el primer octante se esboza en la figura de abajo a la derecha.

Para encontrar el$\mathcal{V}$ volumen de

• Elija un número natural$n$ y corte$\mathcal{R}$ en tiras de ancho$\Delta  y=\frac{d-c}{n}\text{.}$
• Subdivida el número de rebanadas$i$ en$m$ pequeños rectángulos, cada uno de alto$\Delta  y$ y ancho$\Delta  x=\frac{1}{m}\cdots\text{.}$
• Calcular, aproximadamente, el volumen de la parte de$\mathcal{V}$ que se encuentra por encima de cada rectángulo.
• Toma el límite$m\rightarrow\infty$ y luego el límite$n\rightarrow\infty\text{.}$

Acabamos de pasar por este tipo de argumentos dos veces. Entonces abreviaremos el argumento y solo diremos

• cortar la región base$\mathcal{R}$ en tiras largas “infinitesimalmente” delgadas de ancho$\mathrm{d}{y}\text{.}$
• Subdivide cada tira en rectángulos “infinitesimales” cada uno de altura$\mathrm{d}{y}$ y de ancho$\mathrm{d}{x} \text{.}$ Ver la figura de arriba a la izquierda.
• El volumen de la parte de la$\mathcal{V}$ que está por encima del rectángulo centrado en$(x,y)$ es esencialmente$f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$ Ver la figura de la derecha arriba.
• Entonces el volumen de la parte de$\mathcal{V}$ eso está por encima de la tira centrada en$y$ es esencialmente ³$\mathrm{d}{y}\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)$ y
• llegamos a la siguiente conclusión.

Ecuación 3.1.9

Si

$$\mathcal{V} = \big\{\ (x,y,z)\ \big|\ (x,y)\in\mathcal{R},\ 0\le z\le f(x,y)\ \big\} \nonumber$$

donde

$$\mathcal{R} = \big\{\ (x,y)\ \big|\ c\le y\le d,\ L(y)\le x\le R(y)\ \big\} \nonumber$$

entonces

$$\text{Volume}(\mathcal{V}) =\int_c^d \mathrm{d}{y}\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) \nonumber$$

Del mismo modo

Ecuación 3.1.10

Si

$$\mathcal{V} = \big\{\ (x,y,z)\ \big|\ (x,y)\in\mathcal{R},\ 0\le z\le f(x,y)\ \big\} \nonumber$$

donde

$$\mathcal{R} = \big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\} \nonumber$$

entonces

$$\text{Volume}(\mathcal{V}) =\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\ f(x,y) \nonumber$$

Ejemplos

Oof — hemos tenido muchas ecuaciones y teoría. Es momento de poner todo esto a trabajar. Comencemos con un ejemplo masivo y luego pasemos a un ejemplo de volumen. Notarás que las matemáticas son realmente muy similares. Sólo cambia la interpretación.

Ejemplo 3.1.11. Masa

Dejar$\nu \gt 0$ ser una constante y dejar$\mathcal{R}$ ser la región por encima de la curva$x^2=4\nu y$ y a la derecha de la curva$y^2=\frac{1}{2}\nu x\text{.}$ Encontrar la masa de$\mathcal{R}$ si tiene densidad$f(x,y)=xy\text{.}$

Solución

Para la práctica, haremos este problema dos veces, una usando tiras verticales y otra usando tiras horizontales. Comenzaremos por bosquejar$\mathcal{R}\text{.}$ Primera nota que, ya que$y\ge\frac{x^2}{4\nu}$ y$x\ge \frac{2y^2}{\nu}\text{,}$ ambos$x$ y$y$ son positivos a lo largo$\mathcal{R}\text{.}$ Las dos curvas se cruzan en puntos$(x,y)$ que satisfacen a ambos

$$\begin{align*} x = \frac{2y^2}{\nu}\text{ and }y=\frac{x^2}{4\nu} &\implies\quad x = \frac{2y^2}{\nu} = \frac{2}{\nu}\left(\frac{x^2}{4\nu}\right)^2 = \frac{x^4}{8\nu^3}\\ &\iff\quad \left(\frac{x^3}{8\nu^3}-1\right)x=0 \end{align*}$$

Esta ecuación tiene solo dos reales ⁴ soluciones —$x=0$ y$x=2\nu\text{.}$ Así que la parábola de apertura hacia arriba$y = \frac{x^2}{4\nu}$ y la parábola de apertura hacia la derecha se$x=\frac{2y^2}{\nu}$ cruzan en$(0,0)$ y$(2\nu,\nu)\text{.}$

Solución usando tiras verticales. $\ \ \ $Ahora configuraremos una doble integral para la masa usando tiras verticales y usando el argumento abreviado del final de la última sección (sobre volúmenes). Obsérvese, de la figura anterior, que

$$\mathcal{R}=\bigg\{(x,y)\ \bigg|\ 0=a\le x\le b=2\nu,\ \frac{x^2}{4\nu}= B(x)\le y\le T(x) = \sqrt{\frac{\nu x}{2}}\ \bigg\} \nonumber$$

• Corte$\mathcal{R}$ en tiras verticales largas “infinitesimalmente” delgadas de ancho$\mathrm{d}{x} \text{.}$
• Subdivide cada tira en rectángulos “infinitesimales” cada uno de altura$\mathrm{d}{y}$ y de ancho$\mathrm{d}{x} \text{.}$ Ver la figura a continuación.

  

• La masa del rectángulo centrado en$(x,y)$ es esencialmente$f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}=xy\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$
• Entonces, la masa de la tira centrada$x$ es esencialmente$\ \mathrm{d}{x} \, \int_{B(x)}^{T(x)}\mathrm{d}{y}\ f(x,y)$ (la integral$y$ suma las masas de todos los diferentes rectángulos en la única tira vertical en cuestión) y
• concluimos que el

  $$\begin{align*} \text{Mass}(\mathcal{R}) &=\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\ f(x,y) =\int_0^{2\nu} \mathrm{d}{x} \int_{x^2/(4\nu)}^{\sqrt{\nu x/2}} \mathrm{d}{y}\ xy \end{align*}$$

  Aquí la integral sobre$x$ suma las masas de todas las diferentes tiras.

  Recordemos que, cuando la integración$y\text{,}$$x$ se mantiene constante, así podemos factorial la constante$x$ fuera de la$y$ integral interna.

  $$\begin{align*} \int_{x^2/(4\nu)}^{\sqrt{\nu x/2}} \mathrm{d}{y}\ xy &= x\int_{x^2/(4\nu)}^{\sqrt{\nu x/2}} \mathrm{d}{y}\ y\\ &= x\left[\frac{y^2}{2}\right]_{x^2/(4\nu)}^{\sqrt{\nu x/2}}\\ &=\frac{\nu x^2}{4}-\frac{x^5}{32\nu^2} \end{align*}$$

  y el

  $$\begin{align*} \text{Mass}(\mathcal{R}) &=\int_0^{2\nu} \mathrm{d}{x} \ \left[\frac{\nu x^2}{4}-\frac{x^5}{32\nu^2}\right]\\ &= \frac{\nu (2\nu)^3}{3\times 4}-\frac{(2\nu)^6}{6\times 32\nu^2} =\frac{\nu^4}{3} \end{align*}$$

Solución usando tiras horizontales. $\ \ \ $Ahora configuraremos una doble integral para la masa usando tiras horizontales, nuevamente usando el argumento abreviado del final de la última sección (sobre volúmenes). Obsérvese, de la figura al inicio de este ejemplo, que

$$\mathcal{R}=\bigg\{(x,y)\ \bigg|\ 0=c\le y\le d=\nu,\ \frac{2 y^2}{\nu} = L(y)\le x\le R(y) = \sqrt{4\nu y} \ \bigg\} \nonumber$$

• Corte$\mathcal{R}$ en tiras largas “infinitesimalmente” delgadas horizontales de ancho$\mathrm{d}{y}\text{.}$
• Subdivide cada tira en rectángulos “infinitesimales” cada uno de altura$\mathrm{d}{y}$ y de ancho$\mathrm{d}{x} \text{.}$ Ver la figura a continuación.

  

• La masa del rectángulo centrado en$(x,y)$ es esencialmente$f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}=xy\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$
• Entonces, la masa de la tira centrada en$y$ es esencialmente$\ \mathrm{d}{y}\, \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)$ (la integral$x$ suma las masas de todos los diferentes rectángulos en la única tira horizontal en cuestión) y
• concluimos que el

  $$\begin{align*} \text{Mass}(\mathcal{R}) &=\int_c^d \mathrm{d}{y}\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) =\int_0^{\nu} \mathrm{d}{y}\int_{2y^2/\nu}^{\sqrt{4\nu y}} \mathrm{d}{x} \ xy \end{align*}$$

  Aquí la integral sobre$y$ suma las masas de todas las diferentes tiras. Recordando que, cuando la integración$x\text{,}$$y$ se mantiene constante

  $$\begin{align*} \text{Mass}(\mathcal{R}) &=\int_0^{\nu} \mathrm{d}{y}\ y\left[ \int_{2y^2/\nu}^{\sqrt{4\nu y}} \mathrm{d}{x} \ x\right]\\ &=\int_0^{\nu} \mathrm{d}{y}\ y\left[\frac{x^2}{2}\right] _{2y^2/\nu}^{\sqrt{4\nu y}}\\ &=\int_0^{\nu} \mathrm{d}{y}\ \left[2\nu y^2-\frac{2y^5}{\nu^2}\right]\\ &= \frac{2\nu (\nu)^3}{3}-\frac{2\nu^6}{6\nu^2} =\frac{\nu^4}{3} \end{align*}$$

Ejemplo 3.1.12. Volumen

Dejar$\mathcal{R}$ ser la parte del$xy$ plano por encima del$x$ eje y debajo de la parábola$y=1-x^2\text{.}$ Encuentra el volumen entre$\mathcal{R}$ y la superficie$z=x^2\sqrt{1-y}\text{.}$

Solución

Una vez más, para la práctica, haremos este problema dos veces, una vez usando tiras verticales y otra usando tiras horizontales. Primero, aquí hay un boceto de$\mathcal{R}\text{.}$

Solución usando tiras verticales. $\ \ \ $Ahora configuraremos una doble integral para el volumen usando tiras verticales. Nota, de la figura

que

• el punto más a la izquierda en$\mathcal{R}$ tiene$x=-1$ y el punto más a la derecha en$\mathcal{R}$ tiene$x=1$ y
• para cada fijo$x$ entre$-1$ y$1\text{,}$ el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más pequeño$y$ tiene$y=0$ y el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más grande$y$ tiene$y=1-x^2\text{.}$

Así

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|-1=a\le x\le b=1,\ 0= B(x)\le y\le T(x) = 1-x^2\right \} \nonumber$$

y, por 3.1.10

$$\begin{align*} \text{Volume} &= \int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y}\, f\big(x,y\big) = \int_{-1}^1 \mathrm{d}{x} \int_0^{1-x^2} \mathrm{d}{y}\ x^2\sqrt{1-y}\\ &=2\int_0^1 \mathrm{d}{x} \int_0^{1-x^2} \mathrm{d}{y}\ x^2\sqrt{1-y} \end{align*}$$

ya que la integral interior$F(x) = \int_0^{1-x^2} \mathrm{d}{y}\ x^2\sqrt{1-y}$ es una función par de$x\text{.}$ Ahora, porque$x\ge 0\text{,}$ la integral interior es

$$\begin{align*} \int_0^{1-x^2} x^2\sqrt{1-y} \ \mathrm{d}{y} &= x^2 \int_0^{1-x^2} \sqrt{1-y} \ \mathrm{d}{y} =x^2 \left[ -\frac{2}{3}(1-y)^{3/2} \right]_0^{1-x^2}\\ &=\frac{2}{3}x^2\big(1-x^3\big) \end{align*}$$

para que el

$$\begin{align*} \text{Volume} &= 2\int_0^1 \mathrm{d}{x} \ \frac{2}{3}x^2\big(1-x^3\big) =\frac{4}{3}\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^6}{6}\right]_0^1 =\frac{2}{9} \end{align*}$$

Solución usando tiras horizontales. $\ \ \ $Esta vez configuraremos una doble integral para el volumen usando tiras horizontales. Nota, de la figura

que

• los puntos más bajos en$\mathcal{R}$ tienen$y=0$ y el punto más alto en$\mathcal{R}$ tiene$y=1$ y
• para cada fijo$y$ entre$0$ y$1\text{,}$ el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más a la izquierda$x$ tiene$x=-\sqrt{1-y}$ y el punto$(x,y)$ adentro$\mathcal{R}$ con el más a la derecha$x$ tiene$x=\sqrt{1-y}\text{.}$

Así

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|0=c\le y\le d=1,\ -\sqrt{1-y}= L(y)\le x\le R(y) = \sqrt{1-y}\right \} \nonumber$$

y, por 3.1.9

$$\begin{align*} \text{Volume} &= \int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \, f\big(x,y\big) = \int_0^1 \mathrm{d}{y} \int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} \mathrm{d}{x} \, x^2\sqrt{1-y} \end{align*}$$

Ahora la integral interna tiene un integrando uniforme (in$x$) y así es

$$\begin{align*} \int_{-\sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}} \mathrm{d}{x} \, x^2\sqrt{1-y} &=2\sqrt{1-y}\int_0^{\sqrt{1-y}} x^2\ \mathrm{d}{x} =2\sqrt{1-y} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{1-y}}\\ &=\frac{2}{3}(1-y)^2 \end{align*}$$

Así que el

$$\begin{align*} \text{Volume} &= \frac{2}{3}\int_0^1 \mathrm{d}{y}\ (1-y)^2 =\frac{2}{3}\left[-\frac{(1-y)^3}{3}\right]_0^1 =\frac{2}{9} \end{align*}$$

Ejemplo 3.1.13. Volumen

Encuentra el volumen común a los dos cilindros$x^2+y^2=a^2$ y$x^2+z^2=a^2\text{.}$

Solución

Nuestro primer trabajo es averiguar cómo se ve el sólido especificado. Tenga en cuenta que

• La variable$z$ no aparece en la ecuación$x^2+y^2=a^2\text{.}$ Entonces, por cada valor de la constante$z_0\text{,}$ la parte del cilindro$x^2+y^2=a^2$ en el plano$z=z_0\text{,}$ es el círculo$x^2+y^2=a^2\text{,}$$z=z_0\text{.}$ Entonces el cilindro$x^2+y^2=a^2$ consta de muchos círculos apilados verticalmente, uno encima del otro. La parte del cilindro$x^2+y^2=a^2$ que se encuentra por encima del$xy$ plano se esboza en la figura de abajo a la izquierda.
• La variable$y$ no aparece en la ecuación$x^2+z^2=a^2\text{.}$ Entonces, por cada valor de la constante$y_0\text{,}$ la parte del cilindro$x^2+z^2=a^2$ en el plano$y=y_0\text{,}$ es el círculo$x^2+z^2=a^2\text{,}$$y=y_0\text{.}$ Entonces el cilindro$x^2+z^2=a^2$ consta de muchos círculos apilados horizontalmente, uno al lado del otro. La parte del cilindro$x^2+z^2=a^2$ que se encuentra a la derecha del$xz$ plano se esboza en la figura a la derecha de abajo.

Tenemos que calcular el volumen común a estos dos cilindros que se cruzan.

• Las ecuaciones$x^2+y^2=a^2$ y$x^2+z^2=a^2$ no cambian en absoluto si$x$ se sustituye por$-x\text{.}$ Consecuentemente ambos cilindros, y de ahí nuestro sólido, es simétrico alrededor del$yz$ -plano. En particular el volumen de la parte del sólido en el octante$x\le 0\text{,}$$y\ge 0\text{,}$$z\ge 0$ es el mismo que el volumen en el primer octante$x\ge 0\text{,}$$y\ge 0\text{,}$$z\ge 0\text{.}$ De manera similar, las ecuaciones no cambian en absoluto si$y$ se reemplaza por$-y$ o si$z$ se reemplaza por $-z\text{.}$Nuestro sólido también es simétrico tanto con respecto al$xz$ plano -plano como al$xy$ plano. De ahí que el volumen de la parte de nuestro sólido en cada uno de los ocho octantes sea el mismo.
• Entonces calcularemos el volumen de la parte del sólido en el primer octante, es decir, con$x\ge 0\text{,}$$y\ge 0\text{,}$$z\ge 0\text{.}$ El volumen total del sólido es ocho veces eso.

La parte del sólido en el primer octante se esboza en la figura de abajo a la izquierda. Un punto$(x,y,z)$ se encuentra en el primer cilindro si y solo si$x^2+y^2\le a^2\text{.}$

Se encuentra en el segundo cilindro si y solo si$x^2+z^2\le a^2\text{.}$ Así la parte del sólido en el primer octante es

$$\begin{align*} \mathcal{V}_1&=\left \{(x,y,z)|x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0,\ x^2+y^2\le a^2,\ x^2+z^2\le a^2\right \} \end{align*}$$

Observe que, en$\mathcal{V}_1\text{,}$$z^2\le a^2-x^2$ para que$z\le\sqrt{a^2-x^2}$ y

$$\begin{align*} \mathcal{V}_1 &=\left \{(x,y,z)|x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le a^2,\ 0\le z\le \sqrt{a^2-x^2}\right \} \end{align*}$$

La vista superior de la parte del sólido en el primer octante se esboza en la figura de arriba a la derecha. En esa vista superior,$x$ se ejecuta de$0$ a$a\text{.}$ Para cada fijo$x\text{,}$$y$ se ejecuta de$0$ a$\sqrt{a^2-x^2}\text{.}$ Así que podemos reescribir

$$\begin{gather*} \mathcal{V}_1=\left \{(x,y,z)|(x,y)\in\mathcal{R},\ 0\le z\le f(x,y)\right \} \end{gather*}$$

donde

$$\mathcal{R}=\Big\{\ (x,y)\ \Big|\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le \sqrt{a^2-x^2}\ \Big\} \quad\text{and}\quad f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2} \nonumber$$

y “$(x,y)\in\mathcal{R}$” se lee “$(x,y)$es un elemento de$\mathcal{R}\text{.}$”. Tenga en cuenta que en realidad$f(x,y)$ es independiente de$y\text{.}$ Esto hará las cosas un poco más fáciles a continuación.

Ahora podemos calcular el volumen de$\mathcal{V}_1$ usar nuestro protocolo abreviado habitual.

• Corte$\mathcal{R}$ en tiras largas y delgadas horizontales “infinitesimalmente” de altura$\mathrm{d}{x} \text{.}$
• Subdivide cada tira en rectángulos “infinitesimales” cada uno de ancho$\mathrm{d}{y}$ y de alto$\mathrm{d}{x} \text{.}$ Ver la figura a continuación.

  

• El volumen de la parte del rectángulo de$\mathcal{V}_1$ arriba centrado en$(x,y)$ es esencialmente

  $$f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}=\sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

• Entonces el volumen de la parte de$\mathcal{V}_1$ arriba de la tira centrada en$x$ es esencialmente

  $$\mathrm{d}{x} \, \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{y} \nonumber$$

  (la integral$y$ suma los volúmenes sobre todos los diferentes rectángulos en la única franja horizontal en cuestión) y
• concluimos que el

  $$\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\int_0^a \mathrm{d}{x} \, \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}{y}\ \sqrt{a^2-x^2} \end{align*}$$

  Aquí la integral sobre$x$ suma los volúmenes sobre todas las diferentes tiras. Recordando que, cuando la integración$y\text{,}$$x$ se mantiene constante

  $$\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}_1) &=\int_0^a \mathrm{d}{x} \ \sqrt{a^2-x^2}\left[ \int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{d}{y} \right]\\ &=\int_0^a \mathrm{d}{x} \ \big(a^2-x^2\big)\\ &=\left[a^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^a\\ &=\frac{2a^3}{3} \end{align*}$$

  y el volumen total del sólido en cuestión es

  $$\text{Volume}(\mathcal{V}) =8\,\text{Volume}(\mathcal{V}_1) =\frac{16a^3}{3} \nonumber$$

Ejemplo 3.1.14. Interpretación Geométrica

Evaluar$\displaystyle\int_0^2\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$

Solución

Esta integral representa el volumen de una figura geométrica simple y por lo tanto se puede evaluar sin usar ningún cálculo en absoluto. El dominio de la integración es

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|0\le y\le 2,\ 0\le x\le a \right \} \nonumber$$

y el integrando es$f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2}\text{,}$ así que la integral representa el volumen entre el$xy$ -plano y la superficie$z=\sqrt{a^2-x^2}\text{,}$ con$(x,y)$ atropello$\mathcal{R}\text{.}$ Podemos reescribir la ecuación de la superficie como la$x^2+z^2=a^2\text{,}$ cual, como en el Ejemplo 3.1.13, reconocemos como la ecuación de un cilindro de radio $a$centrado en el$y$ eje. Queremos que el volumen de la parte de este cilindro que se encuentra arriba$\mathcal{R}\text{.}$ Se esboza en la siguiente figura.

$y$Las secciones transversales constantes de este volumen son cuartos de círculos de radio$a$ y por lo tanto de área$\frac{1}{4}\pi a^2\text{.}$ La integral interior,$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \text{,}$ es exactamente esta área. Entonces, como$y$ corre de$0$ a$2\text{,}$

$$\int_0^2\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} =\frac{1}{4}\pi a^2\times 2 =\frac{\pi a^2}{2} \nonumber$$

Ejemplo 3.1.15. Ejemplo 3.1.14, la manera difícil

Es posible, pero muy tedioso, evaluar la integral$\int_0^2\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$ del Ejemplo 3.1.14, utilizando técnicas de cálculo de una sola variable. Lo hacemos ahora como una revisión de un par de esas técnicas.

La integral interna es$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \text{.}$ El procedimiento estándar para eliminar raíces cuadradas como$\sqrt{a^2-x^2}$ de los integrandos es el método de sustitución trigonométrica, que se cubrió en §1.9 del texto CLP-2. En este caso, la sustitución apropiada es

$$x=a\sin\theta\qquad \mathrm{d}{x} =a\cos\theta\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber$$

El límite inferior de integración$x=0\text{,}$, es decir,$a\sin\theta=0\text{,}$ corresponde a$\theta=0\text{,}$ y el límite superior$x=a\text{,}$, es decir,$a\sin\theta=a\text{,}$ corresponde a$\theta=\frac{\pi}{2}\text{,}$

$$\begin{align*} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} &=\int_0^{\pi/2} \sqrt{\underbrace{a^2-a^2\sin^2\theta}_{a^2\cos^2\theta}} \ a\cos\theta\ \mathrm{d}{\theta} =a^2\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \end{align*}$$

El procedimiento ortodoxo para evaluar la integral trigonométrica resultante$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta}\text{,}$ cubierta en §1.8 del texto CLP-2, utiliza la fórmula trigonométrica de doble ángulo

$$\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta -1\qquad\text{to write}\qquad \cos^2\theta =\frac{1+\cos(2\theta)}{2} \nonumber$$

y luego

$$\begin{align*} \int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} &=a^2\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\frac{a^2}{2} \int_0^{\pi/2} \big[1+\cos(2\theta)\big]\ \mathrm{d}{\theta}\\ &=\frac{a^2}{2}\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_0^{\pi/2}\\ &=\frac{\pi a^2}{4} \end{align*}$$

Sin embargo, remarcamos que también hay una manera eficiente, astuta, de evaluar integrales definidas como$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta}\text{.}$ Mirando las cifras

vemos que

$$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber$$

Así

$$\begin{align*} \int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} &=\int_0^{\pi/2} \sin^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}\big[\sin^2\theta+\cos^2\theta\big]\,\mathrm{d}{\theta}\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} =\frac{\pi}{4} \end{align*}$$

En cualquier caso, el interior integral

$$\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} =\frac{\pi a^2}{4} \nonumber$$

y la integral completa

$$\int_0^2\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} =\frac{\pi a^2}{4}\int_0^2\mathrm{d}{y} =\frac{\pi a^2}{2} \nonumber$$

tal como vimos en el Ejemplo 3.1.14.

Ejemplo 3.1.16. Orden de Integración

La integral$\displaystyle\int_{-1}^2\int_{x^2}^{x+2}\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x}$ representa el área de una región en el$xy$ plano. Expresar la misma área como una doble integral con el orden de integración invertido.

\ soln El paso crítico para invertir el orden de integración es esbozar la región en el$xy$ plano. Reescribir la integral dada como

$$\int_{-1}^2\int_{x^2}^{x+2}\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} =\int_{-1}^2\left[\int_{x^2}^{x+2}\mathrm{d}{y}\right]\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

De esto vemos que, en el ámbito de la integración,

• $x$corre de$-1$ a$2$ y
• por cada carrera$x\text{,}$$y$ fija desde la parábola$y=x^2$ hasta la línea recta$y=x+2\text{.}$

La integral iterada dada corresponde al corte (vertical) en la figura de abajo a la izquierda.

Para invertir el orden de integración tenemos que cambiar a cortes horizontales como en la figura de arriba a la derecha.

Ahí vemos una nueva arruga: la fórmula que da el valor de$x$ en el extremo izquierdo de una rebanada depende de si la$y$ coordenada de la rebanada es mayor que, o menor que$y=1\text{.}$ Mirando la figura de la derecha, vemos que, en el dominio de la integración,

• $y$corre de$0$ a$4$ y
• para cada ejecución$0\le y\le 1\text{,}$$x$ fija de$x=-\sqrt{y}$ a$x=+\sqrt{y}\text{.}$
• para cada ejecución$1\le y\le 4\text{,}$$x$ fija de$x=y-2$ a$x=+\sqrt{y}\text{.}$

Entonces

$$\begin{gather*} \int_{-1}^2 \mathrm{d}{x} \int_{x^2}^{x+2}\mathrm{d}{y} =\int_0^1\mathrm{d}{y}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \mathrm{d}{x} + \int_1^4\mathrm{d}{y}\int_{y-2}^{\sqrt{y}} \mathrm{d}{x} \end{gather*}$$

Había una moraleja al último ejemplo. El hecho de que ambos órdenes de integración tengan que dar la misma respuesta no significa que sean igualmente fáciles de evaluar. Aquí hay un ejemplo extremo que ilustra esa moral.

Ejemplo 3.1.17

Evaluar la integral de$\frac{\sin x}{x}$ sobre la región en el$xy$ plano -que está por encima del$x$ eje, a la derecha de la línea$y=x$ y a la izquierda de la línea$x=1\text{.}$

Solución

Aquí hay un boceto del dominio especificado.

Intentaremos evaluar la integral especificada dos veces, una usando tiras horizontales (la manera imposiblemente dura) y una vez usando tiras verticales (la manera fácil).

Solución usando tiras horizontales. $\ \ \ $Para configurar la integral mediante franjas horizontales, como en la figura de abajo a la izquierda, observamos que, en el dominio de la integración,

• $y$corre de$0$ a$1$ y
• para cada ejecución$y\text{,}$$x$ fija de$x=y$ a$1\text{.}$

Entonces la integral iterada es

$$\int_0^1\mathrm{d}{y}\int_y^1 \mathrm{d}{x} \ \frac{\sin x}{x} \nonumber$$

Y tenemos un problema. El integrando$\frac{\sin x}{x}$ no tiene un antiderivado que pueda expresarse en términos de funciones elementales ⁵. Es imposible evaluar$\int_y^1 \mathrm{d}{x} \ \frac{\sin x}{x}$ sin recurrir, por ejemplo, a métodos numéricos o series infinitas ⁶.

Solución usando tiras verticales. $\ \ \ $Para configurar la integral mediante franjas verticales, como en la figura de la derecha anterior, observamos que, en el dominio de la integración,

• $x$corre de$0$ a$1$ y
• para cada ejecución$x\text{,}$$y$ fija de$0$ a$y=x\text{.}$

Entonces la integral iterada es

$$\int_0^1 \mathrm{d}{x} \int_0^x\mathrm{d}{y}\ \frac{\sin x}{x} \nonumber$$

Esta vez, debido a que$x$ se trata como una constante en la integral interna, es trivial evaluar la integral iterada.

$$\begin{align*} \int_0^1 \mathrm{d}{x} \int_0^x\mathrm{d}{y}\ \frac{\sin x}{x} &=\int_0^1 \mathrm{d}{x} \ \frac{\sin x}{x}\int_0^x\mathrm{d}{y} =\int_0^1 \mathrm{d}{x} \ \sin x =1-\cos 1 \end{align*}$$

Aquí hay un ejemplo que se incluye como excusa para revisar alguna técnica de integración de CLP-2.

Ejemplo 3.1.18

Encuentra el volumen debajo de la superficie$z=1-3x^2-2y^2$ y por encima del$xy$ plano.

Solución

Antes de lanzarnos a la integración, debemos tratar de entender cómo se ven la superficie y el volumen. Por cada constante$z_0\text{,}$ la parte de la superficie$z=1-3x^2-2y^2$ que se encuentra en el plano horizontal$z=z_0$ es la elipse$3x^2+2y^2=1-z_0\text{.}$ La mayor de estas elipses es la que en el$xy$ plano -, donde$z_0=0\text{.}$ Es la elipse$3x^2+2y^2=1\text{.}$ A medida que$z_0$ aumenta la elipse se contrae, degenerando a una punto único, es decir,$(0,0,1)\text{,}$ cuando$z_0=1\text{.}$ Así que la superficie consiste en una pila de elipses y nuestro sólido es

$$\mathcal{V} = \left \{(x,y,z)|3x^2+2y^2\le 1,\ 0\le z\le 1-3x^2-2y^2 \right \} \nonumber$$

Esto está bosquejado en la siguiente figura

La vista superior de la región base

$$\mathcal{R}= \left \{(x,y)|3x^2+2y^2\le 1\right \}\nonumber$$

se esboza en la siguiente figura.

Considerando que la$x$ -dependencia en$z=1-3x^2-2y^2$ es casi idéntica a la$y$ -dependencia en$z=1-3x^2-2y^2$ (solo los coeficientes$2$ y$3$ se intercambian), es probable que el uso de cortes verticales conduzca exactamente al mismo nivel de dificultad que el uso de cortes horizontales. Así que solo escogeremos uno, digamos rebanadas verticales.

La parte más grasa de$\mathcal{R}$ está en el$y$ eje. Los puntos de intersección de la elipse con el$y$ eje -tienen$x=0$ y$y$ obedeciendo$3(0)^2+2y^2 =1$ o$y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\text{.}$ So in$\mathcal{R}\text{,}$$-\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ y, para cada uno de tales$y\text{,}$$3x^2\le 1-2y^2$ o$-\sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}\le x\le \sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}\text{.}$ So usando tiras verticales como en la figura anterior

$$\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}) &=\iint_{\mathcal{R}} \big(1-3x^2-2y^2\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\\ &=\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}{y} \int_{-\sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}}^{\sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}} \mathrm{d}{x} \ \big(1-3x^2-2y^2\big)\\ &=4\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}} \mathrm{d}{x} \ \big(1-3x^2-2y^2\big)\\ &=4\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}{y}\ \Big[(1-2y^2)x-x^3\Big]_0^{\sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}}\\ &=4\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}{y}\ \sqrt{\frac{1-2y^2}{3}}\ \Big[(1-2y^2)-\frac{1-2y^2}{3}\Big]\\ &=8\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{d}{y}\ \left[\frac{1-2y^2}{3}\right]^{3/2} \end{align*}$$

Para evaluar esta integral, utilizamos la sustitución trigonométrica ⁷$2y^2=\sin^2\theta\text{,}$ o

$$y=\frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}\qquad \mathrm{d}{y}=\frac{\cos\theta}{\sqrt{2}}\,\mathrm{d}{\theta} \nonumber$$

para dar

$$\begin{align*} \text{Volume}(\mathcal{V}) &= 8\int_0^{\frac{\pi}{2}} \overbrace{\mathrm{d}{\theta}\ \frac{\cos\theta}{\sqrt{2}} }^{\mathrm{d}{y}} \left[\frac{\cos^2\theta}{3}\right]^{3/2} =\frac{8}{\sqrt{54}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}{\theta}\ \cos^4\theta \end{align*}$$

Luego para integrar$\cos^4\theta\text{,}$ utilizamos la fórmula de doble ángulo ⁸

$$\begin{align*} \cos^2\theta &=\frac{\cos(2\theta)+1}{2}\\ \implies \cos^4\theta &= \frac{\big(\cos(2\theta)+1\big)^2}{4} =\frac{\cos^2(2\theta)+2\cos(2\theta)+1}{4}\\ &=\frac{\frac{\cos(4\theta)+1}{2}+2\cos(2\theta)+1}{4}\\ &=\frac{3}{8} +\frac{1}{2}\cos(2\theta) +\frac{1}{8}\cos(4\theta) \end{align*}$$

Por último, desde$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(4\theta)\,\mathrm{d}{\theta} =\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(2\theta)\,\mathrm{d}{\theta} =0\text{,}$

$$\begin{gather*} \text{Volume}(\mathcal{V}) = \frac{8}{\sqrt{54}}\ \frac{3}{8}\ \frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{2\sqrt{6}} \end{gather*}$$

Opcional — Más sobre la Definición de$\ \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}$

Técnicamente, la integral$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{,}$ donde$\mathcal{R}$ es una región delimitada en$\mathbb{R}^2\text{,}$ se define de la siguiente manera.

• Subdivida$\mathcal{R}$ dibujando líneas paralelas a los$y$ ejes$x$ y.

  

• Numere los rectángulos resultantes contenidos en$\mathcal{R}\text{,}$$1$ a través de$n\text{.}$ Observe que estamos numerando todos los rectángulos$\mathcal{R}\text{,}$ no solo en aquellos en una fila o columna en particular.
• Denotar por$\Delta A_i$ el área del rectángulo$\# i\text{.}$
• Seleccionar un punto arbitrario$(x_i^*,y_i^*)$ en rectángulo$\# i\text{.}$
• Formar la suma$\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*) \Delta A_i \text{.}$ Nuevamente tenga en cuenta que la suma recorre todos los rectángulos$\mathcal{R}\text{,}$ no solo en los de una fila o columna en particular.

Ahora repita esta construcción una y otra vez, usando rejillas más finas y más finas. Si, a medida que el tamaño ⁹ de los rectángulos se acerca a cero, esta suma se acerca a un límite único (independiente de la elección de líneas paralelas y de puntos$(x_i^*,y_i^*)$), entonces definimos

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} =\lim \sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i \nonumber$$

Teorema 3.1.19

Si$f(x,y)$ es continuo en una región$\mathcal{R}$ descrita por

$$\begin{alignat*}{2} a&\le x&&\le b\\ B(x)&\le y&&\le T(x) \end{alignat*}$$

para funciones continuas$B(x)\text{,}$$T(x)\text{,}$ entonces

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\qquad\text{and}\qquad \int_a^b \mathrm{d}{x} \bigg[\int_{B(x)}^{T(x)}\mathrm{d}{y}\ f(x,y)\bigg] \nonumber$$

ambos existen y son iguales. Del mismo modo, si$\mathcal{R}$ es descrito por

$$\begin{alignat*}{2} c&\le y&&\le d\\ L(y)&\le x&&\le R(y) \end{alignat*}$$

para funciones continuas$L(y)\text{,}$$R(y)\text{,}$ entonces

$$\iint_{R} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\qquad\text{and}\qquad \int_c^d \mathrm{d}{y} \bigg[\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)\bigg] \nonumber$$

ambos existen y son iguales.

La prueba de este teorema no es particularmente difícil, pero aún está más allá del alcance de este texto. Las ideas principales en la prueba ya se pueden ver en §1.1.6 del texto CLP-2. Una consecuencia importante de este teorema es

Teorema 3.1.20. Fubini

Si$f(x,y)$ es continuo en una región$\mathcal{R}$ descrita por ambos

$$\left\{\begin{aligned} a&\le x\le b \\ B(x)&\le y\le T(x) \end{aligned}\right\} \qquad\text{and}\qquad \left\{ \begin{aligned} c&\le y\le d\\ L(y)&\le x\le R(y) \end{aligned} \right\} \nonumber$$

para funciones continuas$B(x)\text{,}$$T(x)\text{,}$$L(y)\text{,}$$R(y)\text{,}$, entonces tanto

$$\int_a^b \mathrm{d}{x} \bigg[\int_{B(x)}^{T(x)}\mathrm{d}{y}\ f(x,y)\bigg] \qquad\text{and}\qquad \int_c^d \mathrm{d}{y} \bigg[\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)\bigg] \nonumber$$

existen y son iguales.

Las hipótesis de ambos teoremas se pueden relajar un poco, pero no demasiado. Por ejemplo, si

$$\begin{align*} \mathcal{R}&=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1 \right \}\\ f(x,y)&=\begin{cases} 1&\text{if } x,y \text{ are both rational numbers} \\ 0&\text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$$

entonces la integral$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$ no existe. Esto es fácil de ver. Si todos los$x_i^*$ 's y$y_i^*$' s son elegidos para ser números racionales, entonces

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i =\sum_{i=1}^n \,\Delta A_i =\text{Area}(\mathcal{R}) \nonumber$$

Pero si elegimos todos los$x_i^*$'s y$y_i^*$'s para que sean números irracionales, entonces

$$\sum_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i =\sum_{i=1}^n 0\,\Delta A_i =0 \nonumber$$

Entonces el límite de$\sum\limits_{i=1}^n f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i\text{,}$ como la diagonal máxima de los rectángulos se acerca a cero, depende de la elección de los puntos$(x_i^*,y_i^*)\text{.}$ Entonces la integral$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$ no existe.

Aquí hay un ejemplo aún más patológico ¹⁰.

Ejemplo 3.1.21

En este ejemplo, relajamos exactamente una de las hipótesis del Teorema de Fubini, a saber, la continuidad$f\text{,}$ y construimos un ejemplo en el que ambas integrales en el Teorema de Fubini existen, pero no son iguales. De hecho, elegimos$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1\right \}$ y usamos una función$f(x,y)$ que es continua en$\mathcal{R}\text{,}$ excepto en exactamente un punto: el origen.

Primero, que$\delta_1,\delta_2,\delta_3,\ \cdots$ sea cualquier secuencia de números reales obedeciendo

$$1=\delta_1 \gt \delta_2 \gt \delta_3\gt\ \cdots\ \gt\delta_n\rightarrow 0 \nonumber$$

Por ejemplo$\delta_n=\frac{1}{n}$ o ambos$\delta_n=\frac{1}{2^{n-1}}$ son aceptables. Para cada entero positivo$n\text{,}$ let$I_n=(\delta_{n+1},\delta_n]= \left \{t|\delta_{n+1} \lt t\le \delta_n\right \}$ y let$g_n(t)$ ser cualquier función continua no negativa obedeciendo

• $g_n(t)=0$si no$t$ está en$I_n$ y
• $\displaystyle \int_{I_n}g(t)\,dt=1$

Hay muchas funciones de este tipo. Por ejemplo

$$g_n(t)=\left(\frac{2}{\delta_n-\delta_{n+1}}\right)^2\begin{cases} \delta_n-t& \text{if } \frac{1}{2}(\delta_{n+1}+\delta_n)\le t\le \delta_n\\ t-\delta_{n+1}& \text{if }\delta_{n+1}\le t\le \frac{1}{2}(\delta_{n+1}+\delta_n)\\ 0& \text{otherwise} \end{cases} \nonumber$$

Aquí un resumen de lo que hemos hecho hasta el momento.

• Subdividimos el intervalo$0 \lt x\le 1$ en infinitamente muchos subintervalos$I_n\text{.}$ A medida que$n$ aumenta, el subintervalo$I_n$ se hace cada vez más pequeño y también se acerca cada vez más a cero.
• Definimos, para cada uno$n\text{,}$ una función continua no negativa$g_n$ que es cero en todas partes fuera de$I_n$ y cuya integral sobre$I_n$ es uno.

Ahora definimos el integrando$f(x,y)$ en términos de estos subintervalos$I_n$ y funciones$g_n\text{.}$

$$f(x,y)=\begin{cases} 0& \text{if } x=0 \\ 0& \text{if } y=0 \\ g_m(x)g_n(y)& \text{if } x\in I_m,\ y\in I_n \text{ with } m=n\\ -g_m(x)g_n(y)& \text{if } x\in I_m,\ y\in I_n \text{ with } m=n+1\\ 0& \text{otherwise} \end{cases} \nonumber$$

Deberían pensarse$(0,1]\times(0,1]$ como una unión de un manojo de pequeños rectángulos$I_m\times I_n\text{,}$ como en la siguiente figura. En la mayoría de estos rectángulos,$f(x,y)$ es apenas cero. Las excepciones son los rectángulos oscurosamente sombreados$I_n\times I_n$ en la “diagonal” de la figura y los rectángulos ligeramente sombreados$I_{n+1}\times I_n$ justo a la izquierda de la “diagonal”.

En cada rectángulo oscuro sombreado,$f(x,y)\ge 0$ y la gráfica de$f(x,y)$ es la gráfica de la$g_n(x)g_n(y)$ que se ve como una pirámide. En cada rectángulo ligeramente sombreado,$f(x,y)\le 0$ y la gráfica de$f(x,y)$ es la gráfica de la$-g_{n+1}(x)g_n(y)$ que se ve como un agujero piramidal en el suelo.

Ahora arregle cualquiera$0\le y\le 1$ y vamos a calcular Es$\int_0^1 f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \text{.}$ decir, estamos integrando$f$ a lo largo de una línea que es paralela al$x$ eje -eje. Si$y=0\text{,}$ entonces$f(x,y)=0$ para todos$x\text{,}$ entonces$\int_0^1 f(x,y)\, \mathrm{d}{x} = 0\text{.}$ Si$0 \lt y\le 1\text{,}$ entonces hay exactamente un entero positivo$n$ con$y\in I_n$ y$f(x,y)$ es cero, excepto para$x$ in$I_n$ o So$I_{n+1}\text{.}$ para$y\in I_n$

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x,y)\, \mathrm{d}{x} &=\sum_{m=n,n+1}\int_{I_m} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \\ &=\int_{I_n} g_n(x)g_n(y)\, \mathrm{d}{x} -\int_{I_{n+1}} g_{n+1}(x)g_n(y)\, \mathrm{d}{x} \\ &=g_n(y)\int_{I_n} g_n(x)\, \mathrm{d}{x} -g_n(y)\int_{I_{n+1}} g_{n+1}(x)\, \mathrm{d}{x} \\ &=g_n(y)-g_n(y)=0 \end{align*}$$

Aquí hemos usado dos veces eso$\int_{I_m}g(t)\,dt=1$ para todos$m\text{.}$ Así$\int_0^1 f(x,y)\, \mathrm{d}{x} =0$ para todos$y$ y por lo tanto$\int_0^1\mathrm{d}{y}\Big[\int_0^1 \mathrm{d}{x} \ f(x,y)\Big]=0\text{.}$

Por último, arregle cualquiera$0\le x\le 1$ y vamos a calcular Es$\int_0^1 f(x,y)\ \mathrm{d}{y}\text{.}$ decir, estamos integrando$f$ a lo largo de una línea que es paralela al$y$ eje -eje. Si$x=0\text{,}$ entonces$f(x,y)=0$ para todos$y\text{,}$ entonces$\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}{y} = 0\text{.}$ Si$0 \lt x\le 1\text{,}$ entonces hay exactamente un entero positivo$m$ con$x\in I_m\text{.}$ Si$m\ge 2\text{,}$ entonces$f(x,y)$ es cero, excepto para$y$ in$I_m$ y$I_{m-1}\text{.}$ But, si$m=1\text{,}$ entonces$f(x,y)$ es cero, excepto para $y$en$I_1\text{.}$ (Echa otro vistazo a la figura anterior.) Así que para$x\in I_m\text{,}$ con$m\ge 2\text{,}$

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}{y}&=\sum_{n=m,m-1}\int_{I_n} f(x,y)\,\mathrm{d}{y}\\ &=\int_{I_m} g_m(x)g_m(y)\,\mathrm{d}{y}-\int_{I_{m-1}} g_{m}(x)g_{m-1}(y)\,\mathrm{d}{y}\\ &=g_m(x)\int_{I_m} g_m(y)\,\mathrm{d}{y}-g_m(x)\int_{I_{m-1}} g_{m-1}(y)\,\mathrm{d}{y}\\ &=g_m(x)-g_m(x)=0 \end{align*}$$

Pero para$x\in I_1\text{,}$

$$\begin{align*} \int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}{y}&=\int_{I_1} f(x,y)\,\mathrm{d}{y} =\int_{I_1} g_1(x)g_1(y)\,\mathrm{d}{y} =g_1(x)\int_{I_1} g_1(y)\,\mathrm{d}{y}\\ &=g_1(x) \end{align*}$$

Así

$$\int_0^1 f(x,y)\,\mathrm{d}{y}=\begin{cases} 0&\text{if } x\le \delta_2 \\ g_1(x)&\text{if } x\in I_1 \end{cases} \nonumber$$

y por lo tanto

$$\int_0^1 \mathrm{d}{x} \bigg[\int_0^1 \mathrm{d}{y}\ f(x,y)\bigg] =\int_{I_1}g_1(x)\, \mathrm{d}{x} =1 \nonumber$$

La conclusión es que para lo$f(x,y)$ anterior, que se define para todos$0\le x\le 1\text{,}$$0\le y\le 1$ y es continuo excepto en$(0,0)\text{,}$

$$\int_0^1\mathrm{d}{y}\bigg[\int_0^1 \mathrm{d}{x} \ f(x,y)\bigg]=0 \qquad \int_0^1 \mathrm{d}{x} \bigg[\int_0^1 \mathrm{d}{y}\ f(x,y)\bigg]=1 \nonumber$$

Funciones pares e impares

Durante el curso de nuestro estudio de integrales de funciones de una variable, encontramos que la evaluación de ciertas integrales podría simplificarse sustancialmente explotando las propiedades de simetría de la integral. Concretamente, en la Sección 1.2.1 del texto del CLP-2, dimos el

Definición 3.1.22. (Definición 1.2.8 en el texto CLP-2)

Dejar$f(x)$ ser una función de una variable. Entonces,

• decimos que$f(x)$ es incluso cuando$f(x)=f(-x)$ para todos$x\text{,}$ y
• decimos que$f(x)$ es extraño cuando$f(x)=-f(-x)$ para todos$x\text{.}$

También vimos que

• $f(x)=|x|\text{,}$$f(x)=\cos x$y$f(x)=x^2$ son incluso funciones y
• $f(x)=\sin x\text{,}$$f(x)=\tan x$y$f(x)=x^3$ son funciones impares.
• De hecho, si$f(x)$ hay alguna potencia par de$x\text{,}$ entonces$f(x)$ es una función par y si$f(x)$ es alguna potencia impar de$x\text{,}$ entonces$f(x)$ es una función impar.

También aprendimos a explotar la uniformidad y la rareza para simplificar la integración.

Teorema 3.1.23. (Teorema 1.2.11 en el texto CLP-2)

Let$a>0\text{.}$

1. Si$f(x)$ es una función par, entonces

   $$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}{x} = 2\int_0^a f(x) \mathrm{d}{x} \nonumber$$

2. Si$f(x)$ es una función impar, entonces

   $$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}{x} = 0 \nonumber$$

Ahora veremos que de manera similar podemos explotar la uniformidad y rareza de funciones de más de una variable. Pero para funciones de más de una variable también hay más de un tipo de rareza y uniformidad. En la Definición 3.1.22 (Definición 1.2.8 en el texto CLP-2) de uniformidad y rareza de la función$f(x)\text{,}$ comparamos el valor de$f$ at$x$ con el valor de$f$ at$-x\text{.}$ Los puntos$x$ y$-x$ están a la misma distancia del origen,$0\text{,}$ y están en lados opuestos de$0\text{.}$ El punto$-x$ se llama el reflejo de$x$ a través del origen. Para prepararnos para nuestras definiciones de uniformidad y rareza de funciones de dos variables, ahora definimos tres reflexiones diferentes en el mundo bidimensional del$xy$ plano.

Definición 3.1.24

Let$x$ y$y$ ser dos números reales.

• El reflejo de$(x,y)$ a través del$y$ eje es$(-x,y)\text{.}$
• El reflejo de$(x,y)$ a través del$x$ eje es$(x,-y)\text{.}$
• El reflejo de$(x,y)$ través del origen es$(-x,-y)\text{.}$

• Para llegar del punto$(x,y)$ a su imagen reflejada a través del$y$ eje,
  • comenzar desde$(x,y)\text{,}$ y
  • caminar horizontalmente recto al$y$ eje, y
  • cruzar el$y$ eje, y
  • continuar horizontalmente la misma distancia a la que ya has viajado$(-x,y)\text{.}$

  Aquí hay cuatro ejemplos.

  

• Para llegar del punto$(x,y)$ a su imagen reflejada a través del$x$ eje,
  • comenzar desde$(x,y)\text{,}$ y
  • caminar verticalmente recto al$x$ eje, y
  • cruzar el$x$ eje, y
  • continuar verticalmente la misma distancia que ya viajaste a la imagen reflejada$(x,-y)\text{.}$

  Aquí hay cuatro ejemplos.

  

• Para llegar del punto$(x,y)$ a su imagen reflejada a través del origen,
  • comenzar desde$(x,y)\text{,}$ y
  • caminar radialmente recto hasta el origen, y
  • cruzar el origen, y
  • continuar radialmente en la misma dirección la misma distancia que ya ha viajado hasta la imagen reflejada$(-x,-y)\text{.}$

  Aquí hay tres ejemplos.

  

Para cada uno de estos tres tipos de reflexión, existe un tipo correspondiente de rareza y uniformidad.

Definición 3.1.25

Dejar$f(x,y)$ ser una función de dos variables. Entonces,

• decimos que$f(x,y)$ es parejo (bajo reflexión a través del origen) cuando$f(-x,-y)=f(x,y)$ para todos$x$ y$y\text{,}$ y
• decimos que$f(x,y)$ es extraño (bajo reflexión a través del origen) cuando$f(-x,-y)=-f(x,y)$ para todos$x$ y$y$

y

• decimos que$f(x,y)$ es incluso bajo$x\rightarrow -x$ (es decir, bajo reflexión a través del$y$ eje) cuando$f(-x,y)=f(x,y)$ para todos$x$ y$y\text{,}$ y
• decimos que$f(x,y)$ es impar bajo$x\rightarrow -x$ (es decir, bajo reflexión a través del$y$ eje -) cuando$f(-x,y)=-f(x,y)$ para todos$x$ y$y$

y

• decimos que$f(x,y)$ es incluso bajo$y\rightarrow -y$ (es decir, bajo reflexión a través del$x$ eje) cuando$f(x,-y)=f(x,y)$ para todos$x$ y$y\text{,}$ y
• decimos que$f(x,y)$ es impar bajo$y\rightarrow -y$ (es decir, bajo reflexión a través del$x$ eje -) cuando$f(x,-y)=-f(x,y)$ para todos$x$ y$y\text{.}$

Ejemplo 3.1.26

Dejar$m$ y$n$ ser dos enteros y establecer$f(x,y)=x^m y^n\text{.}$ Entonces

$$\begin{align*} f(-x,y)&= (-x)^my^n = (-1)^m x^m y^n = (-1)^m f(x,y) \\ f(x,-y)&= x^m(-y)^n = (-1)^n x^m y^n= (-1)^n f(x,y) \\ f(-x,-y)&= (-x)^m(-y)^n = (-1)^{m+n} x^m y^n = (-1)^{m+n} f(x,y) \end{align*}$$

Consecuentemente

• si$m$ es par, entonces$f(x,y)$ es incluso bajo$x\rightarrow -x$ y
• si$m$ es impar, entonces$f(x,y)$ es impar bajo$x\rightarrow -x$ y
• si$n$ es par, entonces$f(x,y)$ es incluso bajo$y\rightarrow -y$ y
• si$n$ es impar, entonces$f(x,y)$ es impar bajo$y\rightarrow -y$ y
• si$m+n$ es par, entonces$f(x,y)$ es par (bajo reflexión a través del origen) y
• si$m+n$ es impar, entonces$f(x,y)$ es impar (bajo reflexión a través del origen).

Recordemos del Teorema 3.1.23 (o Teorema 1.2.11 en el texto CLP-2) que podemos explotar la uniformidad o rareza del integrando,$f(x)\text{,}$ de lo integral$\int_b^a f(x)\, \mathrm{d}{x}$ para simplificar la evaluación de la integral cuando$b=-a\text{,}$ es decir, cuando el dominio de integración es invariante bajo reflexión a través del origen. De igual manera, podremos simplificar la evaluación de la doble integral$\iint_{\mathcal{R}} f\big(x,y\big)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$ cuando el integrando sea par o impar y el dominio de integración$\mathcal{R}$ sea invariante bajo la reflexión correspondiente —es decir, que lo reflejado$\mathcal{R}$ es idéntico al original$\mathcal{R}\text{.}$ Aquí hay algunos detalles para “reflexión a través del$y$ eje”. Los detalles para las otras reflexiones son similares.

• Si$\mathcal{R}$ hay algún subconjunto del$xy$ plano -,

  $$\text{the reflection of }\mathcal{R}\text{ across the }y\text{-axis} =\left \{(-x,y)|(x,y)\in\mathcal{R}\right \} \nonumber$$

  La notación de conjunto en el lado derecho significa “el conjunto de todos los puntos$(-x,y)$ con$(x,y)$ un punto de$\mathcal{R}$”.
• En el caso especial ¹¹ que

  $$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|c\le y\le d, L(y)\le x\le R(y)\right \} \nonumber$$

  (ver §3.1.2 en rebanadas horizontales) luego

  $$\text{the reflection of }\mathcal{R}\text{ across the }y\text{-axis} =\left \{(x,y)|c\le y\le d, -R(y)\le x\le -L(y)\right \} \nonumber$$

  En el boceto a continuación$\mathcal{R}_y$ se encuentra el reflejo de$\mathcal{R}$ a través del$y$ eje.

  

  

• Un subconjunto$\mathcal{R}$ del$xy$ plano es invariante bajo reflexión a través del$y$ eje (o también se conoce como “simétrico alrededor del$y$ eje”) cuando

  $$(-x,y)\text{ is in }\mathcal{R} \iff (x,y)\text{ is in }\mathcal{R} \nonumber$$

  Recordemos que el símbolo$\iff$ se lee “si y sólo si”. En el caso especial de que

  $$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|c\le y\le d, L(y)\le x\le R(y)\right \} \nonumber$$

  $\mathcal{R}$es invariante bajo reflexión a través del$y$ eje -cuando$L(y)=-R(y)\text{.}$

Aquí hay algunos bocetos más. El primer boceto es de un rectángulo que es invariante bajo reflexión a través del$y$ eje, pero no invariante bajo reflexión a través del$x$ eje. Los tres bocetos restantes muestran un triángulo y sus reflejos a través del$y$ eje, a través del$x$ eje y a través del origen.

Finalmente estamos listos para el análogo del Teorema 3.1.23 (Teorema 1.2.11 en el texto CLP-2) para funciones de dos variables. A modo de motivación para ese teorema, considerar la integral$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}\text{,}$ con el integrando,$f(x,y)\text{,}$ impar bajo$x\rightarrow -x\text{,}$ y el dominio de la integración,$\mathcal{R}\text{,}$ simétrica alrededor del$y$ eje -eje. Rebanar$\mathcal{R}$ en cuadrados diminutos (piense en “infinitesmales”), ya sea subdividiendo rebanadas verticales en pequeños cuadrados, como en §3.1.1, o subdividiendo rebanadas horizontales en pequeños cuadrados, como en §3.1.2. Concéntrese en cualquier punto$(x_0,y_0)$ de$\mathcal{R}\text{.}$

La contribución a la integral proveniente de la plaza que contiene$(x_0,y_0)$ es (esencialmente ¹²)$f(x_0,y_0)\,\Delta x\,\Delta y\text{.}$ Esa contribución se cancela por la contribución proveniente de la plaza que contiene (el punto reflejado)$(-x_0,y_0)\text{,}$ que es

$$f(-x_0,y_0)\,\Delta x\,\Delta y = -f(x_0,y_0)\,\Delta x\,\Delta y \nonumber$$

Este es el caso de todos los puntos$(x_0,y_0)$ en$\mathcal{R}\text{.}$ Consecuentemente

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = 0 \nonumber$$

Aquí está el análogo del Teorema 3.1.23 para funciones de dos variables.

Teorema 3.1.27. 2d par e impar

1. Dejar$\mathcal{R}$ ser un subconjunto del$xy$ plano -que es simétrico alrededor del$y$ eje. Si$f(x,y)$ es impar debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0 \nonumber$$

   Denotar por$\mathcal{R}_+$ el conjunto de todos los puntos en$\mathcal{R}$ que tienen$x\ge 0\text{.}$ Si$f(x,y)$ es incluso por debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 2\iint_{\mathcal{R}_+} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

2. Dejar$\mathcal{R}$ ser un subconjunto del$xy$ plano -que es simétrico alrededor del$x$ eje. Si$f(x,y)$ es impar debajo$y\rightarrow -y\text{,}$ entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = 0 \nonumber$$

   Denotar por$\mathcal{R}_+$ el conjunto de todos los puntos en$\mathcal{R}$ que tienen$y\ge 0\text{.}$ Si$f(x,y)$ es incluso por debajo$y\rightarrow -y\text{,}$ entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = 2\iint_{\mathcal{R}_+} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

3. Dejar$\mathcal{R}$ ser un subconjunto del$xy$ -plano que es invariante bajo reflexión a través del origen. Si$f(x,y)$ es impar (bajo reflexión a través del origen), entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = 0 \nonumber$$

   Denote$\mathcal{R}_+$ ya sea por el conjunto de todos los puntos en$\mathcal{R}$ que tienen$x\ge 0$ o el conjunto de todos los puntos en los$\mathcal{R}$ que tienen$y\ge 0\text{.}$ Si$f(x,y)$ es par (bajo reflexión a través del origen), entonces

   $$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = 2\iint_{\mathcal{R}_+} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

Prueba

Daremos únicamente la prueba de la parte (a) en el caso especial de que

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|c\le y\le d, L(y)\le x\le R(y)\right \} \nonumber$$

En la parte (a), estamos suponiendo que$\mathcal{R}$ es simétrico alrededor del$y$ eje -eje, de$L(y)=-R(y)\text{.}$ manera que So, usando franjas horizontales, como se describe en §3.1.2,

$$\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} =\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{-R(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) \nonumber$$

Arreglar cualquier$c\le y\le d\text{.}$

• Si$f(x,y)$ es impar debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces$f(-x,y)=-f(x,y)$ para todos$-R(y)\le x\le R(y)$ y

  $$\int_{-R(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)=0 \nonumber$$

  por parte (b) del Teorema 3.1.23 (Teorema 1.2.11 en el texto CLP-2).
• Si$f(x,y)$ es incluso por debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces$f(-x,y)=f(x,y)$ para todos$-R(y)\le x\le R(y)$ y

  $$\int_{-R(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)=2\int_0^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) \nonumber$$

  por la parte (a) del Teorema 3.1.23.

Como las declaraciones de las dos balas son ciertas para cada fijo$c\le y\le d\text{,}$ tenemos que

• si$f(x,y)$ es impar debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces

  $$\begin{align*}\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &=\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{-R(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) =\int_c^d \mathrm{d}{y}\ 0 \\ &=0 \end{align*}$$

• y si$f(x,y)$ es incluso por debajo$x\rightarrow -x\text{,}$ entonces

  $$\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} &=\int_c^d \mathrm{d}{y} \int_{-R(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) =\int_c^d \mathrm{d}{y}\ 2\int_0^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y) \\ &=2\iint_{\mathcal{R}_+} f(x,y)\, \mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} \end{align*}$$

La prueba de la parte (a) cuando no$\mathcal{R}$ es de la forma

$$\mathcal{R}=\left \{(x,y)|c\le y\le d, L(y)\le x\le R(y)\right \} \nonumber$$

(por ejemplo si$\mathcal{R}$ tiene agujeros en él) se hace más fácilmente usando el cambio de variables$x=-u\text{,}$$y=v$ en el Teorema 3.8.3, que es parte de la opcional §3.8.

La prueba de la parte (b) es similar a la prueba de la parte (a).

La prueba de la parte (c) se realiza más fácilmente utilizando el cambio de variables$x=-u\text{,}$$y=-v$ en el Teorema 3.8.3, que forma parte de la opcional §3.8.

Ejemplo 3.1.28. $\iint_{\mathcal{R}} e^x\sin(y+y^3)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}$

Evaluar la integral

$$\iint_{\mathcal{R}} e^x\sin(y+y^3)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

sobre la región triangular$\mathcal{R}$ en el boceto

Solución

Comience por verificar las propiedades de uniformidad y rareza del integrando$f(x,y) = e^x\sin(y+y^3)\text{.}$ Desde

$$\begin{align*} f(-x,y)&=e^{-x}\sin(y+y^3) \\ f(x,-y)&=e^{x}\sin\big(-y+(-y)^3\big) =e^{x}\sin(-y-y^3) =-e^{x}\sin(y+y^3) \\ &=-f(x,y) \\ f(-x,-y)&=-e^{-x}\sin(y+y^3) \end{align*}$$

el integrando es impar bajo$y\rightarrow-y$ pero no es ni par ni impar bajo$x\rightarrow -x$ y$(x,y)\rightarrow-(x,y)\text{.}$ Afortunadamente (o por rigging), el dominio de integración$\mathcal{R}$ es invariante bajo$y\rightarrow -y$ (es decir, es simétrico alrededor del$x$ eje -) y así

$$\iint_{\mathcal{R}} e^x\sin(y+y^3)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}=0 \nonumber$$

por parte (b) del Teorema 3.1.27 (Teorema 1.2.11 en el texto CLP-2).

Ejemplo 3.1.29. $\iint_{\mathcal{R}}(xe^y + ye^x + xe^{xy} + 7)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}$

Evaluar la integral

$$\iint_{\mathcal{R}}(xe^y + ye^x + xe^{xy} + 7)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

sobre la región$\mathcal{R}$ cuyo límite exterior es la elipse$x^2+4y^2=1\text{.}$

Solución

Primero, vamos a bosquejar la elipse$x^2+4y^2=1\text{.}$ Observe que sus$x$ intercepciones son los puntos$(x,0)$ que obedecen$x^2+4(0)^2=1\text{.}$ Entonces las$x$ -intercepciones son$(\pm 1,0)\text{.}$ De igual manera sus$y$ intercepciones son los puntos$(0,y)$ que obedecen$0^2+4y^2=1\text{.}$ Entonces las$y$ -intercepciones son$(0,\pm 1/2)\text{.}$ Aquí hay un boceto de$\mathcal{R}\text{.}$

Del boceto, parece que$\mathcal{R}$ es invariante bajo$x\rightarrow-x$ (es decir, es simétrico alrededor del$y$ eje -) y también es invariante bajo$y\rightarrow-y$ (es decir, es simétrico alrededor del$x$ eje -) y también es invariante bajo$(x,y)\rightarrow-(x,y)\text{.}$ Es fácil verificar analíticamente que este es efectivamente el caso. El punto$(x,y)$ está en$\mathcal{R}$ si y solo si está dentro$x^2+4y^2=1\text{.}$ Ese es el caso si y solo si$x^2+4y^2\le 1\text{.}$ Desde

$$(-x)^2+4y^2 = x^2+(-4y)^2 = (-x)^2+4(-y)^2 = x^2+4y^2 \nonumber$$

tenemos

$$\begin{align*} (x,y)\text{ is in $\mathcal{R}$} &\iff (-x,y)\text{ is in $\mathcal{R}$} \\ &\iff (x,-y)\text{ is in $\mathcal{R}$} \\ &\iff (-x,-y)\text{ is in $\mathcal{R}$} \end{align*}$$

Ahora vamos a comprobar las propiedades de uniformidad y rareza del integrando.

$$\begin{alignat*}{4} f(x,y) &= xe^y &&+ ye^x &&+ xe^{xy} &&+ 7 \\ f(-x,y) &= -xe^y &&+ ye^{-x} &&- xe^{-xy} &&+ 7 \\ f(x,-y) &= xe^{-y} &&- ye^x &&+ xe^{-xy} &&+ 7 \\ f(-x,-y) &= -xe^{-y} &&- ye^{-x} &&- xe^{xy} &&+ 7 \end{alignat*}$$

Entonces no$f(x,y)$ es ni par ni impar bajo ninguno de$x\rightarrow-x\text{,}$$y\rightarrow-y\text{,}$ y$(x,y)\rightarrow-(x,y)\text{.}$ PERO, mira los cuatro términos de$f(x,y)$ por separado.

• El primer término de$f(x,y)\text{,}$ a saber,$xe^y\text{,}$ es impar bajo$x\rightarrow-x\text{.}$
• El segundo término de$f(x,y)\text{,}$ a saber,$ye^x\text{,}$ es impar bajo$y\rightarrow-y\text{.}$
• El tercer término de$f(x,y)\text{,}$ a saber,$xe^{xy}\text{,}$ es impar bajo$(x,y)\rightarrow-(x,y)\text{.}$
• El cuarto término de$f(x,y)\text{,}$ a saber$7\text{,}$ es incluso bajo todos$x\rightarrow-x\text{,}$$y\rightarrow-y\text{,}$ y$(x,y)\rightarrow-(x,y)\text{.}$

Entonces, por las partes (a), (b) y (c) del Teorema 3.1.27, en orden,

$$\begin{align*} &\iint_{\mathcal{R}}(xe^y + ye^x + xe^{xy} + 7)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y}\\ &\hskip0.5in= \iint_{\mathcal{R}}xe^y\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} + \iint_{\mathcal{R}}ye^x\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} + \iint_{\mathcal{R}}xe^{xy}\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} + 7 \iint_{\mathcal{R}} \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &\hskip0.5in= 0 + 0 +0 + 7\,\text{Area}(\mathcal{R}) \end{align*}$$

Dado que$\mathcal{R}$ es una elipse con semieje mayor$a=1$ y semieje menor$b=\frac{1}{2}\text{,}$ tiene área$\pi a b = \tfrac{1}{2}\pi$ y

$$\iint_{\mathcal{R}}(xe^y + ye^x + xe^{xy} + 7)\, \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} = \tfrac{7}{2}\pi \nonumber$$

Ejercicios

Etapa 1

1

Para cada una de las siguientes, evalúe la doble integral dada sin usar iteración. En cambio, interprete la integral como, por ejemplo, un área o un volumen.

1. $\displaystyle \int_{-1}^3\int_{-4}^1 \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x}$
2. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{\sqrt{4-y^2}} \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$
3. $\displaystyle \int_{-3}^3\int_0^{\sqrt{9-y^2}}\sqrt{9-x^2-y^2}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$

2

Dejar$f(x,y)= 12 x^2y^3\text{.}$ Evaluar

1. $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\, \mathrm{d}{x}$
2. $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}{y}$
3. $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$
4. $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x}$
5. $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$

Etapa 2

Las preguntas 3.1.7.3 a 3.1.7.8 proporcionan práctica con límites de integración para dobles integrales en coordenadas cartesianas.

3

Para cada una de las siguientes, evalúe la doble integral dada mediante iteración.

1. $\displaystyle \iint_{R} (x^2+y^2)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$R$ esta el rectángulo$0\le x\le a,\ 0\le y\le b$ donde$a \gt 0$ y$b \gt 0\text{.}$
2. $\displaystyle\iint_{T} (x-3y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$T$ esta el triángulo con vértices$(0,0),\ (a,0),\ (0,b)\text{.}$
3. $\displaystyle\iint_{R} xy^2\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$R$ está la región finita en el primer cuadrante delimitada por las curvas$y=x^2$ y$x=y^2\text{.}$
4. $\displaystyle\iint_{D} x\cos y\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$D$ está la región finita en el primer cuadrante delimitada por los ejes de coordenadas y la curva$y=1-x^2\text{.}$
5. $\displaystyle\iint_{R} {x\over y}e^y\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$R$ esta la region$0\le x\le 1,\ x^2\le y\le x\text{.}$
6. $\displaystyle\iint_{T} {xy\over 1+x^4}\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}$donde$T$ esta el triángulo con vértices$(0,0),\ (0,1),\ (1,1)\text{.}$

4

Para cada una de las siguientes integrales (i) esbozar la región de integración, (ii) escribir una doble integral equivalente con el orden de integración invertido y (iii) evaluar ambas integrales dobles.

1. $\displaystyle \int_0^2 \mathrm{d}{x} \int_1^{e^x}\mathrm{d}{y}$
2. $\displaystyle \int_0^{\sqrt{2}}\mathrm{d}{y} \int_{-\sqrt{4-2y^2}}^{\sqrt{4-2y^2}} \mathrm{d}{x} \ y$
3. $\displaystyle \int_{-2}^1 \mathrm{d}{x} \int_{x^2+4x}^{3x+2}\mathrm{d}{y}$

5. ✳

Combina la suma de las dos integrales dobles iteradas

$$\int_{y=0}^{y=1}\int_{x=0}^{x=y} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} +\int_{y=1}^{y=2}\int_{x=0}^{x=2-y} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

en una sola integral doble iterada con el orden de integración invertido.

6. ✳

Considerar la integral

$$\int_0^1\int_x^1 e^{x/y}\ \mathrm{d}{y}\ \mathrm{d}{x} \nonumber$$

1. Esbozar el dominio de la integración.
2. Evaluar la integral invirtiendo el orden de integración.

7. ✳

La integral$I$ se define como

$$I =\iint_{R} f(x,y)\ \mathrm{d}{A} = \int_1^{\sqrt{2}} \int_{1/y}^{\sqrt{y}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} +\int_{\sqrt{2}}^4 \int_{y/2}^{\sqrt{y}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

1. Esbozar la región$R\text{.}$
2. Vuelva a escribir la integral$I$ invirtiendo el orden de integración.
3. Calcular la integral$I$ cuando$f(x,y)= x/y\text{.}$

8. ✳

Una región$E$ en el$xy$ plano —tiene la propiedad de que para todas las funciones continuas f

$$\iint_{E} f(x,y)\,\mathrm{d}{A} = \int_{x=-1}^{x=3}\left[\int_{y=x^2}^{y=2x+3} f(x,y) \mathrm{d}{y}\right] \mathrm{d}{x} \nonumber$$

1. Compute$\iint_{E} x\,\mathrm{d}{A}\text{.}$
2. Esbozar la región E.
3. Configure$\iint_{E} x\,\mathrm{d}{A}$ como una integral o suma de integrales en el orden opuesto.

9. ✳

Calcular la integral:

$$\iint_{D} \sin(y^2)\ \mathrm{d}{A} \nonumber$$

donde$D$ está la región delimitada por$x + y = 0\text{,}$$2x - y = 0\text{,}$ y$y = 4\text{.}$

10. ✳

Considerar la integral

$$I = \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 \frac{\sin(\pi x^2)}{x}\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

1. Dibuja la región de integración.
2. Evaluar I.

11. ✳

Dejar$I$ ser la doble integral de la función$f(x,y) = y^2 \sin xy$ sobre el triángulo con vértices$(0, 0)\text{,}$$(0, 1)$ y$(1, 1)$ en el$xy$ plano —.

1. Escribe$I$ como una integral iterada de dos maneras diferentes.
2. Evaluar$I\text{.}$

12. ✳

Encuentra el volumen$(V)$ del sólido delimitado arriba por la superficie

$$z = f (x,y) = e^{-x^2}, \nonumber$$

abajo por el plano$z = 0$ y sobre el triángulo en el$xy$ plano —formado por las líneas$x = 1\text{,}$$y = 0$ y$y = x\text{.}$

13. ✳

Considerar la integral$\displaystyle I=\int_0^1 \int_y^{2-y}\frac{y}{x} \ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$

1. Dibuja la región de integración.
2. Intercambiar el orden de integración.
3. Evaluar$I\text{.}$

14. ✳

Para la integral

$$I = \int_0^1 \int_{\sqrt{x}}^1 \sqrt{1+y^3}\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

1. Dibuja la región de integración.
2. Evaluar$I\text{.}$

15. ✳

1. $D$es la región delimitada por la parábola$y^2 = x$ y la línea$y = x - 2\text{.}$ Esbozar$D$ y evaluar$J$ dónde

   $$J = \iint_{D} 3y\ \mathrm{d}{A} \nonumber$$

2. Dibuje la región de integración y luego evalúe la integral$I$:

   $$I = \int_0^4 \int_{\frac{1}{2}\sqrt{x}}^1 e^{y^3}\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

16. ✳

Considere la integral iterada

$$\int_{-4}^0\int_{\sqrt{-y}}^2 \cos(x^3)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

1. Dibujar la región de integración.
2. Evaluar la integral.

17. ✳

1. Combina la suma de las integrales iteradas

   $$I = \int_0^1\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} + \int_1^4\int_{y-2}^{\sqrt{y}} f(x,y)\ \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

   en una sola integral iterada con el orden de integración invertido.
2. Evaluar$I$ si$f(x,y)=\frac{e^x}{2-x}\text{.}$

18. ✳

Let

$$I=\int_0^4\int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{8-y}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \nonumber$$

1. Esbozar el dominio de la integración.
2. Invierta el orden de integración.
3. Evaluar la integral para$f(x,y)=\frac{1}{(1+y)^2}\text{.}$

19. ✳

Evaluar

$$\int_{-1}^0 \int_{-2}^{2x} e^{y^2}\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

20. ✳

Let

$$I = \int_0^2 \int_0^x f(x,y)\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} + \int_2^6 \int_0^{\sqrt{6-x}} f(x,y)\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

Expreso$I$ como integral donde nos integramos primero con respecto a$x\text{.}$

21. ✳

Considera el dominio$D$ por encima del$x$ eje —y por debajo de la parábola$y = 1-x^2$ en el$xy$ plano —.

1. Sketch$D\text{.}$
2. Express

   $$\iint_{D} f(x,y)\ \mathrm{d}{A} \nonumber$$

   como una integral iterada correspondiente al orden$\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y}\text{.}$ Entonces expresar esta integral como una integral iterada correspondiente al orden$\mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \text{.}$
3. Calcular la integral en el caso$f(x,y) = e^{x-(x^3/3)}\text{.}$

22. ✳

Let$I=\int_0^1 \int_{x^2}^1 x^3\ \sin(y^3)\ \mathrm{d}{y}\ \mathrm{d}{x} \text{.}$

1. Esbozar la región de integración en el$xy$ plano —. Etiquete su boceto lo suficientemente bien para que uno pueda usarlo para determinar los límites de la doble integración.
2. Evaluar$I\text{.}$

23. ✳

Considera el sólido bajo la superficie$z=6-xy\text{,}$ delimitada por los cinco planos$x=0\text{,}$$x=3\text{,}$$y=0\text{,}$$y=3\text{,}$$z=0\text{.}$ Tenga en cuenta que ninguna parte del sólido se encuentra por debajo del$y$ plano$x$ —.

1. Esboce la base del sólido en el$xy$ plano —. ¡Tenga en cuenta que no es un cuadrado!
2. Calcular el volumen del sólido.

24. ✳

Evaluar la siguiente integral:

$$\int_{-2}^2\int_{x^2}^4\cos\big(y^{3/2}\big)\ \mathrm{d}{y}\, \mathrm{d}{x} \nonumber$$

25. ✳

Considere el volumen por encima del$xy$ plano que está dentro del cilindro circular$x^2+y^2=2y$ y debajo de la superficie$z=8+2xy\text{.}$

1. Expresar este volumen como una doble integral$I\text{,}$ indicando claramente el dominio sobre el que me van a tomar.
2. Expresar en coordenadas cartesianas, la doble integral$I$ como intergal iterada de dos maneras diferentes, indicando claramente los límites de integración en cada caso.
3. ¿Cuánto cuesta este volumen?

26. ✳

Evaluar la siguiente integral:

$$\int_0^9\int_{\sqrt{y}}^3\sin(\pi x^3)\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

27. ✳

La integral iterada

$$I=\int_0^1\bigg[\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} \sin\big(y^3-3y\big)\,\mathrm{d}{y}\bigg] \ \mathrm{d}{x} \nonumber$$

es igual a$\iint_{D}\sin\big(y^3-3y)\ \mathrm{d}A$ para una región adecuada$R$ en el$xy$ plano.

1. Esbozar la región$R\text{.}$
2. Escribir la integral$I$ con las órdenes de integración invertidas, y con límites adecuados de integración.
3. Encuentra$I\text{.}$

28. ✳

Encuentra la doble integral de la función$f(x, y) = xy$ sobre la región delimitada por$y = x - 1$ y$y^2 = 2x + 6\text{.}$

Etapa 3

29

Encuentra el volumen del sólido dentro del cilindro$x^2+2y^2=8\text{,}$ por encima del plano$z=y-4$ y debajo del plano$z=8-x\text{.}$

1. Por el “más pequeño”$x$ nos referimos al$x$ más lejano a la izquierda a lo largo de la recta numérica, no el$x$ más cercano a$0\text{.}$
2. Este teorema lleva el nombre del matemático italiano Guido Fubini (1879—1943).
3. Piense en la parte de$\mathcal{V}$ eso que está por encima de la tira como una rebanada delgada de pan. Entonces el factor$\mathrm{d}{y}$ adentro$\mathrm{d}{y}\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)$ es el grosor de la rebanada de pan. El factor$\int_{L(y)}^{R(y)} \mathrm{d}{x} \ f(x,y)$ es el área superficial de la$y$ sección transversal constante$\left \{(x,z)|L(y)\le x\le R(y),\ 0\le z\le f(x,y) \right \}\text{,}$, es decir, el área superficial de la rebanada de pan.
4. También tiene dos soluciones complejas que aquí no juegan ningún papel.
5. Quizás la función más conocida cuya antiderivada no se puede expresar en términos de funciones elementales es$e^{-x^2} \text{.}$ Es el integrando de la función de error$\mathrm{erf}(x) =\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\ dt$ que se utiliza en el cálculo de probabilidades de “curva de campana”. Ver Ejemplo 3.6.10 en el texto CLP-2.
6. Véase, por ejemplo, el Ejemplo 3.6.10 en el texto CLP-2.
7. Véase §1.9 en el texto CLP-2 para una discusión general sobre la sustitución trigonométrica.
8. No estábamos bromeando acerca de que era una buena revisión de las técnicas de integración de variables únicas. Ver Ejemplo 1.8.8 en el texto CLP-2.
9. Por ejemplo, deja$p_i$ ser el perímetro del número rectángulo$i$ y requieren que$\max_{1\le i\le n} p_i$ tiende a cero. De esta manera, tanto las alturas como las anchuras de todos los rectángulos también tienden a cero.
10. Para los matemáticos, “patológico” es sinónimo de “cool”.
11. Aquí$L(y)$ (“$L$” significa “izquierda”) es el valor permitido más a la izquierda de$x$ cuando la$y$ coordenada es$y\text{,}$ y$R(y)$ (“$R$” significa “derecha”) es el valor permitido más a la derecha de$x\text{,}$ cuando la$y$ coordenada es$y\text{.}$
12. En esta motivación, reprimimos los$\Delta y\rightarrow 0$ límites$\Delta x\rightarrow 0$ y.