3.3: Aplicaciones de Integrales Dobles

Las dobles integrales son útiles para algo más que áreas de computación y volúmenes. Aquí hay algunas otras aplicaciones que conducen a dobles integrales.

Promedios

En la Sección 2.2 del texto CLP-2, definimos el valor promedio de una función de una variable. Ahora extenderemos esa discusión a funciones de dos variables. Primero, recordamos la definición del promedio de un conjunto finito de números.

Definición 3.3.1

El promedio (media) de un conjunto de\(n\) números\(f_1\text{,}\)\(f_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(f_n\) es

\[\begin{align*} \bar f &= \left \langle  f \right \rangle \\[4pt] &=\frac{f_1+f_2+\cdots+f_n}{n} \end{align*}\]

Las notaciones\(\bar f\) y ambas\(\left \langle  f \right \rangle\) se utilizan comúnmente para representar el promedio.

Ahora supongamos que queremos tomar el promedio de una función\(f(x,y)\) con\((x,y)\) correr continuamente sobre alguna región\(\mathcal{R}\) en el\(xy\) -plano. Un enfoque natural para definir lo que queremos decir con el valor promedio de\(f\) over\(\mathcal{R}\) es a

• Primero arregla cualquier número natural\(n\text{.}\)
• Subdividir la región\(\mathcal{R}\) en pequeños cuadrados (aproximados) cada uno de ancho\(\Delta x=\frac{1}{n}\) y alto\(\Delta y =\frac{1}{n}\text{.}\) Esto se puede hacer, por ejemplo, subdividiendo las tiras verticales en pequeños cuadrados, como en el Ejemplo 3.1.11.
• Nombra los cuadrados (en cualquier orden fijo)\(R_1\text{,}\)\(R_2\text{,}\)\(\cdots\text{,}\)\(R_N\text{,}\) donde\(N\) está el número total de cuadrados.
• Seleccione, por cada\(1\le i\le N\text{,}\) punto en número cuadrado\(i\) y llámalo\((x_i^*,y_i^*)\text{.}\) So\((x_i^*,y_i^*)\in R_i\text{.}\)
• El valor promedio de\(f\) en los puntos seleccionados es

  \[\begin{align*} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N f(x_i^*,y_i^*) &=\frac{\sum_{i=1}^N f(x_i^*,y_i^*)}{\sum_{i=1}^N 1 } \\[4pt] &=\frac{\sum_{i=1}^N f(x_i^*,y_i^*)\, \Delta x\,\Delta y}{\sum_{i=1}^N \Delta x\,\Delta y} \end{align*}\]

  Hemos transformado el promedio en una proporción de sumas de Riemann.

Una vez que tenemos las sumas de Riemann queda claro qué hacer a continuación. Tomando el límite que\(n\rightarrow\infty\text{,}\) obtenemos exactamente Por\(\frac{\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_{\mathcal{R}} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} }\text{.}\) eso definimos

Definición 3.3.2

Let\(f(x,y)\) ser una función integrable definida en la región\(\mathcal{R}\) en el\(xy\) -plano. El valor promedio de\(f\) on\(\mathcal{R}\) es

\[\begin{gather*} \bar f=\left \langle  f \right \rangle =\frac{\displaystyle\iint_{\mathcal{R}} f(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\displaystyle\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } \end{gather*}\]

Ejemplo 3.3.3. Promedio

Deja que\(a \gt 0\text{.}\) Una montaña, llámala Half Dome ¹, tiene altura\(z(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) por encima de cada punto\((x,y)\) en la región base\(\mathcal{R}=\left \{ (x,y)|x^2+y^2\le a^2, x\le 0\right \}\text{.}\) Encuentra su altura promedio.

Solución

Por Definición 3.3.2 la altura promedio es

\[ \bar z =\frac{\iint_\mathcal{R} z(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } =\frac{\iint_\mathcal{R} \sqrt{a^2-x^2-y^2}\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } \nonumber \]

Las integrales tanto en el numerador como en el denominador se evalúan fácilmente interpretándolas geométricamente.

• El numerador\(\iint_\mathcal{R} z(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\iint_\mathcal{R} \sqrt{a^2-x^2-y^2}\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) puede interpretarse como el volumen de

  \[\begin{align*} &\Big\{\ (x,y,z)\ \Big|\ x^2+y^2\le a^2,\ x\le 0,\ 0\le z\le \sqrt{a^2-x^2-y^2}\ \Big\}\\ &= \left \{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\le a^2,\ x\le 0,\ z\ge 0\right \} \end{align*}\]

  que es una cuarta parte del interior de una esfera de radio\(a\text{.}\) Así que el numerador es\(\frac{1}{3}\pi a^3\text{.}\)
• El denominador\(\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) es el área de la mitad de un disco circular de radio\(a\text{.}\) Entonces el denominador es\(\frac{1}{2} \pi a^2\text{.}\)

En conjunto, la estatura promedio es

\[ \bar z = \frac{\frac{1}{3}\pi a^3}{\frac{1}{2} \pi a^2} =\frac{2}{3}\, a \nonumber \]

Observe esto este número es mayor que cero y menor que la altura máxima, que es\(a\text{.}\) Eso tiene sentido.

Ejemplo 3.3.4. Ejemplo 3.3.3, la manera difícil

Este último ejemplo fue relativamente fácil porque podíamos reinterpretar las integrales como cantidades geométricas. Para la práctica, volvamos y evaluemos el numerador\(\iint_\mathcal{R} \sqrt{a^2-x^2-y^2}\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) del Ejemplo 3.3.3 como una integral iterada.

Aquí hay un boceto de la vista superior de la región base\(\mathcal{R}\text{.}\)

Usando el corte en la figura

\[\begin{align*} \iint_\mathcal{R} \sqrt{a^2-x^2-y^2}\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &= \int_{-a}^a \mathrm{d}{y} \int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^0 \mathrm{d}{x} \ \sqrt{a^2-x^2-y^2} \end{align*}\]

Obsérvese que, en\(\displaystyle \int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^0 \mathrm{d}{x} \ \sqrt{a^2-x^2-y^2}\text{,}\) la integral interna la variable\(y\) se trata como una constante, de manera que el integrando\(\sqrt{a^2-y^2-x^2} = \sqrt{C^2-x^2}\) con\(C\) ser\(\sqrt{a^2-y^2}\text{.}\) la constante El protocolo estándar para evaluar esta integral utiliza la sustitución trigonométrica

\[\begin{align*} x &= C\sin\theta\qquad\text{with } -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}\\ \mathrm{d}{x} &= C\cos\theta\, \mathrm{d}{\theta} \end{align*}\]

La sustitución trigonométrica se discutió en detalle en la Sección 1.9 del texto CLP-2. Desde

\[\begin{align*} x&=0 & \implies C\sin\theta&=0 &\implies \theta&=0\\ x&=-\sqrt{a^2-y^2}=-C &\implies C\sin\theta&=-C &\implies \theta&=-\frac{\pi}{2} \end{align*}\]

y

\[\begin{align*} \sqrt{a^2-x^2-y^2}&=\sqrt{C^2-C^2\sin^2\theta}=C\cos\theta \end{align*}\]

la integral interna

\[\begin{align*} &\int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^0 \mathrm{d}{x} \ \sqrt{a^2-x^2-y^2} =\int_{-\pi/2}^0 C^2\cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \\ &\hskip1in=C^2\int_{-\pi/2}^0\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\ \mathrm{d}{\theta} =C^2\left[\frac{\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}}{2}\right]_{-\pi/2}^0\\ &\hskip1in=\frac{\pi C^2}{4} =\frac{\pi}{4}\big(a^2-y^2\big) \end{align*}\]

y la integral completa

\[\begin{align*} \iint_\mathcal{R} \sqrt{a^2-x^2-y^2}\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\frac{\pi}{4} \int_{-a}^a \big(a^2-y^2\big)\ \mathrm{d}{y} =\frac{\pi}{2} \int_0^a \big(a^2-y^2\big)\ \mathrm{d}{y} \\ &=\frac{\pi}{2}\left[a^3-\frac{a^3}{3}\right]\\ &=\frac{1}{3}\pi a^3 \end{align*}\]

tal como vimos en el Ejemplo 3.3.3.

Observación 3.3.5

Observamos que existe una manera eficiente, astuta, de evaluar integrales definidas como\(\int_{-\pi/2}^0 \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \text{.}\) Mirando las cifras

vemos que

\[ \int_{-\pi/2}^0 \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\int_{-\pi/2}^0 \sin^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]

Así

\[\begin{align*} \int_{-\pi/2}^0 \cos^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} &=\int_{-\pi/2}^0 \sin^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} =\int_{-\pi/2}^0 \frac{1}{2}\big[\sin^2\theta+\cos^2\theta\big]\, \mathrm{d}{\theta} =\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^0 \mathrm{d}{\theta} \\ &=\frac{\pi}{4} \end{align*}\]

No es nada inusual querer encontrar el valor promedio de alguna función\(f(x,y)\) con\((x,y)\) atropellar alguna región,\(\mathcal{R}\text{,}\) sino también querer que algunos\((x,y)\) jueguen un papel más importante en la determinación del promedio que el\((x,y)\) de otros. Una forma común de hacerlo es crear una “función de peso” \(w(x,y) \gt 0\)con\(\frac{w(x_1,y_1)}{w(x_2,y_2)}\) dar la importancia relativa de\((x_1,y_1)\) y es\((x_2,y_2)\text{.}\) decir,\((x_1,y_1)\) es\(\frac{w(x_1,y_1)}{w(x_2,y_2)}\) tiempos tan importantes como\((x_2,y_2)\text{.}\) Esto lleva a la definición

Definición 3.3.6

\[\begin{gather*} \frac{\iint_\mathcal{R} f(x,y)\,w(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} w(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } \end{gather*}\]

se llama el promedio ponderado de\(f\) más\(\mathcal{R}\) con peso\(w(x,y)\text{.}\)

Tenga en cuenta que si es\(f(x,y)=F\text{,}\) una constante, entonces el promedio ponderado de\(f\) es\(F\text{,}\) justo como usted querría.

Centro de Misa

Un ejemplo importante de un promedio ponderado es el centro de masa. Si apoyas un cuerpo en su centro de masa (en un campo gravitacional uniforme) se equilibra perfectamente. Esa es la definición del centro de masa del cuerpo. En la Sección 2.3 del texto CLP-2, encontramos que el centro de masa de un cuerpo que consiste en masa distribuida continuamente a lo largo de una línea recta, con densidad de masa\(\rho(x)\) kg/m y con\(x\) recorrido de\(a\) a\(b\text{,}\) está en

\[ \bar x = \frac{\int_a^b x\ \rho(x)\, \mathrm{d}{x} }{\int_a^b \rho(x)\, \mathrm{d}{x} } \nonumber \]

Es decir, el centro de masa está en el promedio de la\(x\) coordenada ponderada por la densidad de masa.

En dos dimensiones, el centro de masa de una placa que cubre la región\(\mathcal{R}\) en el\(xy\) plano y que tiene densidad de masa\(\rho(x,y)\) es el punto\((\bar x, \bar y)\) donde

Ecuación 3.3.7. Centro de Misa

\[\begin{align*} \bar x & = \text{the weighted average of $x$ over $\mathcal{R}$}\\ &=\frac{\iint_\mathcal{R} x\ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } =\frac{\iint_\mathcal{R} x\ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\text{Mass}(\mathcal{R})}\\ \bar y & = \text{the weighted average of $y$ over $\mathcal{R}$}\\ &=\frac{\iint_\mathcal{R} y\ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } =\frac{\iint_\mathcal{R} y\ \rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\text{Mass}(\mathcal{R})} \end{align*}\]

Si la densidad de masa es una constante, el centro de masa también se llama centroide, y es el centro geométrico de\(\mathcal{R}\text{.}\) En este caso

Ecuación 3.3.8. Centroide

\[\begin{align*} \bar x &=\frac{\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } =\frac{\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\text{Area}(\mathcal{R})}\\ \bar y &=\frac{\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } =\frac{\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\text{Area}(\mathcal{R})} \end{align*}\]

Ejemplo 3.3.9. Centro de Misa

En la Sección 2.3 del texto CLP-2, no tuvimos acceso a integrales multivariables, por lo que utilizamos cierta intuición física para derivar que el centroide de un cuerpo que llena la región

\[ \mathcal{R}=\big\{\ (x,y)\ \big|\ a\le x\le b,\ B(x)\le y\le T(x)\ \big\} \nonumber \]

en el\(xy\) -plano es\((\bar x,\bar y)\) donde

\[\begin{align*} \bar x &= \frac{\int_a^b x [T(x)-B(x)]\, \mathrm{d}{x} }{A}\\ \bar y &= \frac{\int_a^b\, [T(x)^2-B(x)^2]\, \mathrm{d}{x} }{2A} \end{align*}\]

y\(A=\int_a^b [T(x)-B(x)]\, \mathrm{d}{x} \) es el área de\(\mathcal{R}\text{.}\) Ahora que sí tenemos acceso a integrales multivariables, podemos derivar estas fórmulas directamente desde 3.3.8. Usando rebanadas verticales, como en esta figura,

vemos que el área de\(\mathcal{R}\) es

\[\begin{gather*} A= \iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y} =\int_a^b \mathrm{d}{x} \ \big[T(x)-B(x)\big] \end{gather*}\]

y que 3.3.8 da

\[\begin{align*} \bar x&= \frac{1}{A} \iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y} \ x =\frac{1}{A}\int_a^b \mathrm{d}{x} \ x\big[T(x)-B(x)\big]\\ \bar y&= \frac{1}{A} \iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \frac{1}{A} \int_a^b \mathrm{d}{x} \int_{B(x)}^{T(x)} \mathrm{d}{y} \ y =\frac{1}{A}\int_a^b \mathrm{d}{x} \ \left[\frac{T(x)^2}{2}-\frac{B(x)^2}{2}\right] \end{align*}\]

tal como se desee.

Empezaremos con un sencillo ejemplo mecánico.

Ejemplo 3.3.10. Cuarto de círculo

En el Ejemplo 2.3.4 del texto CLP-2, encontramos el centroide del disco circular de cuarto

\[ D= \left \{(x,y)|x\ge 0,\ y\ge 0,\ x^2+y^2\le r^2\right \} \nonumber \]

mediante el uso de las fórmulas del último ejemplo. Ahora lo encontraremos de nuevo usando 3.3.8.

Desde el área de\(D\) es\(\frac{1}{4}\pi r^2\text{,}\) tenemos

\[\begin{align*} \bar x =\frac{\iint_D x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\frac{1}{4}\pi r^2} \qquad \bar y &=\frac{\iint_D y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\frac{1}{4}\pi r^2} \end{align*}\]

Evaluaremos\(\iint_D x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) usando cortes horizontales, como en la figura de abajo a la izquierda.

Al mirar esa cifra, vemos que

• \(y\)corre de\(0\) a\(r\) y
• para cada uno\(y\) en ese rango,\(x\) va desde\(0\) hasta\(\sqrt{r^2-y^2}\text{.}\)

Entonces

\[\begin{align*} \iint_D x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &= \int_0^r \mathrm{d}{y} \int_0^{\sqrt{r^2-y^2}} \mathrm{d}{x} \ x = \int_0^r \mathrm{d}{y} \ \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{r^2-y^2}}\\ &=\frac{1}{2} \int_0^r \mathrm{d}{y} \ \big[r^2-y^2\big] =\frac{1}{2}\left[r^3-\frac{r^3}{3}\right]\\ &= \frac{r^3}{3} \end{align*}\]

y

\[ \bar x = \frac{4}{\pi r^2}\left[\frac{r^3}{3}\right] =\frac{4r}{3\pi} \nonumber \]

Esta es la misma respuesta que obtuvimos en el Ejemplo 2.3.4 del texto CLP-2. Pero debido a que pudimos usar rebanadas horizontales, la integral en este ejemplo fue un poco más fácil de evaluar que la integral en CLP-2. Si hubiéramos usado rebanadas verticales, habríamos terminado exactamente con la integral de CLP-2.

Por simetría, deberíamos tener\(\bar y=\bar x\text{.}\) Comprobaremos eso evaluando\(\iint_D y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) mediante el uso de rebanadas verticales, como en la figura de arriba a la derecha. A partir de esa cifra, vemos que

• \(x\)corre de\(0\) a\(r\) y
• para cada uno\(x\) en ese rango,\(y\) va desde\(0\) hasta\(\sqrt{r^2-x^2}\text{.}\)

Entonces

\[\begin{align*} \iint_D y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &= \int_0^r \mathrm{d}{x} \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \mathrm{d}{y} \ y = \frac{1}{2}\int_0^r \mathrm{d}{x} \ \big[r^2-x^2\big] \end{align*}\]

Esta es exactamente la integral\(\frac{1}{2} \int_0^r \mathrm{d}{y} \ \big[r^2-y^2\big]\) que evaluamos anteriormente, con\(y\) renombrada a\(x\text{.}\) Así\(\iint_D y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\frac{r^3}{3}\) también y

\[ \bar y = \frac{4}{\pi r^2}\left[\frac{r^3}{3}\right] =\frac{4r}{3\pi} =\bar x \nonumber \]

como se esperaba.

Ejemplo 3.3.11. Ejemplo 3.2.14, continuó

Encuentra el centroide de la región que está dentro del círculo\(r=4\cos\theta\) y a la izquierda de la línea\(x=1\text{.}\)

Solución

Recordemos que vimos en el Ejemplo 3.2.14 que efectivamente\(r=4\cos\theta\) era un círculo, y de hecho es el círculo\((x-2)^2+y^2=4\text{.}\) Aquí hay un boceto de ese círculo y de la región de interés,\(\mathcal{R}\text{.}\)

Del boceto, vemos que\(\mathcal{R}\) es simétrico alrededor del\(x\) eje -eje. Por lo que esperamos que su centroide,\((\bar x,\bar y)\text{,}\) tenga\(\bar y=0\text{.}\) Para ver esto desde la definición integral, señalar que la integral\(\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)

• tiene dominio de integración, es decir,\(\mathcal{R}\text{,}\) invariante bajo\(y\rightarrow -y\) (es decir, bajo reflexión en el\(x\) eje), y
• tiene integrand, es decir,\(y\text{,}\) que es impar bajo\(y\rightarrow -y\text{.}\)

Entonces\(\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =0\) y consecuentemente\(\bar y=0\text{.}\)

Ahora solo tenemos que encontrar\(\bar x\text{:}\)

\[\begin{gather*} \bar x =\frac{\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } {\iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} } \end{gather*}\]

Ya hemos encontrado, en el Ejemplo 3.2.14, que

\[\begin{gather*} \iint_\mathcal{R} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \frac{4\pi}{3}-\sqrt{3} \end{gather*}\]

Así que solo tenemos que computar\(\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{.}\) Usando\(\mathcal{R}_1\) para denotar la mitad superior de\(\mathcal{R}\text{,}\) y usando coordenadas polares, como hicimos en el Ejemplo 3.2.14,

\[\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}_1} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\int_0^{\pi/3} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{1/\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \overbrace{(r\cos\theta)}^{x} +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{4\cos\theta}\mathrm{d}r\ r \overbrace{(r\cos\theta)}^{x}\\ &=\int_0^{\pi/3} \mathrm{d}{\theta} \ \cos\theta\int_0^{1/\cos\theta}\mathrm{d}r\ r^2 +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ \cos\theta \int_0^{4\cos\theta}\mathrm{d}r\ r^2\\ &=\int_0^{\pi/3} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{\sec^2\theta}{3} +\int_{\pi/3}^{\pi/2} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{64}{3}\cos^4\theta \end{align*}\]

La primera integral es fácil, siempre que recordemos que\(\tan\theta\) es un antiderivado\(\sec^2\theta\text{.}\) para Para la segunda integral, necesitaremos la fórmula de doble ángulo\(\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\text{:}\)

\[\begin{align*} \cos^4\theta =\big(\cos^2\theta\big)^2 &=\left[\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\right]^2 =\frac{1}{4}\left[1+2\cos(2\theta)+\cos^2(2\theta)\right]\\ &=\frac{1}{4}\left[1+2\cos(2\theta)+\frac{1+\cos(4\theta)}{2}\right]\\ &=\frac{3}{8} +\frac{\cos(2\theta)}{2} + \frac{\cos(4\theta)}{8} \end{align*}\]

entonces

\[\begin{align*} \iint_{\mathcal{R}_1} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\frac{1}{3}\tan\theta\Big|_0^{\pi/3} +\frac{64}{3}\left[\frac{3\theta}{8} +\frac{\sin(2\theta)}{4}+\frac{\sin(4\theta)}{32}\right]_{\pi/3}^{\pi/2}\\ &=\frac{1}{3}\times\sqrt{3} +\frac{64}{3}\left[\frac{3}{8}\times\frac{\pi}{6} -\frac{\sqrt{3}}{4\times 2} +\frac{\sqrt{3}}{32\times 2}\right]\\ &=\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3} \end{align*}\]

La integral que queremos, es decir\(\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\)

• tiene dominio de integración, es decir,\(\mathcal{R}\text{,}\) invariante bajo\(y\rightarrow -y\) (es decir, bajo reflexión en el\(x\) eje), y
• tiene integrand, es decir,\(x\text{,}\) que es incluso bajo\(y\rightarrow -y\text{.}\)

Entonces\(\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =2\iint_{\mathcal{R}_1} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) y, todos juntos,

\[\begin{align*} \bar x &= \frac{2\left(\frac{4\pi}{3}-2\sqrt{3}\right)}{\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}} = \frac{\frac{8\pi}{3}-4\sqrt{3}}{\frac{4\pi}{3}-\sqrt{3}} \approx 0.59 \end{align*}\]

Como cheque, tenga\(0\le x\le 1\) en cuenta que el\(\mathcal{R}\) y más de\(\mathcal{R}\) está más cerca\(x=1\) de que a\(x=0\text{.}\) Entonces tiene sentido que\(\bar x\) esté entre\(\frac{1}{2}\) y\(1\text{.}\)

Ejemplo 3.3.12. Centro de masa inverso

Evaluar\(\displaystyle\int_0^2\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \big(2x+3y\big) \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} \text{.}\)

Solución

Esta es otra integral que se puede evaluar sin usar ningún cálculo en absoluto. Esta vez relacionándolo con un centro de masas. Por 3.3.8,

\[\begin{align*} \iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\bar x\ \text{Area}(\mathcal{R})\\ \iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} &=\bar y\ \text{Area}(\mathcal{R}) \end{align*}\]

para que podamos evaluar fácilmente\(\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) y\(\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) siempre que\(\mathcal{R}\) sea lo suficientemente simple y simétrico que podamos determinar fácilmente su área y su centroide.

Ese es el caso de la integral en este ejemplo. Reescribir

\[\begin{align*} \int_0^2\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \big(2x+3y\big) \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=2\int_0^2 \mathrm{d}{x} \left[\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \mathrm{d}{y} \ x\right]\\ &\hskip0.5in+3\int_0^2 \mathrm{d}{x} \left[\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \mathrm{d}{y} \ y\right] \end{align*}\]

En el dominio de la integración

• \(x\)corre de\(0\) a\(2\) y
• para cada ejecución\(0\le x\le 2\text{,}\)\(y\) fija de\(-\sqrt{2x-x^2}\) a\(+\sqrt{2x-x^2}\)

Observe que\(y=\pm \sqrt{2x-x^2}\) es equivalente a

\[ y^2 = 2x-x^2 = 1-(x-1)^2 \iff (x-1)^2 + y^2 =1 \nonumber \]

Nuestro dominio de integración es exactamente el disco

\[ \mathcal{R} =\left \{(x,y)|(x-1)^2 + y^2 \le 1\right \} \nonumber \]

de radio\(1\) centrado en\((1,0)\text{.}\)

Así\(\mathcal{R}\) tiene área\(\pi\) y centro de masa\((\bar x,\bar y)=(1,0)\) y

\[\begin{align*} \int_0^2\int_{-\sqrt{2x-x^2}}^{\sqrt{2x-x^2}} \big(2x+3y\big) \mathrm{d}{y} \, \mathrm{d}{x} &=2\iint_\mathcal{R} x\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} +3\iint_\mathcal{R} y\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=2\,\bar x\, \text{Area}(\mathcal{R}) +3\,\bar y\, \text{Area}(\mathcal{R}) =2\pi \end{align*}\]

Momento de inercia

Considera una placa que llene la región\(\mathcal{R}\) en el\(xy\) plano, que tenga densidad de masa\(\rho(x,y)\,\text{kg}/\text{m}^2\text{,}\) y que esté girando\(\omega\,\text{rad}/\text{s}\) alrededor de algún eje. Llamemos al eje de rotación Ahora\(\mathcal{A}\text{.}\) vamos a determinar la energía cinética de esa placa. Recordemos ² que, por definición, la energía cinética de una partícula puntual de masa\(m\) que se mueve con velocidad\(v\) es\(\frac{1}{2}mv^2\text{.}\)

Para obtener la energía cinética de toda la placa, córtala en pequeños rectángulos ³, digamos de tamaño\( \mathrm{d}{x} \times \mathrm{d}{y} \text{.}\) Piense en cada rectángulo como (esencialmente) una partícula puntual. Si el punto\((x,y)\) en la placa está a una\(D(x,y)\) distancia del eje de rotación\(\mathcal{A}\text{,}\) entonces a medida que la placa gira, el punto\((x,y)\) barre un círculo de radio\(D(x,y)\text{.}\) La figura a la derecha de abajo muestra ese círculo visto desde lo alto sobre el eje de rotación.

El arco circular que el punto\((x,y)\) barre en un segundo subtiende los\(\omega\) radianes angulares, que es la fracción\(\frac{\omega}{2\pi}\) de un círculo completo y así tiene longitud\(\frac{\omega}{2\pi}\big(2\pi D(x,y)\big)=\omega\,D(x,y)\text{.}\) Consecuentemente el rectángulo que contiene el punto\((x,y)\)

• tiene velocidad\(\omega\,D(x,y)\text{,}\) y
• tiene área\( \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\) y así
• tiene masa\(\rho(x,y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\) y
• tiene energía cinética

  \[ \frac{1}{2}\overbrace{\big(\rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \big)}^{m} \overbrace{(\omega\,D(x,y))^2}^{v^2} =\frac{1}{2}\omega^2\ D(x,y)\,^2\rho(x,y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

Entonces (a través de nuestro procedimiento habitual de límite de suma de Riemann) la energía cinética de\(\mathcal{R}\) es

\[ \iint_\mathcal{R} \frac{1}{2}\omega^2\ D(x,y)^2\,\rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\frac{1}{2}\omega^2 \iint_\mathcal{R} \ D(x,y)^2\,\rho(x,y)\, \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} =\frac{1}{2} I_\mathcal{A}\,\omega^2 \nonumber \]

donde

Definición 3.3.13. Momento de inercia

\[ I_\mathcal{A}=\iint_\mathcal{R} D(x,y)^2\rho(x,y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

se llama el momento de inercia de\(\mathcal{R}\) alrededor del eje\(\mathcal{A}\text{.}\) En particular el momento de inercia de\(\mathcal{R}\) alrededor del\(y\) eje es

\[ I_y=\iint_\mathcal{R} x^2\,\rho(x,y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

y el momento de inercia de\(\mathcal{R}\) alrededor del\(x\) eje es

\[ I_x=\iint_\mathcal{R} y^2\,\rho(x,y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

Observe que la expresión\(\frac{1}{2} I_\mathcal{A}\,\omega^2\) de la energía cinética tiene una forma muy similar a\(\frac{1}{2} m v^2\text{,}\) solo con la velocidad\(v\) reemplazada por la velocidad angular\(\omega\text{,}\) y con la masa\(m\) reemplazada por la\(I_\mathcal{A}\text{,}\) cual se puede pensar que es un poco como una masa.

Hasta el momento, hemos estado asumiendo que la rotación se estaba dando en el\(xy\) -plano- un mundo bidimensional. Nuestro análisis se extiende naturalmente a tres dimensiones, aunque las fórmulas integrales resultantes para el momento de inercia serán entonces triples integrales, que aún no hemos tratado. Pronto lo haremos, pero primero hagamos un ejemplo en dos dimensiones.

Ejemplo 3.3.14. Disco

Encuentra el momento de inercia del interior,\(\mathcal{R}\text{,}\) del círculo\(x^2+y^2=a^2\) alrededor del\(x\) eje -eje. Supongamos que tiene densidad uno.

Solución

La distancia desde cualquier punto\((x,y)\) dentro del disco hasta el eje de

rotación (es decir, el\(x\) -eje) es\(|y|\text{.}\) Así que el momento de inercia del interior del disco alrededor del\(x\) eje es

\[ I_x = \iint_\mathcal{R} y^2\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber \]

Cambiando a coordenadas polares ⁴,

\[\begin{align*} I_x &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{a}\mathrm{d}r\ r \overbrace{(r\sin\theta)^2}^{y^2} = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \sin^2\theta\int_0^a\mathrm{d}r\ r^3\\ &=\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \sin^2\theta =\frac{a^4}{4} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{1-\cos(2\theta)}{2}\\ &=\frac{a^4}{8} \left[\theta-\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_0^{2\pi}\\ &=\frac{1}{4}\pi a^4 \end{align*}\]

Para una manera eficiente, furtiva, de evaluar\(\int_0^{2\pi} \sin^2\theta\ \mathrm{d}{\theta} \text{,}\) ver Observación 3.3.5.

Ejemplo 3.3.15. Cardioide

Encuentra el momento de inercia del interior,\(\mathcal{R}\text{,}\) del cardiod\(r=a(1+\cos\theta)\) alrededor del\(z\) eje. Supongamos que el cardiod se encuentra en el\(xy\) plano -y tiene densidad uno.

Solución

Se esbozó el cardiod (con\(a=1\)) en el Ejemplo 3.2.3.

Como dijimos anteriormente, la fórmula para\(I_\mathcal{A}\) en la Definición 3.3.13 es válida incluso cuando el eje de rotación no está contenido en el\(xy\) plano -plano. Solo tenemos que estar seguros de que nuestro\(D(x,y)\) realmente es la distancia desde\((x,y)\) el eje de rotación. En este ejemplo el eje de rotación es el\(z\) -eje para que\(D(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) y que el momento de inercia sea

\[ I_\mathcal{A} = \iint_\mathcal{R} (x^2+y^2)\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber \]

Cambiar a coordenadas polares, usando\( \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} =r\,\mathrm{d}r \mathrm{d}{\theta} \) y\(x^2+y^2=r^2\text{,}\)

\[\begin{align*} I_\mathcal{A} &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \int_0^{a(1+\cos\theta)}\mathrm{d}r\ r\times r^2 = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \int_0^{a(1+\cos\theta)}\mathrm{d}r\ r^3\\ &=\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \big(1+\cos\theta\big)^4\\ &=\frac{a^4}{4}\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \big(1+4\cos\theta+6\cos^2\theta+4\cos^3\theta+\cos^4\theta\big) \end{align*}\]

Ahora

\[\begin{align*} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \cos\theta &= \sin\theta\Big|_0^{2\pi} =0\\ \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \cos^2\theta &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{1+\cos(2\theta)}{2} = \frac{1}{2}\left[\theta+\frac{\sin(2\theta)}{2}\right]_0^{2\pi} =\pi\\ \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \cos^3\theta &= \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \cos\theta\big[1-\sin^2\theta\big] \overset{u=\sin\theta}{\implies} \int_0^0\mathrm{d}u\ (1-u^2) =0 \end{align*}\]

Para integrar\(\cos^4\theta\text{,}\) utilizamos la fórmula de doble ángulo

\[\begin{align*} \cos^2\theta &=\frac{\cos(2\theta)+1}{2}\\ \implies \cos^4\theta &= \frac{\big(\cos(2\theta)+1\big)^2}{4} =\frac{\cos^2(2\theta)+2\cos(2\theta)+1}{4}\\ &=\frac{\frac{\cos(4\theta)+1}{2}+2\cos(2\theta)+1}{4}\\ &=\frac{3}{8} +\frac{1}{2}\cos(2\theta) +\frac{1}{8}\cos(4\theta) \end{align*}\]

para dar

\[\begin{align*} \int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \cos^4\theta &=\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \left[\frac{3}{8} +\frac{1}{2}\cos(2\theta) +\frac{1}{8}\cos(4\theta)\right]\\ &=\frac{3}{8} \times 2\pi +\frac{1}{2}\times 0 +\frac{1}{8}\times 0 =\frac{3}{4}\pi \end{align*}\]

Todos juntos

\[\begin{align*} I_\mathcal{A}&= \frac{a^4}{4}\left[2\pi + 4\times 0 +6\times\pi+4\times 0 +\frac{3}{4}\pi\right]\\ &=\frac{35}{16}\pi a^4 \end{align*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

Para cada una de las siguientes, evalúe la doble integral dada sin usar iteración. En cambio, interpretar la integral en términos de, por ejemplo, áreas o valores promedio.

1. \(\iint_D(x+3)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \text{,}\)donde\(D\) esta el medio disco\(0\le y\le \sqrt{4-x^2}\)
2. \(\iint_R (x+y)\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \)donde\(R\) esta el rectángulo\(0\le x\le a,\ 0\le y\le b\)

Etapa 2

2. ✳

Encuentra el centro de masa de la región\(D\) en el\(xy\) plano —definido por las desigualdades\(x^2 \le y \le 1\text{,}\) asumiendo que la función de densidad de masa viene dada por\(\rho(x,y) = y\text{.}\)

3. ✳

Que R sea la región delimitada a la izquierda por\(x = 1\) y a la derecha por\(x^2 + y^2 = 4\text{.}\) La densidad en\(R\) es

\[ \rho(x,y) =\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber \]

1. Esbozar la región\(R\text{.}\)
2. Encuentra la masa de\(R\text{.}\)
3. Encuentra el centro de masa de\(R\text{.}\)

Nota: Puedes usar el resultado\(\int \sec(\theta)\ \mathrm{d}{\theta} = \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C\text{.}\)

4. ✳

Una placa delgada de densidad uniforme\(1\) está delimitada por el positivo\(x\) y\(y\) los ejes y el cardioide\(\sqrt{x^2+y^2}=r=1+\sin\theta\text{,}\) que se da en coordenadas polares. Encuentra la\(x\) coordenada —de su centro de masa.

5. ✳

Una placa delgada de densidad uniforme\(k\) está delimitada por el positivo\(x\) y\(y\) los ejes y el círculo\(x^2 + y^2 = 1\text{.}\) Encuentra su centro de masa.

6. ✳

Dejar\(R\) ser el triángulo con vértices\((0, 2)\text{,}\)\((1, 0)\text{,}\) y\((2, 0)\text{.}\) Let\(R\) have densidad\(\rho(x, y) = y^2\text{.}\) Encuentra\(\bar y\text{,}\) la\(y\) —coordenada del centro de masa de No\(R\text{.}\) necesitas encontrar\(\bar x\text{.}\)

7. ✳

La distancia promedio de un punto en una región de plano\(D\) a un punto\((a, b)\) se define por

\[ \frac{1}{A(D)}\iint_D \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \nonumber \]

donde\(A(D)\) esta el área del plano region\(D\text{.}\) Let\(D\) be the unit disk\(1 \ge x^2 + y^2\text{.}\) Encuentra la distancia promedio de un punto en\(D\) al centro de\(D\text{.}\)

8. ✳

Se obtiene una media luna metálica retirando el interior del círculo definido por la ecuación\(x^2 + y^2 = x\) de la placa metálica de densidad constante 1 ocupando el disco unitario\(x^2 + y^2 \le 1\text{.}\)

1. Encuentra la masa total de la media luna.
2. Encuentra la\(x\) coordenada de su centro de masa.

Puede usar el hecho de que\(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4(\theta)\ \mathrm{d}{\theta} =\frac{3\pi}{8}\text{.}\)

9. ✳

\(D\)Sea la región en el\(xy\) plano —que está dentro del círculo\(x^2+(y-1)^2=1\) pero fuera del círculo\(x^2+y^2=2\text{.}\) Determinar la masa de esta región si la densidad viene dada por

\[ \rho(x,y)=\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}} \nonumber \]

Etapa 3

10. ✳

Dejar\(a\text{,}\)\(b\) y\(c\) ser números positivos, y dejar que\(T\) sea el triángulo cuyos vértices son\((-a,0)\text{,}\)\((b,0)\) y\((0,c)\text{.}\)

1. Suponiendo que la densidad es constante en\(T\text{,}\) encontrar el centro de masa de\(T\text{.}\)
2. Las medianas de\(T\) son los segmentos de línea que unen un vértice del\(T\) punto medio del lado opuesto. Es un hecho bien conocido que las tres medianas de cualquier triángulo se encuentran en un punto, lo que se conoce como el centroide de\(T\text{.}\) Mostrar que el centroide de\(T\) es su centro de masa.

1. Hay una verdadera montaña Half-Dome en el Parque Nacional de Yosemite. Cuenta con\(a=1445\,\text{m} \text{.}\)
2. Si no te acuerdas, no te preocupes. No te mentiríamos. O compruébalo en Wikipedia. Tampoco te mentirían.
3. El número relativamente pequeño de “rectángulos” alrededor del límite de en realidad\(\mathcal{R}\) no serán rectángulos. Pero, como hemos visto en el opcional § " href="/sec_polars.html#sec_integral_error">3.2.4, todavía se pueden hacer las cosas rigurosas a pesar de que los rectángulos sean un poco blanditos alrededor de los bordes.
4. ¡Mira lo útiles que son!