1.2: Reparametrización

Hay invariablemente muchas formas de parametrizar una curva dada. Algo así trivialmente, siempre se puede sustituir\(t\) por, por ejemplo,\(3u\text{.}\) Pero también hay formas más sustanciales de reparametrizar curvas. A menudo paga para adaptar la parametrización utilizada a la aplicación de intereses. Por ejemplo, veremos en el siguiente par de secciones que muchas fórmulas de curva simplifican mucho cuando se usa la longitud del arco como parámetro.

Ejemplo 1.2.1

Aquí hay tres parametrizaciones diferentes del semicírculo\(x^2+y^2=r^2\text{,}\)\(y\ge 0\text{.}\)

• El primero usa el ángulo polar\(\theta\) como parámetro. Ya hemos visto, en el Ejemplo 1.0.1, la parametrización

  

  \[\begin{align*} &\vecs{r} _1(\theta) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)\\ &0\le \theta\le \pi \end{align*}\]

• El segundo utiliza\(x\) como parámetro. Solo resolviendo\(x^2+y^2=r^2\text{,}\)\(y\ge 0\) para\(y\) como una función de\(x\text{,}\) da\(y(x) = \sqrt{r^2-x^2}\) y así da la parametrización

  

  \[\begin{align*} &\vecs{r} _2(x) = \big(x\,,\,\sqrt{r^2-x^2}\,\big)\\ &-r\le x\le r \end{align*}\]

• El tercero usa la longitud del arco\((r,0)\) como parámetro. Hemos visto, en el Ejemplo 1.1.6, que la longitud del arco de\((r,0)\) a\(\vecs{r} _1(\theta)\) es justo\(s=r\theta\text{.}\) Así que el punto en el semicírculo que está\(s\) lejos de la longitud del arco\((r,0)\) es

  

  \[\begin{align*} &\vecs{r} _3(s) = \vecs{r} _1\Big(\frac{s}{r}\Big)\\ &= \Big(r\cos\frac{s}{r}\,,\,r\sin\frac{s}{r}\Big)\\ &0\le s\le \pi r \end{align*}\]

Veremos que, para algunos fines, es conveniente utilizar parametrización por longitud de arco. Aquí hay un ejemplo más desmesurado en el que reparametrizamos una curva para usar la longitud del arco como parámetro.

Ejemplo 1.2.2

Vimos en el Ejemplo 1.1.9, que, como\(t\) va de\(0\) a\(\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t) = a \cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\sin^3t\,\hat{\pmb{\jmath}}\) corre de\((a,0)\) a\((0,a)\) lo largo del astroide\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\) Supongamos que queremos una nueva parametrización\(\textbf{R}(s)\) elegida de manera que, como\(s\) va de\(0\) a algún valor apropiado,\(\textbf{R}(s)\) corre de\((a,0)\) a\((0,a)\) junto\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}\) con\(s\) ser la longitud del arco de\((a,0)\) a\(\textbf{R}(s)\) lo largo\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\)

Vimos, en el Ejemplo 1.1.9, que, para\(0\le t\le \frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\dfrac{ds}{dt}=\frac{3a}{2}\sin(2t)\) que la longitud del arco de\((a,0)=\vecs{r} (0)\) a\(\vecs{r} (t)\) sea

\[ s(t) = \int_0^t\frac{3a}{2}\sin(2t')\,\text{d}t' =\frac{3a}{4}\big[1-\cos(2t)\big] \nonumber \]

que va de\(0\text{,}\)\(t=0\text{,}\) a\(\frac{3a}{2}\text{,}\) en\(t=\frac{\pi}{2}\text{.}\) Esto es relativamente limpio y podemos invertir\(s(t)\) para encontrar\(t\) como una función de\(s\text{.}\) El valor,\(T(s)\text{,}\) de\(t\) eso corresponde a cualquier dado\(0\le s\le\frac{3a}{2}\) está determinado por

\[ s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]\qquad \iff\qquad T(s)=\frac{1}{2}\arccos\Big(1-\frac{4s}{3a}\Big) \nonumber \]

y

\[ \textbf{R}(s) = \vecs{r} \big(T(s)\big) = a\cos^3\big(T(s)\big)\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 \big(T(s)\big)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Podemos simplificar\(\cos^3\big(T(s)\big)\) y simplemente\(\sin^3\big(T(s)\big)\) usando identidades trigonométricas para convertir el\(\cos\big(2T(s)\big)\) in\(s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]\) en\(\cos\big(T(s)\big)\)'s y\(\sin\big(T(s)\big)\)'s.

\[\begin{align*} s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(2\cos^2\big(T(s)-1\big)\big]\\ &\iff \cos^2\big(T(s)\big)=1-\frac{2s}{3a}\\ s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(1-2\sin^2\big(T(s)\big)\big]\\ &\iff \sin^2\big(T(s)\big)=\frac{2s}{3a} \end{align*}\]

En consecuencia, la parametrización deseada es

\[ \textbf{R}(s) = a\left[1-\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\imath}} + a\left[\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\jmath}} \qquad 0\le s \le \frac{3a}{2} \nonumber \]

lo cual es notablemente sencillo.

Ejercicios

Etapa 1

1

Una curva\(\vecs{r} (s)\) se parametriza en términos de arclength. ¿Qué es\(\displaystyle\int_1^t |\vecs{r} '(s)|\,\text{d}s\) cuando\(t \ge 1\text{?}\)

2

La función

\[ \vecs{r} (s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

se parametriza en términos de arclength, a partir del punto\(P\text{.}\) ¿Qué es\(P\text{?}\)

3

Una curva\(\textbf{R}=\textbf{a}(t)\) se reparametriza en términos de longitud de arco como\(\textbf{R}=\textbf{b}(s)=\textbf{a}(t(s))\text{.}\) De las siguientes opciones, que mejor describe la relación entre los vectores\(\textbf{a}'(t_0)\) y\(\textbf{b}'(s_0)\text{,}\) donde\(t(s_0)=t_0\text{?}\)

Usted puede asumir\(\textbf{a}'(t)\) y\(\textbf{b}'(s)\) existir y son distintos de cero para todos\(t,s\ge0\text{.}\)

1. son paralelos y apuntan en la misma dirección
2. son paralelos y apuntan en direcciones opuestas
3. ellos son perpendiculares
4. tienen la misma magnitud
5. ellos son iguales

Etapa 2

4 ✳

1. Let

   \[ \vecs{r} (t) = (2 \sin^3 t , 2\cos^3 t, 3 \sin t \cos t) \nonumber \]

   Encuentra el vector tangente unitario a esta curva parametrizada\(t = \pi/3\text{,}\) apuntando en la dirección de aumento\(t\text{.}\)
2. Reparametrizar la función vectorial\(\vecs{r} (t)\) a partir de (a) con respecto a la longitud del arco medida desde el punto\(t = 0\) en la dirección de aumento\(t\text{.}\)

5 ✳

Este problema es sobre la espiral logarítmica en el plano

\[ \vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t),\qquad t \in \mathbb{R} \nonumber \]

1. Encuentra la longitud del arco de la pieza de esta espiral que está contenida en el círculo unitario.
2. Reparametrizar la espiral logarítmica con respecto a la longitud del arco, medida a partir de\(t = -\infty\text{.}\)

Etapa 3

6

Definir

\[ \vecs{r} (t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}}, \arctan t\right) \nonumber \]

para\(0 \le t\text{.}\) Reparametrizar la función usando\(z=\arctan t\text{,}\) y describir la curva que define. Cuál es la interpretación geométrica del nuevo parámetro\(z\text{?}\)

7

Reparametrizar la función\(\vecs{r} (t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\) en términos de arclength de\(t=-1\text{.}\)