1.3: Curvatura

Hasta el momento, cuando hemos querido aproximar una curva complicada por una curva simple cerca de algún punto, dibujamos la línea tangente a la curva en el punto. Eso es bastante crudo. En particular, las líneas tangentes son rectas, no se curvan. Tendremos una idea mucho mejor de cómo es la curva complicada si la aproximamos, localmente, por una “curva curvilínea” muy simple en lugar de por una línea recta. Probablemente la “curva curvilínea” más simple es un círculo ¹ y eso es lo que usaremos.

Definición 1.3.1

1. El círculo que mejor se aproxima a una curva dada cerca de un punto dado se denomina círculo de curvatura o círculo osculante ² en el punto.
2. El radio del círculo de curvatura se llama radio de curvatura en el punto y normalmente se denota\(\rho\text{.}\)
3. La curvatura en el punto es\(\kappa=\frac{1}{\rho}\text{.}\)
4. El centro del círculo de curvatura se llama centro de curvatura en el punto.

Estas definiciones se ilustran en la siguiente figura. Muestra (parte de) el círculo osculante en el punto\(P\text{.}\) El punto\(C\) es el centro de curvatura.

Tenga en cuenta que cuando la curvatura\(\kappa\) es grande, el radio de curvatura\(\rho\) es pequeño y tenemos una curva muy curvilínea. Por otro lado, cuando la curvatura\(\kappa\) es pequeña, el radio de curvatura\(\rho\) es grande y nuestra curva es casi recta. En particular, las líneas rectas tienen curvatura exactamente cero.

Ahora vamos a determinar cómo encontrar el círculo de curvatura, comenzando por averiguar cuál debería ser su radio. Primero veremos las curvas ³ que se encuentran en el\(xy\) plano -y luego pasaremos a las curvas en 3d. Considera la curva negra en la siguiente figura.

Esa figura también contiene un (porción de un) círculo rojo que se ajusta muy bien a la curva entre las dos líneas radiales que están\(\text{d}\theta\) separadas (un ángulo muy pequeño). Entonces, la longitud del arco\(\text{d}s\) de la parte de la curva negra entre las dos líneas radiales, debería ser (esencialmente) la misma que la longitud del arco del círculo entre las dos líneas radiales, que\(\rho\) es\(\rho\,|\text{d}\theta|\text{,}\) donde está el radio del círculo. (Ponemos en valores absolutos para tomar en cuenta la posibilidad de que\(\text{d}\theta\) pudiera ser negativa.) Así\(\text{d}s = \rho\,|\text{d}\theta|\text{.}\) Cuando\(\text{d}\theta\) es un ángulo macroscópico, esto es por supuesto una aproximación. Pero en el límite como\(\text{d}\theta\rightarrow 0\text{,}\) deberíamos terminar con

\[ \rho = \left|\dfrac{ds}{d\theta}\right| \nonumber \]

Ahora tenemos una fórmula para el radio de curvatura, pero no en una forma muy conveniente, ya que para evaluarlo necesitaríamos conocer la longitud del arco a lo largo de la curva en función del ángulo\(\theta\) en la figura más a la derecha de abajo. Ahora dedicaremos algún tiempo a desarrollar fórmulas más convenientes para\(\rho\text{.}\) Primero considere las tres cifras a continuación. Todos muestran la misma curva que en la última figura. La figura más a la izquierda solo muestra

• la curva de interés, que es la curva negra, y
• el punto de interés (azul) en la curva negra. Queremos encontrar la curvatura en ese punto.

La figura media muestra la misma curva y punto de interés y también muestra

• el círculo rojo de curvatura (es decir, el círculo de mejor ajuste) para la curva negra en el punto azul.
• El punto rojo es el centro de curvatura.

La figura más a la derecha muestra la misma curva negra, el punto azul de interés y el círculo rojo de curvatura (al menos parte de él) algo agrandados.

• El ángulo\(\theta\) es el ángulo entre\(\hat{\pmb{\imath}}\) y el radio vector desde el punto rojo (el centro de curvatura) hasta el punto azul (el punto de interés).
• \(\hat{\textbf{T}}\)es el vector tangente a la curva negra en el punto azul.
• El ángulo\(\phi\) es el ángulo entre\(\hat{\pmb{\imath}}\) y\(\hat{\textbf{T}} \text{.}\) El vector también\(\hat{\textbf{T}}\) es tangente al círculo rojo. Como los vectores tangente y radio para los círculos son perpendiculares entre sí ⁴, tenemos eso\(\phi=\theta+\frac{\pi}{2}\) y por lo tanto\(\rho = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|\) también.

Ahora estamos en condiciones de desarrollar un montón de fórmulas para el radio de curvatura\(\rho\) y la curvatura\(\kappa=\frac{1}{\rho}\text{,}\) que son más convenientes que\(\kappa = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|^{-1}\text{.}\) Estas fórmulas utilizarán el

Definición 1.3.2

Si\(\vecs{r} (t)\) es una curva parametrizada, entonces

• \(\vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\)es el vector de velocidad en\(\vecs{r} (t)\)
• \(\textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \)es el vector de aceleración en\(\vecs{r} (t)\)
• \(\hat{\textbf{T}}(t)\)es el vector tangente unitario a la curva en\(\vecs{r} (t)\) esos puntos en la dirección de aumento\(t\text{.}\)
• \(\hat{\textbf{N}}(t)\)es el vector normal unitario a la curva en\(\vecs{r} (t)\) ese punto hacia el centro de curvatura.
• \(\kappa (t)\)es la curvatura en\(\vecs{r} (t)\)
• \(\rho(t)\)es el radio de curvatura en\(\vecs{r} (t)\)

Teorema 1.3.3

1. Dado ⁵\(s(\phi)\text{,}\) es decir, si conocemos la longitud del arco a lo largo de la curva como una función del ángulo ⁶\(\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}} )\text{,}\) entonces

   \[ \rho = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|\qquad \kappa = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|^{-1}\qquad \kappa = \left|\dfrac{d\phi}{ds}\right| \nonumber \]

2. Dado\(\vecs{r} (s)\text{,}\) i.e. Si tenemos una parametrización de la curva en términos de longitud de arco, entonces

   \[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber \]

   donde\(\hat{\textbf{N}}(s)\) es el vector normal de la unidad a la curva en\(\vecs{r} (s)\) ese punto hacia el centro de curvatura.
3. Dado\(\vecs{r} (t)\text{,}\) i.e. Si tenemos una curva parametrizada general, entonces

   \[\begin{gather*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}}\qquad \vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \qquad \textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2\hat{\textbf{N}} \end{gather*}\]

4. Dado\(\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}\) (para curvas en el\(xy\) plano -)

   \[ \kappa = \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

5. Dado\(y(x)\text{,}\) (de nuevo para las curvas en el\(xy\) plano -)

   \[ \kappa =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

Prueba

(a) Dado\(s(\phi)\text{,}\) entonces

\[ \rho = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|\qquad \kappa = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|^{-1} \nonumber \]

Como estamos suponiendo que\(0 \lt \rho=\Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big| \lt \infty\text{,}\) el teorema de la función inversa dice que podemos invertir la función\(s(\phi)\) (al menos localmente) para obtener\(\phi\) como una función de\(s\text{,}\) y que

\[ \kappa = \Big|\dfrac{d\phi}{ds}\Big| \nonumber \]

(b) Dado\(\vecs{r} (s)\text{,}\) entonces, por Lema 1.1.4.c,\(\hat{\textbf{T}}(s) = \vecs{r} '(s)\) es una unidad tangente a la curva en\(\vecs{r} (s)\) y

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} \tag{$*$} \nonumber \]

Ahora hasta un signo\(\dfrac{d\phi}{ds}\) es\(\kappa\text{,}\) y solo porque\(\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})\text{,}\) con\(\hat{\textbf{T}}\) un vector de unidad,

\[ \begin{split} \hat{\textbf{T}} &=\cos\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \\ \implies \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}&= -\sin\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{split} \tag{$**$} \nonumber \]

Así\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}\) es un vector unitario que es perpendicular ⁷ a\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\) y por lo tanto a la curva en\(\vecs{r} (s)\text{,}\) y

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \tag{$\dagger$} \nonumber \]

con\(\hat{\textbf{N}}(s)\) un vector normal unitario a la curva\(\vecs{r} (s)\text{.}\) en De hecho,\(\hat{\textbf{N}}(s)\) es el vector normal unitario a la curva en\(\vecs{r} (s)\) esos puntos hacia el centro de curvatura.

Para ver eso, mire las cifras a continuación ⁸, y anote que sustituyendo la información del signo de cada figura por (\(*\)) da (\(\dagger\)). Por ejemplo,

considerar la figura en la parte inferior izquierda. En esa cifra,

• el\(x\) componente de\(\hat{\textbf{T}}\) es negativo (\(\hat{\textbf{T}}\)está apuntando hacia la izquierda en la figura),
  • lo que hace\(\cos\phi\) negativo (véase (\(**\))),
  • lo que hace que el\(y\) componente de\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}\) negativo (vea (\(**\)) otra vez),
  • así\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}\) es apuntando hacia abajo,

  entonces\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}=-\hat{\textbf{N}}\) (el centro de curvatura es el punto rojo por encima de la curva) y

• a medida que\(s\) aumenta (es decir, a medida que se mueve en la dirección de la flecha en la curva),\(\phi\) disminuye (en la parte más a la derecha de la curva\(\phi\approx\frac{3\pi}{2}\text{,}\) mientras que en la parte extrema izquierda de la curva\(\phi\approx\pi\)), así\(\dfrac{d\phi}{ds} \lt 0\) y\(\kappa = \big|\dfrac{d\phi}{ds}\big| = - \dfrac{d\phi}{ds}\text{.}\)
• Así que por (\(*\)),\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} =\big(-\hat{\textbf{N}})(-\kappa) = \kappa\hat{\textbf{N}}\text{.}\)

En cada una de las otras tres figuras también terminamos con\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)

Tenga en cuenta que si\(\kappa(s)=0\text{,}\) entonces no\(\hat{\textbf{N}}(s)\) está definido. Esto tiene sentido: si la curva es (localmente) una línea recta, no hay un “círculo de mejor ajuste”.

(c) Dado\(\vecs{r} (t)\text{,}\) es decir, si tenemos una curva parametrizada general, podemos determinar un vector tangente unitario usando Lemma 1.1.4:

\[ \vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \quad\implies\quad \hat{\textbf{T}} (t) = \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]

Entonces podemos determinar\(\kappa\) y\(\hat{\textbf{N}}\) diferenciando\(\hat{\textbf{T}} (t)\) y usando la regla de la cadena:

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}} \quad\implies\quad \kappa(t) = \frac{|\hat{\textbf{T}} '(t)|}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]

Además, si\(\vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{T}} (t)\text{,}\) diferenciamos conseguimos que la aceleración

\[ \textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}{t} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \dfrac{ds}{dt}\,\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}+ \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}} \nonumber \]

(d) Dado\(\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}\) (para curvas en el\(xy\) plano -), podemos leer la curvatura de

\[\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &=\Big(\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)\Big)\times \Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \qquad\text{(since }\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{T}} =\vecs{0} \end{align*}\]

Piense en\(\hat{\textbf{T}} \) y\(\hat{\textbf{N}}\) como vectores 3d aquellos cuyos\(z\) -componentes resultan ser cero. Como\(\hat{\textbf{T}} \) y\(\hat{\textbf{N}}\) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares en el\(xy\) plano, el producto cruzado\(\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{N}}\) será cualquiera\(+\hat{\mathbf{k}}\) o\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) En ambos casos,\(|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big| = \kappa\big|\dfrac{ds}{dt}\big|^3\text{.}\) So

\[\begin{align*} \kappa &= \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\hat{\pmb{\imath}}+\dfrac{dy}{dt}\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\imath}}+\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\jmath}}\big]} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big]\hat{\mathbf{k}}} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \end{align*}\]

(e) Dado de\(y(x)\text{,}\) nuevo para las curvas en el\(xy\) plano -, podemos parametrizar la curva usando\(x\) como parámetro:

\[ \vecs{r} (t) = \big(X(t)\,,\,Y(t)\big) \qquad\text{with $X(t)=t$ and $Y(t) =y(t)$} \nonumber \]

Entonces

\[ \dfrac{dX}{dt} = 1 \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}} = 0 \qquad \dfrac{dY}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} \nonumber \]

y

\[ \kappa =\frac{\big|\dfrac{dX}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dY}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dX}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dY}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

Eche otro vistazo al Teorema 1.3.3 y tenga en cuenta que

• el componente tangencial de la aceleración, es decir,\(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\text{,}\) surge puramente del cambio en la velocidad mientras
• el componente normal de la aceleración, es decir,\(\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\text{,}\) surge de la curvatura y es proporcional al cuadrado de la velocidad\(\dfrac{ds}{dt}\text{.}\) Piensa en lo que sientes al conducir. Es por eso que los velódromos y las pistas de carreras (de autos) suelen tener esquinas bancadas.

Ejemplo 1.3.4

Como ejemplo de calentamiento, y también una comprobación de que nuestras fórmulas tienen sentido, encontraremos el\(\kappa\text{,}\) radio de curvatura, el vector tangente\(\rho\text{,}\) unitario, el vector normal\(\hat{\textbf{T}} \text{,}\) unitario\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\) y el centro de curvatura de la curva parametrizada

\[ \vecs{r} (t) = a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

con la constante\(a \gt 0\text{.}\) Esto es, por supuesto, el círculo de radio\(a\) centrado en el origen. Como

\[ \vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \implies \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = a \nonumber \]

tenemos que la unidad tangente vector

\[ \vecs{T} (t) = \frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Obsérvese, como comprobación, que éste es de hecho un vector de longitud uno y es perpendicular al vector de radio (como se esperaba — la curva es un círculo). Como

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)= -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

tenemos eso

\[\begin{align*} \hat{\textbf{N}}(t) &= \frac{\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)}{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|} = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \kappa(t) &= \frac{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|}{\dfrac{ds}{dt}(t)} =\frac{1}{a}\\ \rho(t)&=\frac{1}{\kappa(t)} =a \end{align*}\]

Ahora mira la figura.

Para llegar al centro de curvatura debemos partir\(\vecs{r} (t)\) y caminar una distancia\(\rho(t)\text{,}\) que después de todo es el radio de curvatura, en la dirección\(\hat{\textbf{N}}(T)\text{,}\) que apunta hacia el centro de curvatura. Entonces el centro de curvatura es

\[ \vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t) =\big[a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] +a\big[-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] = \vecs{0} \nonumber \]

Esto tiene perfectamente sentido: el radio de curvatura es el radio del círculo original y el centro de curvatura es el centro del círculo original.

Una alternativa de cálculo de la curvatura, utilizando\(x(t) = a\cos t \text{,}\)\(y(t)=a\sin t\text{,}\) es

\[\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}}\\ &=\frac{\big| -a\sin t\big(-a\sin t\big)-a\cos t\big(-a\cos t\big) \big|}{\big[\big(-a\sin t\big)^2 +\big(a\cos t\big)^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}\]

Otro cálculo alternativo de la curvatura, utilizando\(y(x) =\sqrt{a^2-x^2}\) (para la parte del círculo con\(y \gt 0\)),

\[\begin{align*} y'(x) &= -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{x}{y(x)} \\ y''(x) &= -\frac{y(x) - xy'(x)}{y(x)^2} = -\frac{y(x)^2 + x^2}{y(x)^3} = -\frac{a^2}{y(x)^3} \end{align*}\]

es

\[\begin{align*} \kappa(x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\frac{a^2}{y(x)^3}} {\Big[1+\frac{x^2}{y(x)^2}\Big]^{3/2}} =\frac{a^2}{\big[y(x)^2+x^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}\]

Ejemplo 1.3.5

Como ejemplo más involucrado computacionalmente, analizaremos

\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= \big(\cos t + t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t-t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \qquad t \gt 0\\ \vecs{v} (t) &= t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \textbf{a}(t) &= \big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Podemos leer fuera de\(\vecs{v} (t)\text{,}\) eso

\[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}(t) &= |\vecs{v} (t)| =t\\ \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t) &= 1\\ \vecs{T} (t)&=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

A continuación, de\(\textbf{a}(t)\text{,}\) leemos eso

\ begin {alinear*}\ textbf {a} (t) &=\ grande (\ cos t - t\ sin t\ grande)\ sombrero {\ pmb {\ imath}} +\ grande (\ sin t+t\ cos t\ grande)\ hat {\ pmb {\ jmath}}\ qquad\ text {y}\\ textbf {a} (t) &= frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t^ {2}} (t)\,\ hat {\ textbf {T}} (t) +\ kappa (t)\ izquierda (\ dfrac {ds} {dt} (t)\ derecha) ^2\ hat {\ textbf {N}} (t)\\ end align{ *}

(por Teorema 1.3.3 .c)

\ begin {align*} &=\ cos t\,\ hat {\ pmb {\ imath}} +\ sin t\,\ hat {\ pmb {\ jmath}} +t^2\ kappa (t)\ hat {\ textbf {N}} (t)\\ implica t^2\ kappa (t)\ hat {\ textbf {N}} (t) &= - t\ sin t\,\ sombrero {\ pmb {\ imath}} + t\ cos t\,\ sombrero {\ pmb {\ jmath}}\ end {align*}

así que esa\(t^2\kappa(t)\) es la longitud de la\(- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) cual es\(t\text{.}\) Así

\[\begin{gather*} \kappa(t) = \frac{1}{t} \quad\text{and}\quad \hat{\textbf{N}}(t)= \frac{- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}}{t^2\kappa(t)} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Como alternativa de cálculo de la curvatura, tenemos

\[\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}}\big]\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\big(\sin t+t\cos t\big) -t\sin t\big(\cos t - t\sin t\big)\big]\hat{\mathbf{k}}\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{|t^2\hat{\mathbf{k}}|}{t^3} =\frac{1}{t} \end{align*}\]

¡Paga pensar antes de calcular!

Ejercicios

Etapa 1

Hay muchas constantes en este capítulo que podrían ser nuevas para ti. A ellos les puede tomar un poco acostumbrarse. Las preguntas 1.3.1.1-1.3.1.5 proporcionan práctica trabajando e interpretando estas constantes y sus relaciones entre sí.

1

Esbozar la curva\(\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}\) En la\((0,3)\text{,}\) etiqueta de punto\(\hat{\textbf{T}}\) y\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\) Dar los valores de\(\kappa\) y\(\rho\) en este punto también.

2

Considera el círculo\(\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}\) Encontrar\(\hat{\textbf{T}}(t)\) y\(\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}\) Entonces, usa las partes (b) y (c) del Teorema 1.3.3 para encontrar\(\hat{\textbf{N}}(t)\) y\(\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)

3

El functon\(\vecs{r} (t)=(t\cos t, t\sin t)\text{,}\)\(t \ge 0\text{,}\) define una espiral centrada en el origen. Usando solo intuición geométrica (sin cálculo), predecir\(\displaystyle\lim_{t \to \infty}\kappa(t)\text{.}\)

4

Vamos\(\vecs{r} (t)=(e^t,3t,\sin t)\text{.}\) ¿Qué es\(\dfrac{ds}{dt}\text{?}\)

5

En la Pregunta 1.2.1.5 de la Sección 1.2, encontramos que la espiral

\[ \vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t) \nonumber \]

parametrizado en términos de arclongitud es

\[ \textbf{R}(s)=\frac{s}{\sqrt{2}}\left(\cos\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\,,\, \sin\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\right). \nonumber \]

Encuentra\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\) y\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}\) para esta curva.

6

En este ejercicio, hacemos más preciso el sentido en que el círculo osculante es el círculo que mejor se aproxima a una curva plana en un punto.

• Al trasladar y rotar nuestro sistema de coordenadas, siempre podemos disponer que el punto sea\((0,0)\) y que la curva esté\(y=f(x)\) con\(f'(0)=0\) y\(f''(0) \gt 0\text{.}\) (Estamos asumiendo que la curvatura en el punto es distinta de cero.)
• Dejar\(y=g(x)\) ser la mitad inferior del círculo de radio\(r\) que se centra en\((0,r)\text{.}\)

Mostrar que si\(f(x)\) y\(g(x)\) tienen la misma aproximación de Taylor de segundo orden en\(x=0\text{,}\) entonces\(r\) es el radio de curvatura de\(y=f(x)\) at\(x=0\text{.}\)

Etapa 2

7

Dada una curva\(\vecs{r} (t)=(e^t,t^2+t)\text{,}\) calcular las siguientes cantidades:

1. \(\displaystyle \vecs{v} (t)\)
2. \(\displaystyle \textbf{a}(t)\)
3. \(\displaystyle \dfrac{ds}{dt}\)
4. \(\displaystyle \hat{\textbf{T}}(t)\)
5. \(\displaystyle \kappa(t)\)

8

Encuentra la curvatura\(\kappa(t)\) de\(\vecs{r} (t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)\text{.}\)

9

Encuentra los valores mínimo y máximo para la curvatura de la elipse\(x(t)= a \cos t\text{,}\)\(y(t)=b\sin t\text{.}\) Aquí\(a \gt b \gt 0\text{.}\)

10 ✳

1. Encuentra la curvatura de\(y=e^x\) al\((0,1)\text{.}\)
2. Encuentra la ecuación del círculo que mejor se ajusta\(y=e^x\) en\((0,1)\text{.}\)

11 ✳

Considera el movimiento de una tachueta pegada en la banda de rodadura de una llanta que se encuentra en una bicicleta que se mueve a velocidad constante. Este movimiento viene dado por la curva parametrizada

\[ \vecs{r} (t) = \big(t - \sin t\,,\, 1 - \cos t\big) \nonumber \]

con\(t \gt 0\text{.}\)

1. Esbozar la curva en el\(xy\) plano para\(0 \lt t \lt 4\pi\text{.}\)
2. Encuentre y simplifique la fórmula para la curvatura\(\kappa(t)\text{.}\)
3. Encuentra el radio de curvatura del círculo osculante\(\vecs{r} (t)\) a\(t = \pi\text{.}\)
4. Encuentra la ecuación del círculo osculante\(\vecs{r} (t)\) a\(t = \pi\text{.}\)

Etapa 3

12

Encontrar la curvatura\(\kappa\) en función de la longitud del arco\(s\) (medida a partir de\((0,0)\)) para la curva

\[ x(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt \nonumber \]

13 ✳

Dejar\(C\) ser la curva en\(\mathbb{R}^2\) dada por la gráfica de la función\(y=\frac{x^3}{3}\text{.}\) Let\(\kappa(x)\) be la curvatura de\(C\) en el punto\((x, x^3/3)\text{.}\) Encuentra todos los puntos donde\(\kappa(x)\) alcanza sus valores máximos, o bien explicar por qué tales puntos no existen. ¿Cuáles son los límites de\(\kappa(x)\) como\(x \rightarrow \infty\) y\(x \rightarrow -\infty\text{?}\)

1. Los círculos son buenos para estudiar la “curvatura”, porque, a diferencia de las parábolas por ejemplo, la velocidad a la que se curva un círculo es uniforme sobre todo el círculo.
2. “Osculare” es el verbo latino “besar”. El matemático alemán Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1646—1716) nombró al círculo el “circulus osculans”.
3. También asumiremos que las curvas de interés son suaves, sin cúspides por ejemplo, y no rectas, de modo que el radio de curvatura\(0 \lt \rho \lt \infty\text{.}\)
4. Eso lo vimos en el Ejemplo 1.1.6.
5. La ecuación\(s=s(\phi)\) se llama la “ecuación intrínseca de la curva”.
6. La notación\(\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})\) significa “el ángulo entre\(\hat{\pmb{\imath}}\) y\(\hat{\textbf{T}}\)”.
7. Piensa por qué este debería ser el caso. En particular, bosquejar\(\hat{\textbf{T}}\)\(\phi\) y pensar en lo que dice el boceto sobre\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}\text{.}\)
8. En cada una de las cuatro figuras, la flecha en la curva especifica la dirección de la longitud del arco creciente\(s\) y el punto rojo es el centro de curvatura para la curva en el punto azul.