1.4: Curvas en Tres Dimensiones

Hasta el momento, hemos desarrollado fórmulas para la curvatura, vector tangente unitario, etc., en un punto$\vecs{r} (t)$ de una curva que se encuentra en el$xy$ plano. Ahora extendemos nuestra discusión a curvas en$\mathbb{R}^3\text{.}$ Fix any$t\text{.}$ Por$t'$ muy cerca de la$t\text{,}$$\vecs{r} (t')\text{,}$ voluntad, por la expansión Taylor a segundo orden, estar muy cerca de$\vecs{r} (t) + \vecs{r} '(t)\,(t'-t) +\frac{1}{2}\vecs{r} '(t)\,(t'-t)^2\text{,}$ así que$\vecs{r} (t')$ casi se encuentra en el plano a través de$\vecs{r} (t)$ eso está determinado por los dos vectores $\vecs{r} '(t)$y$\vecs{r} '(t)\text{.}$ así, si restringimos nuestra atención a una parte muy pequeña de la curva cerca del punto de interés$\vecs{r} (t)\text{,}$ la curva, a una muy buena aproximación se encontrará en algún plano. Así que todavía podemos definir, por ejemplo, el círculo osculante a la curva en$\vecs{r} (t)$ para ser el círculo en ese plano que mejor se ajuste a la curva cerca$\vecs{r} (t)\text{.}$ Y todavía tenemos las fórmulas ¹

$$\begin{align*} \vecs{v} &=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}=\dfrac{ds}{dt}\,\hat{\textbf{T}} \\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds} &= \kappa\hat{\textbf{N}}\\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} &= \kappa\dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{N}}\\ \textbf{a}&=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\\ \vecs{v} \times\textbf{a} &= \kappa \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \end{align*}$$

La única diferencia de ² es eso$\vecs{v} , \textbf{a}, \hat{\textbf{T}}$ y ahora$\hat{\textbf{N}}$ son tres vectores componentes en lugar de dos vectores componentes.

Si tenemos suerte y nuestra curva pasa a estar completamente en un solo plano, los vectores$\hat{\textbf{T}}(s)$ y$\hat{\textbf{N}}(s)$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares que se encuentran en el mismo plano, de manera que su producto cruzado$\hat{\textbf{B}}(s) =\hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)$ es un vector unitario que es perpendicular al plano. Por continuidad,$\hat{\textbf{B}}(s)$ tiene que ser un vector constante, es decir, ser independiente de$s\text{.}$

Si, por otro lado, no$\hat{\textbf{B}}(s)$ es constante, entonces nuestra curva no se encuentra en un solo plano, y podemos usar la derivada

$$\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} &=\dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}}\big) =\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\times\hat{\textbf{N}} +\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\\ &=\hat{\textbf{T}}\times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\qquad \Big( \text{since } \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} \text{ is parallel to } \hat{\textbf{N}} \Big) \end{align*}$$

como medida

• de lo mal que la curva no logra estar en un plano,
• es decir, cuánto$s$ aumenta el plano que mejor se ajusta a la curva cerca de$\vecs{r} (s)$ los giros,

El producto cruzado en$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}=\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}$ implica que$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}$ es perpendicular a$\hat{\textbf{T}}\text{.}$ Además,$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}$ debe ser perpendicular a$\hat{\textbf{B}}$ porque

$$|\hat{\textbf{B}}|=1 \implies 1=\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}} \implies 0 = \dfrac{d}{ds}\left[\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}}\right] = 2 \hat{\textbf{B}}\cdot\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} \nonumber$$

Así que$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)$ debe ser paralelo a$\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}$

Definición 1.4.1

1. El vector binormal at$\vecs{r} (s)$ es$\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times \hat{\textbf{N}}(s)\text{.}$ El vector normal a veces$\hat{\textbf{N}}(s)$ se llama el vector normal principal de la unidad para distinguirlo del vector binormal.
2. Definimos la torsión$\tau(s)$ por

   $$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber$$

   Se incluye el signo negativo para que$\tau(s) \gt 0$ indique “torsión diestra”. Habrá una explicación de lo que esto significa en el Ejemplo 1.4.4 a continuación.
3. El plano osculante en$\vecs{r} (s)$ (el plano que mejor se ajusta a la curva$\vecs{r} (s)$) es el plano pasante$\vecs{r} (s)$ con vector normal$\hat{\textbf{B}}(s)\text{.}$ La ecuación del plano es

   $$\hat{\textbf{B}}(s)\cdot\big\{(x,y,z)-\vecs{r} (s)\big\}=0 \nonumber$$

Para cada uno$s\text{,}$$\hat{\textbf{T}} (s)\text{,}$$\hat{\textbf{N}}(s)$ y$\hat{\textbf{B}}(s)$ son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Forman una base ortonormal para$\mathbb{R}^3\text{,}$ así como$\hat{\pmb{\imath}}\text{,}$$\hat{\pmb{\jmath}}$ y$\hat{\mathbf{k}}$ forman una base ortonormal para$\mathbb{R}^3\text{.}$ Además ambos$(\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))$ y$(\hat{\pmb{\imath}}\,,\,\hat{\pmb{\jmath}}\,,\,\hat{\mathbf{k}})$ son “triples diestros” ³, lo que significa que$\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)$ y$\hat{\mathbf{k}}=\hat{\pmb{\imath}}\times\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$

Ya hemos calculado$\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds}$ y ahora$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\text{.}$ es un asunto fácil de calcular

$$\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} &= \dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)\big)\\ &= -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s) +\hat{\textbf{B}}(s)\times\big(\kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\big)\\ &=\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\hat{\textbf{T}}(s) \end{align*}$$

Para ver eso$\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)=-\hat{\textbf{B}}(s)$ y$\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{N}}(s)=-\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}$ basta con mirar la figura de la derecha arriba.

Ahora supongamos que tenemos una curva que está parametrizada por$t$ en lugar de$s\text{.}$ cómo encontramos la torsión$\tau\text{?}$ El método más obvio es

• recordar eso$\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}$ y que$\hat{\textbf{B}}(t)$ es un vector de unidad. Entonces

  $$\hat{\textbf{B}}(t) = \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} \nonumber$$

• Habiendo encontrado$\textbf{B}(t)$ podemos diferenciarlo y usarlo$\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)$ y la regla de la cadena para dar

  $$\dfrac{d\textbf{B}}{dt} = \dfrac{d\textbf{B}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = -\tau\dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{B}} \nonumber$$

  de la que podemos leer$\tau\text{,}$ siempre que sepamos$\dfrac{ds}{dt}$ y$\hat{\textbf{N}}\text{.}$

Existe otro método, a menudo más eficiente, para encontrar la torsión$\tau$ que utiliza

$$\begin{align*} \dfrac{d\textbf{a}}{dt} &= \dfrac{d}{dt}\Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \frac{\mathrm{d}^{3}s}{\mathrm{d}t^{3}}\,\hat{\textbf{T}} +\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\dfrac{ds}{dt}\,\kappa\hat{\textbf{N}} +\dfrac{d}{dt}\Big(\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\Big)\hat{\textbf{N}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3 \big(\tau\hat{\textbf{B}}-\kappa\hat{\textbf{T}} \big) \end{align*}$$

Si bien esto parece un poco complicado, fíjese que, con una sola excepción, es decir,$\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)\text{,}$ cada término del lado derecho está en la dirección$\hat{\textbf{T}}$ o en la dirección$\hat{\textbf{N}}$ y así es perpendicular a$\hat{\textbf{B}}\text{.}$ Así, punteando con$\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}$ da

$$\begin{gather*} \big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} = \kappa^2 \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^6\,\tau = |\vecs{v} \times\textbf{a}|^2\,\tau \end{gather*}$$

y por lo tanto

$$\begin{gather*} \tau = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} \end{gather*}$$

Si se$\tau(s)$ conocen la curvatura ⁴$\kappa(s) \gt 0$ y la torsión, entonces el sistema de ecuaciones ⁵

Ecuación 1.4.2. Fórmulas de Frenet—Serret

$$\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}$$

es un sistema lineal de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias

$$\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}$$

para la función de valor de vector$9$ componente$(\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\text{.}$

Cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden

$$\dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s)\qquad \textbf{x}(0)=\textbf{x}_0 \nonumber$$

donde$\textbf{x}$ es un vector$n$ -componente y$M(s)$ es una$n\times n$ matriz con entradas continuas, tiene exactamente una solución. Si es$n=1\text{,}$ así eso$\textbf{x}(s)$ y$M(s)$ son solo funciones, esto es fácil de ver. Solo deja que$\mathcal{M}(s)$ sea el antiderivado de$M(s)$ eso obedece$\mathcal{M}(0)=0\text{.}$ Entonces

$$\begin{align*} \dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s) &\iff e^{-\mathcal{M}(s)}\dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) - M(s) e^{-\mathcal{M}(s)} \textbf{x}(s)=0\\ &\iff \dfrac{d}{ds}\Big(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)\Big) = 0 \end{align*}$$

según la regla del producto. Así$e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)$ es una constante independiente de$s\text{.}$ En particular$e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)=e^{-\mathcal{M}(0)}\textbf{x}(0)= \textbf{x}_0$ para que$\textbf{x}(s) = \textbf{x}_0 e^{\mathcal{M}(s)}\text{.}$ Este argumento pueda generalizarse a cualquier número natural$n\text{.}$ Pero eso está más allá del alcance de este libro.

Dado que las fórmulas de Frenet-Serret constituyen un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias para el vector$(\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))$ y dado que cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden tiene exactamente una solución,

• la función de valor vectorial$(\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))$ está determinada por las funciones$\kappa(s)$ y$\tau(s)$ (asumiendo que son continuas) junto con la condición inicial$(\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{.}$
• Además, una vez que sabes$\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}$, entonces$\vecs{r} (s)$ está determinado por$\vecs{r} (0)$ y$\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)=\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}$
• Entonces, cualquier curva suave$\vecs{r} (s)$ está completamente determinada por$\vecs{r} (0)\text{,}$$(\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{,}$$\kappa(s)$ y$\tau(s)\text{.}$
• Es decir, hasta traslaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualesquiera de$\vecs{r} (0)$ por una traslación) y rotaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualquiera de$(\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))$ por una rotación) una curva está completamente determinada por la curvatura$\kappa(s) \gt 0$ y la torsión$\tau(s)\text{.}$ Este resultado se llama” El teorema fundamental de las curvas espaciales”.

Teorema 1.4.3. El teorema fundamental de las curvas espaciales

Dejar$\kappa(s) \gt 0$ y$\tau(s)$ ser continuo. Luego, hasta traslaciones y rotaciones, hay una curva única con curvatura$\kappa(s)$ y torsión$\tau(s)\text{.}$

Ejemplo 1.4.4. Hélice circular derecha

La hélice circular derecha es la curva

$$\begin{gather*} \vecs{r} (t)= a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}$$

con$a,b \gt 0$ como en la figura de abajo a la izquierda.

He aquí por qué se le llama hélice derecha en lugar de hélice izquierda. Si la hélice es la rosca de un perno que estás atornillando en una tuerca, y giras el perno en la dirección de los dedos (rizados) de tu mano derecha (como en la figura ⁶ de la derecha arriba), entonces se mueve en la dirección de tu pulgar (como en la flecha recta larga de la figura a la derecha arriba).

Para determinar la curvatura y torsión de esta curva calculamos

$$\begin{align*} \vecs{v} (t)&= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + b\,\hat{\mathbf{k}}\\ \textbf{a}(t)&= -a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)&= a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}$$

De$\vecs{v} (t)$ leemos

$$\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \hat{\textbf{T}}(t)&= -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}$$

De$\textbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\hat{\textbf{N}} =\kappa(a^2+b^2)\hat{\textbf{N}}\text{,}$ leemos eso

$$\begin{gather*} \kappa(t)=\frac{a}{a^2+b^2}\qquad \hat{\textbf{N}}(t) = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}-\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}$$

Desde

$$\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &= \det\left[ \begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ -a\sin t & a\cos t & b\\ -a\cos t &-a\sin t & 0\end{matrix} \right] = ab\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -ab\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +a^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ |\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2 &=a^2b^2+a^4 = a^2(a^2+b^2) \end{align*}$$

leemos

$$\begin{align*} \hat{\textbf{B}}(t) &= \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}$$

y

$$\begin{align*} \tau(t) & = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} =\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)} =\frac{b}{a^2+b^2} \end{align*}$$

Tenga en cuenta que, para la hélice diestra,$\tau \gt 0\text{.}$ Finalmente el centro de curvatura es

$$\begin{align*} \vecs{r} (t) +\frac{1}{\kappa(t)}\hat{\textbf{N}}(t) &=\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=-\frac{b^2}{a}\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b^2}{a}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}$$

que es otra hélice. En la siguiente figura, la curva roja es la hélice original y la curva azul es la hélice trazada por el centro de curvatura.

Ejercicios

Etapa 1

1

En el boceto de abajo de una curva tridimensional y su círculo osculante en un punto, etiqueta$\hat{\textbf{T}}$ y$\hat{\textbf{N}}\text{.}$ ¿$\hat{\textbf{B}}$Estará apuntando fuera del papel hacia el lector, o en el papel lejos del lector?

2

En la fórmula

$$\dfrac{ds}{dt}(t)=|\vecs{v} (t)|=|\vecs{r} '(t)| \nonumber$$

¿$s$significa velocidad, o para arclength?

3

¿Qué curva (o curvas) de abajo tienen torsión positiva, cuáles tienen torsión negativa y cuáles tienen torsión cero? Las flechas indican la dirección del aumento$t\text{.}$

4

Considere una curva parametrizada por la longitud del arco$s\text{.}$

1. Mostrar que si la curva tiene curvatura$\kappa(s)=0$ para todos$s\text{,}$ entonces la curva es una línea recta.
2. Mostrar que si la curva tiene curvatura$\kappa(s) \gt 0$ y torsión$\tau(s)=0$ para todos$s\text{,}$ entonces la curva se encuentra en un plano.
3. Mostrar que si la curva tiene curvatura$\kappa(s)=\kappa_0\text{,}$ una constante estrictamente positiva, y torsión$\tau(s)=0$ para todos$s\text{,}$ entonces la curva es un círculo.

5 ✳

La superficie$z=x^2+y^2$ es cortada por el plano$x=y\text{.}$ La curva resultante se orienta de$(0,0,0)$ a$(1,1,2)\text{.}$

1. Croquis de la curva de$(0,0,0)$ a$(1,1,2)\text{.}$
2. Sketch$\hat{\textbf{T}} \text{,}$$\hat{\textbf{N}}$ y$\hat{\textbf{B}}$ en$\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}$
3. Encuentra la torsión en$\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}$

Etapa 2

6 ✳

Dejar$C$ ser la curva de espacio

$$\begin{gather*} \vecs{r} (t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}$$

1. Encuentra$\vecs{r} '\text{,}$$\vecs{r} ''$ y la curvatura de$C\text{.}$
2. Encuentra la longitud de la curva entre$\vecs{r} (0)$ y$\vecs{r} (1)\text{.}$

7

Encuentra la torsión de$\vecs{r} (t)=(t,t^2,t^3)$ en el punto$(2,4,8)\text{.}$

8

Encuentra la tangente unitaria, los vectores normales y binormales unitarios y la curvatura y torsión de la curva

$$\vecs{r} (t)=t\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \frac{t^3}{3}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

9

Para alguna constante$c\text{,}$ definir$\vecs{r} (t)=(t^3,t,e^{ct})\text{.}$ Para cual valor (s) de$c$ es$\tau(5)=0\text{?}$ Para cada uno de esos valores de$c\text{,}$ encontrar una ecuación para el plano que contiene el círculo osculante a la curva en$t=5\text{.}$

10 ✳

1. Considere la curva de espacio parametrizada

   $$\vecs{r} (t) = \big(t^2 , t, t^3\big) \nonumber$$

   Encuentra una ecuación para el plano que pasa a través$(1,1,1)$ con vector normal tangente a$\vecs{r}$ en ese punto.
2. Encontrar la curvatura de la curva a partir de (a) en función del parámetro$t\text{.}$

11 ✳

Deja$C$ ser el círculo osculante a la hélice$\vecs{r} (t) =\big(\cos t\,,\,\sin t\,,\,t\big)$ en el punto donde$t=\pi/6\text{.}$ Encuentra:

1. el radio de curvatura de$C$
2. el centro de$C$
3. la unidad normal al plano de$C$

12 ✳

1. Considere la curva de espacio parametrizada

   $$\vecs{r} (t) = (\cos(t), \sin(t), t^2) \nonumber$$

   Buscar una forma paramétrica para la línea tangente en el punto correspondiente a$t = \pi\text{.}$
2. Encontrar el componente tangencial$a_T(t)$ de la aceleración, en función de$t\text{,}$ para la curva espacial parametrizada$\vecs{r} (t)\text{.}$

13 ✳

Supongamos que, en términos del parámetro de tiempo$t$, una partícula se mueve a lo largo del camino$\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t )\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t )\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}$$1 \le t \lt \infty\text{.}$

1. Encuentra la velocidad de la partícula a la vez$t\text{.}$
2. Encontrar el componente tangencial de la aceleración en el momento$t\text{.}$
3. Encuentra el componente normal de aceleración en el momento$t\text{.}$
4. Encuentra la curvatura del camino a la vez$t\text{.}$

14 ✳

Supongamos que el paraboloide$z = x^2 + y^2$ y el plano se$2x + z = 8$ cruzan en una curva$C\text{.}$$C$ que se recorre en sentido antihorario si se ve desde el$z$ eje positivo.

1. Parametrizar la curva$C\text{.}$
2. Encuentra el vector tangente unitario$\hat{\textbf{T}}\text{,}$ el vector normal principal$\hat{\textbf{N}}\text{,}$ el vector binormal$\hat{\textbf{B}}$ y la curvatura$\kappa$ todo en el punto$(2, 0, 4)\text{.}$

15 ✳

Considera la curva$C$ dada por

$$\vecs{r} (t) = \frac{1}{3} t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{1}{\sqrt{2}} t^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty. \nonumber$$

1. Encuentra la tangente$\hat{\textbf{T}} (t)$ unitaria en función de$t\text{.}$
2. Encuentra la curvatura$\kappa(t)$ en función de$t\text{.}$
3. Determinar el vector normal principal$\hat{\textbf{N}}$ en el punto$\big(\frac{8}{3} , 2\sqrt{2}, 2\big)\text{.}$

16 ✳

Supongamos que la curva$C$ es la intersección del cilindro$x^2 +y^2 = 1$ con el plano$x+y+z = 1\text{.}$

1. Encuentra una parametrización de$C\text{.}$
2. Determinar la curvatura de$C\text{.}$
3. Encuentra los puntos en los que la curvatura es máxima y determina el valor de la curvatura en estos puntos.

17 ✳

Let

$$\begin{gather*} \vecs{r} (t) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \ln t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}$$

Calcular la tangente unitaria y los vectores normales unitarios$\hat{\textbf{T}}(t)$ y$\hat{\textbf{N}}\text{.}$ Calcular la curvatura ¡$\kappa(t)\text{.}$Simplifique siempre que sea posible

18 ✳

1. Encuentra la longitud de la curva$\vecs{r} (t)=\big(1,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\big)$ para$0\le t\le 1\text{.}$
2. Encuentra el vector normal de la unidad principal$\hat{\textbf{N}}$$\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}$ a$t =\pi/4\text{.}$
3. Encuentra la curvatura de$\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}$ al$t = \pi/4\text{.}$

19 ✳

Una partícula se mueve a lo largo de una curva con el vector de posición dado por

$$\vecs{r} (t) = \big(t + 2\,,\, 1 - t\,,\, t^2 /2\big) \nonumber$$

para$-\infty \lt t \lt \infty\text{.}$

1. Encuentra la velocidad en función de$t\text{.}$
2. Encuentra la velocidad en función de$t\text{.}$
3. Encuentra la aceleración en función de$t\text{.}$
4. Encuentra la curvatura en función de$t\text{.}$
5. Recordemos que la descomposición de la aceleración en componentes tangenciales y normales viene dada por la fórmula

   $$\vecs{r} ''(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}(t) + \kappa(t)\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}(t) \nonumber$$

   Utilice esta fórmula y sus respuestas a las partes anteriores de esta pregunta para encontrar$\hat{\textbf{N}}(t)\text{,}$ el vector normal de la unidad principal, en función de$t\text{.}$
6. Encuentre una ecuación para el plano osculante (el plano que mejor se ajuste a la curva) en el punto correspondiente a$t = 0\text{.}$
7. Encuentra el centro del círculo osculante en el punto correspondiente a$t = 0\text{.}$

20 ✳

Considera la curva$C$ dada por

$$\vecs{r} (t) =\frac{t^3}{3}\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{\sqrt{2}}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} \qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber$$

1. Encuentra la tangente$\hat{\textbf{T}}(t)$ unitaria en función de$t\text{.}$
2. Encuentra la curvatura$\kappa(t)$ en función de$t\text{.}$
3. Evaluar$\kappa(t)$ en$t = 0\text{.}$
4. Determinar el vector normal principal$\hat{\textbf{N}}(t)$ en$t = 0\text{.}$
5. Calcular el vector binormal$\hat{\textbf{B}}(t)$ en$t = 0\text{.}$

21 ✳

Una curva en$\mathbb{R} ^3$ viene dada por$\vecs{r} (t) = (t^2\,,\, t\,,\, t^3)\text{.}$

1. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva en el punto$(1, -1, -1)\text{.}$
2. Encontrar una ecuación para el plano osculante de la curva en el punto$(1, 1, 1)\text{.}$

22 ✳

Una curva en$\mathbb{R}^3$ viene dada por

$$\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t)\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}, \qquad 0 \le t \lt \infty \nonumber$$

1. Encuentra la longitud de la curva$\vecs{r} (t)$ de$\vecs{r} (0) = (0, 1, 0)$ a$\vecs{r} (\pi) = (\pi, -1, \pi^2)\text{.}$
2. Encuentra la curvatura de la curva en el momento$t \gt 0\text{.}$

23 ✳

En el momento$t=0\text{,}$ NASA lanza un cohete que sigue una trayectoria para que su posición en cualquier momento$t$ sea

$$x=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ y=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ z=t(2-t) \nonumber$$

1. Asumiendo que el vuelo termina cuando$z=0\text{,}$ averiguas hasta dónde viaja el cohete.
2. Encuentra la unidad tangente y la unidad normal a la trayectoria en su punto más alto.
3. También, computar la curvatura de la trayectoria en su punto más alto.

24 ✳

Considere una partícula viajando en el espacio a lo largo de la trayectoria parametrizada por

$$x=\cos^3t,\ y=\sin ^3t,\ z=2\sin^2 t \nonumber$$

1. Calcular la longitud del arco de esta trayectoria para$0\le t\le \pi/2\text{.}$
2. Encuentra los vectores$\hat{\textbf{T}}\text{,}$$\hat{\textbf{N}}\text{,}$$\hat{\textbf{B}}$ para la partícula en$t=\pi/6\text{.}$

25

Supongamos que la curva$C$ es la intersección del cilindro$x^2 +y^2 = 1$ con la superficie$z =x^2 - y^2\text{.}$

1. Encuentra una parametrización de$C\text{.}$
2. Determinar la curvatura de$C$ en el punto$\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}$
3. Encuentra el plano osculante a$C$ en el punto$\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}$ En general, el plano osculante a una curva$\vecs{r} (t)$ en el punto$\vecs{r} (t_0)$ es el plano que mejor se ajusta a la curva en$\vecs{r} (t_0)\text{.}$ Pasa a través$\vecs{r} (t_0)$ y tiene vector normal$\hat{\textbf{B}}(t_0)\text{.}$
4. Encuentra el radio y el centro del círculo osculante hasta$C$ en el punto$\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}$

Etapa 3

26 ✳

Bajo la influencia de un campo de fuerza$\vecs{F} \text{,}$ una partícula de masa 2 kg se mueve con velocidad constante 3 m/s a lo largo de la trayectoria dada como la intersección del plano$z = x$ y el cilindro parabólico$z = y^2\text{,}$ en la dirección de incrementar$y\text{.}$ Find$\vecs{F}$ en el punto$(1, 1, 1)\text{.}$ (La longitud es medido en m a lo largo de los tres ejes de coordenadas.)

27 ✳

Considera la curva$C$ en 3 dimensiones dadas por

$$\vecs{r} (t) = 2t\hat{\pmb{\imath}} + t^2\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3} t^2\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

para$t \in\mathbb{R} \text{.}$

1. Calcular el vector tangente unitario$\vecs{T} (t)\text{.}$
2. Calcular el vector normal de la unidad$\hat{\textbf{N}}(t)\text{.}$
3. Mostrar que el vector binormal$\hat{\textbf{B}}$ a esta curva no depende de$t$ y es uno de los siguientes vectores:

   $$\text{(1)}\ \left[\begin{matrix} 1/2 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 0 \end{matrix}\right]\qquad \text{(2)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(3)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(4)}\ \left[\begin{matrix} 0\\ -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\qquad \nonumber$$

   Esto implica que$C$ es una curva plana.
4. Según su elección del vector (1), (2), (3) o (4), dé la ecuación del plano que contiene$C\text{.}$
5. Calcular la curvatura$\kappa(t)$ de la curva.
6. ¿Hay punto (s) donde la curvatura es máxima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
7. ¿Hay punto (s) donde la curvatura es mínima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
8. Let

   $$\textbf{u} := 2\,\hat{\pmb{\imath}},\quad \vecs{v} := \hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\quad \textbf{w} := -\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

   1. Expresar$\hat{\pmb{\imath}}\text{,}$$\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}$$\hat{\mathbf{k}}$ en términos de$\textbf{u}\text{,}$$\vecs{v} \text{,}$$\textbf{w}\text{.}$
   2. Usando (i), escribe$\vecs{r} (t)$ en el formulario

      $$a(t)\textbf{u} + b(t)\vecs{v} + c(t)\textbf{w} \nonumber$$

      donde$a(t)\text{,}$$b(t)$ y$c(t)$ son funciones que tienes que determinar. Deberías encontrar que una de estas funciones es cero.
   3. Dibuja la curva dada por$\big(a(t), b(t)\big)$ en el$xy$ plano.
   4. ¿El dibujo es consistente con las partes (f) y (g)? Explique.

28 ✳

Recordemos que si$\hat{\textbf{T}}$ es el vector tangente unitario a una curva orientada con parámetro de longitud de arco$s\text{,}$, entonces la curvatura$\kappa$ y el vector normal de principio se$\hat{\textbf{N}}$ definen por la ecuación

$$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa\,\hat{\textbf{N}}\nonumber$$

Además, la torsión$\tau$ y el vector binormal$\hat{\textbf{B}}$ están definidos por las ecuaciones

$$\hat{\textbf{B}} = \hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}},\qquad \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} = -\tau\,\hat{\textbf{N}}\nonumber$$

Demostrar que

$$\dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} = -\kappa\,\hat{\textbf{T}}+ \tau\,\hat{\textbf{B}} \nonumber$$

29 ✳

Un esquiador desciende el cerro$z =\sqrt{4-x^2-y^2}$ por un sendero con parametrización

$$x=\sin(2\theta),\qquad y=1-\cos(2\theta),\qquad z=2\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \nonumber$$

Vamos a$P$ denotar el punto en el sendero donde$x = 1\text{.}$

1. Encuentra los vectores$\hat{\textbf{T}},\hat{\textbf{N}},\hat{\textbf{B}}$ y la curvatura$\kappa$ de la pista de esquí en el punto$P\text{.}$
2. La aceleración del esquiador en$P$ es$\textbf{a}= (-2, 3, -2\sqrt{2})\text{.}$ Find, at$P\text{,}$
   1. la tasa de cambio de la velocidad del esquiador y
   2. la velocidad del esquiador (un vector).

30 ✳

Una partícula se mueve de manera que su vector de posición viene dado por$\vecs{r} (t) = \big(\cos t\,,\, \sin t\,,\, c \sin t\big)\text{,}$ donde$t \gt 0$ y$c$ es una constante.

1. Encuentra la velocidad$\vecs{v} (t)$ y la aceleración$\textbf{a}(t)$ de la partícula.
2. Encuentra la velocidad$v(t)=|\vecs{v} (t)|$ de la partícula.
3. Encuentra el componente tangencial de la aceleración de la partícula.
4. Demostrar que la trayectoria de esta partícula se encuentra en un plano.

31 ✳

Una pista de carreras entre dos colinas se describe por la curva paramétrica

$$\vecs{r} (\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi \nonumber$$

1. Calcular la curvatura de la pista en el punto$\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}$
2. Calcular el radio del círculo que mejor se aproxime a la curva en el punto$\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)$ (es decir, el radio del círculo osculante en ese punto).
3. Un automóvil conduce por la vía para que su posición en el momento$t$ esté dada por$\vecs{r} (t^2)\text{.}$ (Tenga en cuenta la relación entre$t$ y$\theta$ es$\theta = t^2$). Compute las siguientes cantidades.
   1. La velocidad en el punto$\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}$
   2. La aceleración en el punto$\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}$
   3. La magnitud del componente normal de la aceleración en el punto

      $$\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.} \nonumber$$

1. Los argumentos en la prueba del Teorema 1.3.3 que utilizamos para verificar estas fórmulas funcionan en cualquier plano, no solo en el$xy$ plano -plano. Simplemente elige$\hat{\pmb{\imath}}$ y$\hat{\pmb{\jmath}}$ ser dos vectores unitarios mutuamente perpendiculares en el plano.
2. Sin embargo, esto puede ser una diferencia significativa.
3. Nos apegaremos a los “triples diestros” para que sea más fácil obtener bien diversos letreros.
4. Como en dos dimensiones, si$\kappa(s)=0\text{,}$ entonces no$\hat{\textbf{N}}(s)$ se define. Esto tiene aún más sentido en tres dimensiones que en dos dimensiones: si la curva es una línea recta, hay infinitamente muchos vectores unitarios perpendiculares a ella y no hay forma de distinguirlos.
5. Las ecuaciones llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet (1816-1900, hijo de un fabricante de pelucas), en su tesis de 1847 (en realidad solo dio dos de las tres ecuaciones), y Joseph Alfred Serret (1819-1885) en 1851.
6. Esta cifra es una variante de esta imagen.