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1.4: Curvas en Tres Dimensiones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Hasta el momento, hemos desarrollado fórmulas para la curvatura, vector tangente unitario, etc., en un puntor(t) de una curva que se encuentra en elxy plano. Ahora extendemos nuestra discusión a curvas enR3. Fix anyt. Port muy cerca de lat,r(t), voluntad, por la expansión Taylor a segundo orden, estar muy cerca der(t)+r(t)(tt)+12r(t)(tt)2, así quer(t) casi se encuentra en el plano a través der(t) eso está determinado por los dos vectores r(t)yr(t). así, si restringimos nuestra atención a una parte muy pequeña de la curva cerca del punto de interésr(t), la curva, a una muy buena aproximación se encontrará en algún plano. Así que todavía podemos definir, por ejemplo, el círculo osculante a la curva enr(t) para ser el círculo en ese plano que mejor se ajuste a la curva cercar(t). Y todavía tenemos las fórmulas 1

v=drdt=dsdtˆTdˆTds=κˆNdˆTdt=κdsdtˆNa=d2rdt2=d2sdt2ˆT+κ(dsdt)2ˆNv×a=κ(dsdt)3ˆT׈N

La única diferencia de 2 es esov,a,ˆT y ahoraˆN son tres vectores componentes en lugar de dos vectores componentes.

Si tenemos suerte y nuestra curva pasa a estar completamente en un solo plano, los vectoresˆT(s) yˆN(s) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares que se encuentran en el mismo plano, de manera que su producto cruzadoˆB(s)=ˆT(s)׈N(s) es un vector unitario que es perpendicular al plano. Por continuidad,ˆB(s) tiene que ser un vector constante, es decir, ser independiente des.

Si, por otro lado, noˆB(s) es constante, entonces nuestra curva no se encuentra en un solo plano, y podemos usar la derivada

dˆBds=dds(ˆT׈N)=dˆTds׈N+ˆT×dˆNds=ˆT×dˆNds(since dˆTds is parallel to ˆN)

como medida

  • de lo mal que la curva no logra estar en un plano,
  • es decir, cuántos aumenta el plano que mejor se ajusta a la curva cerca der(s) los giros,

El producto cruzado endˆBds=ˆT×dˆNds implica quedˆBds es perpendicular aˆT. Además,dˆBds debe ser perpendicular aˆB porque

|ˆB|=11=ˆBˆB0=dds[ˆBˆB]=2ˆBdˆBds

Así quedˆBds(s) debe ser paralelo aˆN(s).

Definición 1.4.1
  1. El vector binormal atr(s) esˆB(s)=ˆT(s)׈N(s). El vector normal a vecesˆN(s) se llama el vector normal principal de la unidad para distinguirlo del vector binormal.
  2. Definimos la torsiónτ(s) por

    dˆBds(s)=τ(s)ˆN(s)

    Se incluye el signo negativo para queτ(s)>0 indique “torsión diestra”. Habrá una explicación de lo que esto significa en el Ejemplo 1.4.4 a continuación.
  3. El plano osculante enr(s) (el plano que mejor se ajusta a la curvar(s)) es el plano pasanter(s) con vector normalˆB(s). La ecuación del plano es

    ˆB(s){(x,y,z)r(s)}=0

Para cada unos,ˆT(s),ˆN(s) yˆB(s) son vectores unitarios mutuamente perpendiculares. Forman una base ortonormal paraR3, así como^ıı,^ȷȷ yˆk forman una base ortonormal paraR3. Además ambos(ˆT(s),ˆN(s),ˆB(s)) y(^ıı,^ȷȷ,ˆk) son “triples diestros” 3, lo que significa queˆB(s)=ˆT(s)׈N(s) yˆk=^ıı×^ȷȷ.

cross.svg

Ya hemos calculadodˆTds y ahoradˆBds. es un asunto fácil de calcular

dˆNds=dds(ˆB(s)׈T(s))=τ(s)ˆN(s)׈T(s)+ˆB(s)×(κ(s)ˆN(s))=τ(s)ˆB(s)κ(s)ˆT(s)

Para ver esoˆN(s)׈T(s)=ˆB(s) yˆB(s)׈N(s)=ˆT(s), basta con mirar la figura de la derecha arriba.

Ahora supongamos que tenemos una curva que está parametrizada port en lugar des. cómo encontramos la torsiónτ? El método más obvio es

  • recordar esov×a=κ(dsdt)3ˆT׈N=κ(dsdt)3ˆB y queˆB(t) es un vector de unidad. Entonces

    ˆB(t)=v(t)×a(t)|v(t)×a(t)|

  • Habiendo encontradoB(t) podemos diferenciarlo y usarlodˆBds(s)=τ(s)ˆN(s) y la regla de la cadena para dar

    dBdt=dBdsdsdt=τdsdtˆB

    de la que podemos leerτ, siempre que sepamosdsdt yˆN.

Existe otro método, a menudo más eficiente, para encontrar la torsiónτ que utiliza

dadt=ddt(d2sdt2ˆT+κ(dsdt)2ˆN)=d3sdt3ˆT+d2sdt2dsdtκˆN+ddt(κ(dsdt)2)ˆN+κ(dsdt)3(τˆBκˆT)

Si bien esto parece un poco complicado, fíjese que, con una sola excepción, es decir,κ(dsdt)3τ(s)ˆB(s), cada término del lado derecho está en la direcciónˆT o en la direcciónˆN y así es perpendicular aˆB. Así, punteando conv×a=κ(dsdt)3ˆB da

(v×a)dadt=κ2(dsdt)6τ=|v×a|2τ

y por lo tanto

τ=(v×a)dadt|v×a|2

Si seτ(s) conocen la curvatura 4κ(s)>0 y la torsión, entonces el sistema de ecuaciones 5

Ecuación 1.4.2. Fórmulas de Frenet—Serret

dˆTds(s)=κ(s) ˆN(s)dˆNds(s)=τ(s) ˆB(s)κ(s) ˆT(s)dˆBds(s)=τ(s) ˆN(s)

es un sistema lineal de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias

dds[ˆT(s)ˆN(s)ˆB(s)]=[0κ(s)0κ(s)0τ(s)0τ(s)0][ˆT(s)ˆN(s)ˆB(s)]

para la función de valor de vector9 componente(ˆT(s),ˆN(s),ˆB(s)).

Cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden

ddsx(s)=M(s)x(s)x(0)=x0

dondex es un vectorn -componente yM(s) es unan×n matriz con entradas continuas, tiene exactamente una solución. Si esn=1, así esox(s) yM(s) son solo funciones, esto es fácil de ver. Solo deja queM(s) sea el antiderivado deM(s) eso obedeceM(0)=0. Entonces

ddsx(s)=M(s)x(s)eM(s)ddsx(s)M(s)eM(s)x(s)=0dds(eM(s)x(s))=0

según la regla del producto. AsíeM(s)x(s) es una constante independiente des. En particulareM(s)x(s)=eM(0)x(0)=x0 para quex(s)=x0eM(s). Este argumento pueda generalizarse a cualquier número naturaln. Pero eso está más allá del alcance de este libro.

Dado que las fórmulas de Frenet-Serret constituyen un sistema de primer orden de ecuaciones diferenciales ordinarias para el vector(ˆT(s),ˆN(s),ˆB(s)) y dado que cualquier problema de valor inicial lineal de primer orden tiene exactamente una solución,

  • la función de valor vectorial(ˆT(s),ˆN(s),ˆB(s)) está determinada por las funcionesκ(s) yτ(s) (asumiendo que son continuas) junto con la condición inicial(ˆT(0),ˆN(0),ˆB(0)).
  • Además, una vez que sabesˆT(s),, entoncesr(s) está determinado porr(0) ydrds(s)=ˆT(s).
  • Entonces, cualquier curva suaver(s) está completamente determinada porr(0),(ˆT(0),ˆN(0),ˆB(0)),κ(s) yτ(s).
  • Es decir, hasta traslaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualesquiera der(0) por una traslación) y rotaciones (puedes moverte entre dos posibles opciones cualquiera de(ˆT(0),ˆN(0),ˆB(0)) por una rotación) una curva está completamente determinada por la curvaturaκ(s)>0 y la torsiónτ(s). Este resultado se llama” El teorema fundamental de las curvas espaciales”.
Teorema 1.4.3. El teorema fundamental de las curvas espaciales

Dejarκ(s)>0 yτ(s) ser continuo. Luego, hasta traslaciones y rotaciones, hay una curva única con curvaturaκ(s) y torsiónτ(s).

Ejemplo 1.4.4. Hélice circular derecha

La hélice circular derecha es la curva

r(t)=acost^ıı+asint^ȷȷ+btˆk

cona,b>0 como en la figura de abajo a la izquierda.

helix5.svgRHR.svg

He aquí por qué se le llama hélice derecha en lugar de hélice izquierda. Si la hélice es la rosca de un perno que estás atornillando en una tuerca, y giras el perno en la dirección de los dedos (rizados) de tu mano derecha (como en la figura 6 de la derecha arriba), entonces se mueve en la dirección de tu pulgar (como en la flecha recta larga de la figura a la derecha arriba).

Para determinar la curvatura y torsión de esta curva calculamos

v(t)=asint^ıı+acost^ȷȷ+bˆka(t)=acost^ııasint^ȷȷdadt(t)=asint^ııacost^ȷȷ

Dev(t) leemos

dsdt=a2+b2ˆT(t)=aa2+b2sint^ıı+aa2+b2cost^ȷȷ+ba2+b2ˆk

Dea=d2sdt2ˆT+κ(dsdt)2ˆN=κ(a2+b2)ˆN, leemos eso

κ(t)=aa2+b2ˆN(t)=cost^ıısint^ȷȷ

Desde

v(t)×a(t)=det[^ıı^ȷȷˆkasintacostbacostasint0]=absint^ııabcost^ȷȷ+a2ˆk|v(t)×a(t)|2=a2b2+a4=a2(a2+b2)

leemos

ˆB(t)=v(t)×a(t)|v(t)×a(t)|=ba2+b2sint^ııba2+b2cost^ȷȷ+aa2+b2ˆk

y

τ(t)=(v×a)dadt|v×a|2=a2ba2(a2+b2)=ba2+b2

Tenga en cuenta que, para la hélice diestra,τ>0. Finalmente el centro de curvatura es

r(t)+1κ(t)ˆN(t)=(aa2+b2a)cost^ıı+(aa2+b2a)sint^ıı+btˆk=b2acost^ııb2asint^ıı+btˆk

que es otra hélice. En la siguiente figura, la curva roja es la hélice original y la curva azul es la hélice trazada por el centro de curvatura.

helix6.svg

Ejercicios

Etapa 1

1

En el boceto de abajo de una curva tridimensional y su círculo osculante en un punto, etiquetaˆT yˆN. ¿ˆBEstará apuntando fuera del papel hacia el lector, o en el papel lejos del lector?

image-52.svg

2

En la fórmula

dsdt(t)=|v(t)|=|r(t)|

¿ssignifica velocidad, o para arclength?

3

¿Qué curva (o curvas) de abajo tienen torsión positiva, cuáles tienen torsión negativa y cuáles tienen torsión cero? Las flechas indican la dirección del aumentot.

image-55.svgimage-56.svgimage-57.svg

4

Considere una curva parametrizada por la longitud del arcos.

  1. Mostrar que si la curva tiene curvaturaκ(s)=0 para todoss, entonces la curva es una línea recta.
  2. Mostrar que si la curva tiene curvaturaκ(s)>0 y torsiónτ(s)=0 para todoss, entonces la curva se encuentra en un plano.
  3. Mostrar que si la curva tiene curvaturaκ(s)=κ0, una constante estrictamente positiva, y torsiónτ(s)=0 para todoss, entonces la curva es un círculo.
5

La superficiez=x2+y2 es cortada por el planox=y. La curva resultante se orienta de(0,0,0) a(1,1,2).

  1. Croquis de la curva de(0,0,0) a(1,1,2).
  2. SketchˆT,ˆN yˆB en(12,12,12).
  3. Encuentra la torsión en(12,12,12).

Etapa 2

6

DejarC ser la curva de espacio

r(t)=(etet)^ıı+(et+et)^ȷȷ+2tˆk

  1. Encuentrar,r y la curvatura deC\text{.}
  2. Encuentra la longitud de la curva entre\vecs{r} (0) y\vecs{r} (1)\text{.}
7

Encuentra la torsión de\vecs{r} (t)=(t,t^2,t^3) en el punto(2,4,8)\text{.}

8

Encuentra la tangente unitaria, los vectores normales y binormales unitarios y la curvatura y torsión de la curva

\vecs{r} (t)=t\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \frac{t^3}{3}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber

9

Para alguna constantec\text{,} definir\vecs{r} (t)=(t^3,t,e^{ct})\text{.} Para cual valor (s) dec es\tau(5)=0\text{?} Para cada uno de esos valores dec\text{,} encontrar una ecuación para el plano que contiene el círculo osculante a la curva ent=5\text{.}

10
  1. Considere la curva de espacio parametrizada

    \vecs{r} (t) = \big(t^2 , t, t^3\big) \nonumber

    Encuentra una ecuación para el plano que pasa a través(1,1,1) con vector normal tangente a\vecs{r} en ese punto.
  2. Encontrar la curvatura de la curva a partir de (a) en función del parámetrot\text{.}
11

DejaC ser el círculo osculante a la hélice\vecs{r} (t) =\big(\cos t\,,\,\sin t\,,\,t\big) en el punto dondet=\pi/6\text{.} Encuentra:

  1. el radio de curvatura deC
  2. el centro deC
  3. la unidad normal al plano deC
12
  1. Considere la curva de espacio parametrizada

    \vecs{r} (t) = (\cos(t), \sin(t), t^2) \nonumber

    Buscar una forma paramétrica para la línea tangente en el punto correspondiente at = \pi\text{.}
  2. Encontrar el componente tangenciala_T(t) de la aceleración, en función det\text{,} para la curva espacial parametrizada\vecs{r} (t)\text{.}
13

Supongamos que, en términos del parámetro de tiempot, una partícula se mueve a lo largo del camino\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t )\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t )\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}1 \le t \lt \infty\text{.}

  1. Encuentra la velocidad de la partícula a la vezt\text{.}
  2. Encontrar el componente tangencial de la aceleración en el momentot\text{.}
  3. Encuentra el componente normal de aceleración en el momentot\text{.}
  4. Encuentra la curvatura del camino a la vezt\text{.}
14

Supongamos que el paraboloidez = x^2 + y^2 y el plano se2x + z = 8 cruzan en una curvaC\text{.}C que se recorre en sentido antihorario si se ve desde elz eje positivo.

  1. Parametrizar la curvaC\text{.}
  2. Encuentra el vector tangente unitario\hat{\textbf{T}}\text{,} el vector normal principal\hat{\textbf{N}}\text{,} el vector binormal\hat{\textbf{B}} y la curvatura\kappa todo en el punto(2, 0, 4)\text{.}
15

Considera la curvaC dada por

\vecs{r} (t) = \frac{1}{3} t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{1}{\sqrt{2}} t^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty. \nonumber

  1. Encuentra la tangente\hat{\textbf{T}} (t) unitaria en función det\text{.}
  2. Encuentra la curvatura\kappa(t) en función det\text{.}
  3. Determinar el vector normal principal\hat{\textbf{N}} en el punto\big(\frac{8}{3} , 2\sqrt{2}, 2\big)\text{.}
16

Supongamos que la curvaC es la intersección del cilindrox^2 +y^2 = 1 con el planox+y+z = 1\text{.}

  1. Encuentra una parametrización deC\text{.}
  2. Determinar la curvatura deC\text{.}
  3. Encuentra los puntos en los que la curvatura es máxima y determina el valor de la curvatura en estos puntos.
17

Let

\begin{gather*} \vecs{r} (t) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \ln t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}

Calcular la tangente unitaria y los vectores normales unitarios\hat{\textbf{T}}(t) y\hat{\textbf{N}}\text{.} Calcular la curvatura ¡\kappa(t)\text{.}Simplifique siempre que sea posible

18
  1. Encuentra la longitud de la curva\vecs{r} (t)=\big(1,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\big) para0\le t\le 1\text{.}
  2. Encuentra el vector normal de la unidad principal\hat{\textbf{N}}\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} at =\pi/4\text{.}
  3. Encuentra la curvatura de\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} alt = \pi/4\text{.}
19

Una partícula se mueve a lo largo de una curva con el vector de posición dado por

\vecs{r} (t) = \big(t + 2\,,\, 1 - t\,,\, t^2 /2\big) \nonumber

para-\infty \lt t \lt \infty\text{.}

  1. Encuentra la velocidad en función det\text{.}
  2. Encuentra la velocidad en función det\text{.}
  3. Encuentra la aceleración en función det\text{.}
  4. Encuentra la curvatura en función det\text{.}
  5. Recordemos que la descomposición de la aceleración en componentes tangenciales y normales viene dada por la fórmula

    \vecs{r} ''(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}(t) + \kappa(t)\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}(t) \nonumber

    Utilice esta fórmula y sus respuestas a las partes anteriores de esta pregunta para encontrar\hat{\textbf{N}}(t)\text{,} el vector normal de la unidad principal, en función det\text{.}
  6. Encuentre una ecuación para el plano osculante (el plano que mejor se ajuste a la curva) en el punto correspondiente at = 0\text{.}
  7. Encuentra el centro del círculo osculante en el punto correspondiente at = 0\text{.}
20

Considera la curvaC dada por

\vecs{r} (t) =\frac{t^3}{3}\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{\sqrt{2}}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} \qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber

  1. Encuentra la tangente\hat{\textbf{T}}(t) unitaria en función det\text{.}
  2. Encuentra la curvatura\kappa(t) en función det\text{.}
  3. Evaluar\kappa(t) ent = 0\text{.}
  4. Determinar el vector normal principal\hat{\textbf{N}}(t) ent = 0\text{.}
  5. Calcular el vector binormal\hat{\textbf{B}}(t) ent = 0\text{.}
21

Una curva en\mathbb{R} ^3 viene dada por\vecs{r} (t) = (t^2\,,\, t\,,\, t^3)\text{.}

  1. Encuentra las ecuaciones paramétricas de la línea tangente a la curva en el punto(1, -1, -1)\text{.}
  2. Encontrar una ecuación para el plano osculante de la curva en el punto(1, 1, 1)\text{.}
22

Una curva en\mathbb{R}^3 viene dada por

\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t)\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}, \qquad 0 \le t \lt \infty \nonumber

  1. Encuentra la longitud de la curva\vecs{r} (t) de\vecs{r} (0) = (0, 1, 0) a\vecs{r} (\pi) = (\pi, -1, \pi^2)\text{.}
  2. Encuentra la curvatura de la curva en el momentot \gt 0\text{.}
23

En el momentot=0\text{,} NASA lanza un cohete que sigue una trayectoria para que su posición en cualquier momentot sea

x=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ y=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ z=t(2-t) \nonumber

  1. Asumiendo que el vuelo termina cuandoz=0\text{,} averiguas hasta dónde viaja el cohete.
  2. Encuentra la unidad tangente y la unidad normal a la trayectoria en su punto más alto.
  3. También, computar la curvatura de la trayectoria en su punto más alto.
24

Considere una partícula viajando en el espacio a lo largo de la trayectoria parametrizada por

x=\cos^3t,\ y=\sin ^3t,\ z=2\sin^2 t \nonumber

  1. Calcular la longitud del arco de esta trayectoria para0\le t\le \pi/2\text{.}
  2. Encuentra los vectores\hat{\textbf{T}}\text{,}\hat{\textbf{N}}\text{,}\hat{\textbf{B}} para la partícula ent=\pi/6\text{.}
25

Supongamos que la curvaC es la intersección del cilindrox^2 +y^2 = 1 con la superficiez =x^2 - y^2\text{.}

  1. Encuentra una parametrización deC\text{.}
  2. Determinar la curvatura deC en el punto\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}
  3. Encuentra el plano osculante aC en el punto\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.} En general, el plano osculante a una curva\vecs{r} (t) en el punto\vecs{r} (t_0) es el plano que mejor se ajusta a la curva en\vecs{r} (t_0)\text{.} Pasa a través\vecs{r} (t_0) y tiene vector normal\hat{\textbf{B}}(t_0)\text{.}
  4. Encuentra el radio y el centro del círculo osculante hastaC en el punto\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}

Etapa 3

26

Bajo la influencia de un campo de fuerza\vecs{F} \text{,} una partícula de masa 2 kg se mueve con velocidad constante 3 m/s a lo largo de la trayectoria dada como la intersección del planoz = x y el cilindro parabólicoz = y^2\text{,} en la dirección de incrementary\text{.} Find\vecs{F} en el punto(1, 1, 1)\text{.} (La longitud es medido en m a lo largo de los tres ejes de coordenadas.)

27

Considera la curvaC en 3 dimensiones dadas por

\vecs{r} (t) = 2t\hat{\pmb{\imath}} + t^2\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3} t^2\hat{\mathbf{k}} \nonumber

parat \in\mathbb{R} \text{.}

  1. Calcular el vector tangente unitario\vecs{T} (t)\text{.}
  2. Calcular el vector normal de la unidad\hat{\textbf{N}}(t)\text{.}
  3. Mostrar que el vector binormal\hat{\textbf{B}} a esta curva no depende det y es uno de los siguientes vectores:

    \text{(1)}\ \left[\begin{matrix} 1/2 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 0 \end{matrix}\right]\qquad \text{(2)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(3)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(4)}\ \left[\begin{matrix} 0\\ -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\qquad \nonumber

    Esto implica queC es una curva plana.
  4. Según su elección del vector (1), (2), (3) o (4), dé la ecuación del plano que contieneC\text{.}
  5. Calcular la curvatura\kappa(t) de la curva.
  6. ¿Hay punto (s) donde la curvatura es máxima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
  7. ¿Hay punto (s) donde la curvatura es mínima? En caso afirmativo, dé las coordenadas del punto (s). Si no, justifica tu respuesta.
  8. Let

    \textbf{u} := 2\,\hat{\pmb{\imath}},\quad \vecs{v} := \hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\quad \textbf{w} := -\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber

    1. Expresar\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\hat{\mathbf{k}} en términos de\textbf{u}\text{,}\vecs{v} \text{,}\textbf{w}\text{.}
    2. Usando (i), escribe\vecs{r} (t) en el formulario

      a(t)\textbf{u} + b(t)\vecs{v} + c(t)\textbf{w} \nonumber

      dondea(t)\text{,}b(t) yc(t) son funciones que tienes que determinar. Deberías encontrar que una de estas funciones es cero.
    3. Dibuja la curva dada por\big(a(t), b(t)\big) en elxy plano.
    4. ¿El dibujo es consistente con las partes (f) y (g)? Explique.
28

Recordemos que si\hat{\textbf{T}} es el vector tangente unitario a una curva orientada con parámetro de longitud de arcos\text{,}, entonces la curvatura\kappa y el vector normal de principio se\hat{\textbf{N}} definen por la ecuación

\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa\,\hat{\textbf{N}}\nonumber

Además, la torsión\tau y el vector binormal\hat{\textbf{B}} están definidos por las ecuaciones

\hat{\textbf{B}} = \hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}},\qquad \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} = -\tau\,\hat{\textbf{N}}\nonumber

Demostrar que

\dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} = -\kappa\,\hat{\textbf{T}}+ \tau\,\hat{\textbf{B}} \nonumber

29

Un esquiador desciende el cerroz =\sqrt{4-x^2-y^2} por un sendero con parametrización

x=\sin(2\theta),\qquad y=1-\cos(2\theta),\qquad z=2\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \nonumber

Vamos aP denotar el punto en el sendero dondex = 1\text{.}

  1. Encuentra los vectores\hat{\textbf{T}},\hat{\textbf{N}},\hat{\textbf{B}} y la curvatura\kappa de la pista de esquí en el puntoP\text{.}
  2. La aceleración del esquiador enP es\textbf{a}= (-2, 3, -2\sqrt{2})\text{.} Find, atP\text{,}
    1. la tasa de cambio de la velocidad del esquiador y
    2. la velocidad del esquiador (un vector).
30

Una partícula se mueve de manera que su vector de posición viene dado por\vecs{r} (t) = \big(\cos t\,,\, \sin t\,,\, c \sin t\big)\text{,} dondet \gt 0 yc es una constante.

  1. Encuentra la velocidad\vecs{v} (t) y la aceleración\textbf{a}(t) de la partícula.
  2. Encuentra la velocidadv(t)=|\vecs{v} (t)| de la partícula.
  3. Encuentra el componente tangencial de la aceleración de la partícula.
  4. Demostrar que la trayectoria de esta partícula se encuentra en un plano.
31

Una pista de carreras entre dos colinas se describe por la curva paramétrica

\vecs{r} (\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi \nonumber

  1. Calcular la curvatura de la pista en el punto\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}
  2. Calcular el radio del círculo que mejor se aproxime a la curva en el punto\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big) (es decir, el radio del círculo osculante en ese punto).
  3. Un automóvil conduce por la vía para que su posición en el momentot esté dada por\vecs{r} (t^2)\text{.} (Tenga en cuenta la relación entret y\theta es\theta = t^2). Compute las siguientes cantidades.
    1. La velocidad en el punto\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}
    2. La aceleración en el punto\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}
    3. La magnitud del componente normal de la aceleración en el punto

      \big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.} \nonumber

  1. Los argumentos en la prueba del Teorema 1.3.3 que utilizamos para verificar estas fórmulas funcionan en cualquier plano, no solo en elxy plano -plano. Simplemente elige\hat{\pmb{\imath}} y\hat{\pmb{\jmath}} ser dos vectores unitarios mutuamente perpendiculares en el plano.
  2. Sin embargo, esto puede ser una diferencia significativa.
  3. Nos apegaremos a los “triples diestros” para que sea más fácil obtener bien diversos letreros.
  4. Como en dos dimensiones, si\kappa(s)=0\text{,} entonces no\hat{\textbf{N}}(s) se define. Esto tiene aún más sentido en tres dimensiones que en dos dimensiones: si la curva es una línea recta, hay infinitamente muchos vectores unitarios perpendiculares a ella y no hay forma de distinguirlos.
  5. Las ecuaciones llevan el nombre de los dos matemáticos franceses que las descubrieron de forma independiente: Jean Frédéric Frenet (1816-1900, hijo de un fabricante de pelucas), en su tesis de 1847 (en realidad solo dio dos de las tres ecuaciones), y Joseph Alfred Serret (1819-1885) en 1851.
  6. Esta cifra es una variante de esta imagen.

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