10.6: Espacios de probabilidad con infinitamente muchos resultados

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Mitchel T. Keller & William T. Trotter
Georgia Tech & Morningside College

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A este punto, nos hemos centrado enteramente en espacios de probabilidad\((S,P)\) con\(S\) un conjunto finito. De manera más general, los espacios de probabilidad se definen donde\(S\) hay un conjunto infinito. Cuando\(S\) es contablemente infinito, todavía podemos definir\(P\) sobre los miembros de\(S\), y ahora\(\sum_{x \in S} P(x)\) es una suma infinita que converge absolutamente (ya que todos los términos son no negativos) a 1. Cuando\(S\) es incontable, no\(P\) se define en\(S\). En cambio, la función de probabilidad se define en una familia de subconjuntos de\(S\). Dado nuestro énfasis en conjuntos finitos y combinatoria, discutiremos brevemente el primer caso y referiremos a los estudiantes a textos que se enfoquen en conceptos generales a partir de probabilidad y estadística para el segundo.

Ejemplo 10.27

Considera el siguiente juego. Nancy rueda un solo dado. Ella gana si rueda un seis. Si rueda cualquier otro número, entonces rueda una y otra vez hasta la primera vez que ocurre una de las dos situaciones siguientes: (1) rueda un seis, lo que ahora esto resulta en una pérdida o (2) rueda el mismo número que consiguió en su primer rollo, lo que resulta en una victoria. Como ejemplo, aquí hay algunas secuencias de rollos que este juego podría tomar:

(4,2,3,5,1,1,1,4). ¡Nancy gana!
(6). ¡Nancy gana!
(5,2,3,2,1,6). Nancy pierde. Ay.

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que Nancy gane este juego?

Nancy puede ganar con un seis en la primera tirada. Eso tiene probabilidad 1/6. Entonces ella podría ganar en la ronda n donde\(n \geq 2\). Para lograr esto, tiene una probabilidad de 5/6 de rodar un número que no sea seis en el primer rollo; una probabilidad de 4/6 de rodar algo que evite una decisión de ganar/perder en cada una de las tiradas, 2 a través\(n−1\) y luego una probabilidad de 1/6 de rodar el número coincidente en la ronda\(n\). Entonces la probabilidad de una victoria viene dada por:

\(\dfrac{1}{6} + \displaystyle \sum_{n \geq 2} \dfrac{5}{6} \left(\dfrac{4}{6}\right)^{n-2} \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{12}\).

Ejemplo 10.28

Se podría pensar que algo un poco más general está acechando en el fondo del ejemplo anterior —y lo es. Supongamos que tenemos dos eventos disjuntos\(A\) y\(B\) en un espacio de probabilidad\((S,P)\) y eso\(P(A)+P(B)<1\). Entonces supongamos que hacemos muestras repetidas desde este espacio con cada muestra independiente de todas las anteriores. Llámalo una victoria si el evento\(A\) se mantiene y una pérdida si el evento\(B\) se mantiene. De lo contrario, es una corbata y volvemos a probar. Ahora la probabilidad de una victoria es:

\(P(A) + P(A) \displaystyle \sum_{n \geq 1} (1-P(A) - P(B))^n = \dfrac{P(A)}{P(A) + P(B)}\).