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12.5: Algunas aplicaciones

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Un gran y variado número de aplicaciones implica cálculos de potencias de matrices. Estas aplicaciones se pueden encontrar en la ciencia, las ciencias sociales, la economía, la ingeniería y, muchas otras áreas donde se utiliza la matemática. Consideraremos algunos ejemplos diversos de las matemáticas detrás de estas aplicaciones aquí.

Diagonalización

Comenzamos desarrollando una técnica útil para la computaciónAm,m>1. Si seA puede diagonalizar, entonces hay una matrizP tal queP1AP=D, dondeD está una matriz diagonal y

Am=PDmP1 for all m1

El comprobante de esta identidad fue un ejercicio en la Sección 5.4. La condición de queD sea una matriz diagonal no es necesaria pero cuando lo es, el cálculo en el lado derecho es particularmente fácil de realizar. Si bien la prueba formal se hace por inducción, la razón por la que es verdad se ve fácilmente escribiendo un ejemplo comom=3:

\ begin {ecuación*}\ begin {split} A^3 & =\ izquierda (P D P^ {-1}\ derecha) ^3\\ & =\ izquierda (P D P^ {-1}\ derecha)\ izquierda (P D P^ {-1}\ derecha)\ izquierda (P D P^ {-1}\ derecha)\\ &= P D\ izquierda (P^ {-1} P\ derecha)\ izquierda (P^ {-1} P\ derecha) D P^ {-1}\ quad\ textrm {por asociatividad de multiplicación matricial}\\ &= P D I D I D P^ {-1}\\ &= P D D D P^ {-1}\\ &= P D^3 P^ {-1}\\\ final {división}\ final {ecuación*}

Ejemplo12.5.1: Application to Recursion: Matrix Computation of the Fibonacci Sequence

Considerar el cómputo de términos de la Secuencia de Fibonnaci. Recordemos esoF0=1,F1=1 yFk=Fk1+Fk2 parak2.

Para formular el cálculo en forma de matriz, introdujimos la “ecuación ficticio”Fk1=Fk1 para que ahora tengamos dos ecuaciones

\ begin {ecuación*}\ begin {array} {c} f_k= F_ {k-1} +F_ {k-2}\\ F_ {k-1} = F_ {k-1}\\ end {array}\ end {ecuación*}

SiA=(1110), estas dos ecuaciones se pueden expresar en forma de matriz como

\ begin {ecuación*}\ begin {split}\ left (\ begin {array} {c} F_k\\ F_ {k-1}\\ end {array}\ right) &=\ left (\ begin {array} {cc} 1 & 1\\ 1 & 0\\ end {array}\\ right)\ left (\ begin {array} {c} F_ {k-1}\\ F_ {k-2}\\\ end {array}\ derecha)\ quad\ textrm {if} k\ geq 2\\ &= A\ left (\ begin {array} {c} F_ {k-1}\\ F_ {k- 2}\\\ end {array}\\ derecha)\\ &= A^2\ izquierda (\ begin {array} {c} F_ {k-2}\\ F_ {k-3}\\\ end {array}\ derecha)\ quad\ textrm {if} k\ geq 3\\ & etc.\\\ end {split}\ end {ecuación*}

Podemos usar la inducción para probar que sik2,

\ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {c} f_k\\ F_ {k-1}\\\ end {array}\ right) =A^ {k-1}\ left (\ begin {array} {c} 1\\ 1\\ end {array}\ derecha)\ end {equation*}

A continuación, diagonalizandoA y usando el hecho de queAm=PDmP1. podemos demostrar que

\ begin {ecuación*} f_k=\ frac {1} {\ sqrt {5}}\ izquierda (\ izquierda (\ frac {1+\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^k-\ izquierda (\ frac {1-\ sqrt {5}} {2}\ derecha) ^k\ derecha)\ end {ecuación*}

Algunos comentarios sobre este ejemplo:

  1. Una ecuación de la formaFk=aFk1+bFk2, dondea yb se dan constantes, se conoce como una ecuación lineal homogénea de diferencia de segundo orden. Las condicionesF0=c0 yF1=c1, dondec1 yc2 son constantes, se denominan condiciones iniciales. Aquellos de ustedes que estén familiarizados con las ecuaciones diferenciales pueden reconocer que este lenguaje es paralelo a lo que se usa en las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones de diferencia (también conocido como recurrencia) avanzan discretamente; es decir, en un número finito de pasos positivos. Por otro lado, una ecuación diferencial se mueve continuamente; es decir, toma un número infinito de pasos infinitesimales.
  2. Una relación de recurrencia de la formaSk=aSk1+b, dondea yb son constantes, se denomina ecuación de diferencia de primer orden. Para escribir la secuencia, necesitamos conocer una condición inicial. Ecuaciones de este tipo se pueden resolver de manera similar al método descrito en el ejemplo introduciendo la ecuación1=0Fk1+1 superflua para obtener en la ecuación matricial:
    \ begin {equation*}\ left (\ begin {array} {c} f_k\\ 1\\ end {array}\ right) =\ left (\ begin {array} {cc} a & b\\ 0 & 1\\\ end {array}\ right)\ left (\ begin {array} {c} S_ {k-1}\\ 1\\ end {array}\ right)\ textrm {}\ Rightarrow\ left (\ begin {array} {c} F_k\\ 1\\ end {array}\\ right) =\ left (\ begin {array} {cc} a & b\ 0 & 1\\\ end {array}\ right) ^k\ left (\ begin {array} {c} F_0\\ 1\\ end {array}\ right)\ end {equation*}

Contando

En el siguiente ejemplo, aplicamos el siguiente teorema, el cual puede ser probado por inducción.

Teorema12.5.1: Path Counting Theorem

SiA es la matriz de adyacencia de una gráfica con vértices{v1,v2,,vn}, entonces la entrada(Ak)ij es el número de rutas de longitudk de nodovi a nodovj.

Ejemplo12.5.2: Counting Paths with Diagonalization

Considera la gráfica en la Figura12.5.1.

clipboard_eb74b9f2dc98eefab7e74d2a5d0b4a852.pngFigura12.5.1: Contar números de trayectorias

Como vimos en la Sección 6.4, la matriz de adyacencia de esta gráfica esA=(110101011).

Recordemos queAk es la matriz de adyacencia de la relaciónrk, donder está la relación{(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(c,c)} de la gráfica anterior. También recordamos que en la computaciónAk, utilizamos la aritmética booleana. ¿Qué pasa si usamos aritmética “regular”? Si nosA cuadramos obtenemosA2=(211121112)

¿Cómo podemos interpretar esto? Observamos queA33=2 y que hay dos caminos de longitud dos dec (el tercer nodo) ac. También,A13=1, y hay una ruta de longitud 2 dea ac. El lector debe verificar estas afirmaciones examinando la gráfica.

Cómo calculamosAk para valores posiblemente grandes de Ak? partir de la discusión al inicio de esta sección, sabemos queAk=PDkP1 siA es diagonalizable. Dejamos al lector demostrar queλ=1,2, and 1 son valores propios deA con vectores propios

\ begin {ecuación*}\ left (\ begin {array} {c} 1\\ 0\\ -1\\\ end {array}\ right),\ left (\ begin {array} {c} 1\\ 1\\\ end {array}\\ right),\ textrm {y}\ left (\ begin {array} {c} {c} 1\ -2\ 1\\ final\ {array}\ derecha)\ end {ecuación*}

Entonces

\ begin {ecuación*} a^k= P\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 y 2^k & 0\\ 0 & 0 & (-1) ^k\\ end {array}\ derecha) P^ {-1}\ end {ecuación*}

dóndeP=(111012111) yP1=(12012131313161316)

Consulte Ejercicio12.5.5 de esta sección para la realización de este ejemplo.

Cálculo Matriz

Ejemplo12.5.3: Matrix Calculus - Exponentials

Quienes han estudiado el cálculo recuerdan que la serie Maclaurin es una forma útil de expresar muchas funciones comunes. Por ejemplo,ex=k=0xkk!. Indeed, calculadoras y computadoras utilizan estas series para los cálculos. Dado un polinomiof(x), definimos la matriz-polinomiof(A) para matrices cuadradas en el Capítulo 5. De ahí que estemos en condiciones de describireA para unan×n matrizA como límite de polinomios, las sumas parciales de la serie. Formalmente, escribimos

\ begin {ecuación*} e^a= I + A +\ frac {A^2} {2! } +\ frac {A^3} {3!} +\ cdots =\ suma _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {a^k} {k!} \ end {ecuación*}

Nuevamente nos encontramos con la necesidad de computar altas potencias de una matriz. DejarA ser una matrizn×n diagonalizable. Entonces existe unan×n matriz invertibleP tal queP1AP=D, una matriz diagonal, de modo que

\ begin {ecuación*}\ begin {split} e^a &=e^ {P D P^ {-1}}\\ & =\ sum _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {\ izquierda (P D P^ {-1}\ derecha) ^k} {k!} \\ & = P\ izquierda (\ sum _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {d^k} {k!} \ derecha) P^ {-1}\ end {split}\ end {ecuación*}

La suma infinita en medio de esta expresión final se puede evaluar fácilmente siD es diagonal. Todas las entradas de potencias de la diagonal son cero y lai th entrada de la diagonal es

\ begin {ecuación*}\ left (\ sum _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {d^k} {k!} \ derecha) {} _ {i i} =\ suma _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {D_ {i i} {} ^k} {k!} = e^ {D_ {ii}}\ final {ecuación*}

Por ejemplo, siA=(2123), la primera matriz la diagonalizamos en la Sección 12.3, encontramos queP=(1112) yD=(1004).

Por lo tanto,

\ begin {ecuación*}\ begin {split} e^a &=\ left (\ begin {array} {cc} 1 & 1\\ -1 & 2\\\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {cc} e & 0\\ 0 & e^4\\\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {cc}\ frac {2} {3} & -\ frac {1} {3}\\ frac {1} {3} &\ frac {1} {3}\\ end {array}\\ derecha)\\ &=\ izquierda ( \ begin {array} {cc}\ frac {2 e} {3} +\ frac {e^4} {3} & -\ frac {e} {3} +\ frac {e^4} {3}\ -\ frac {2 e} {3} +\ frac {2 e^4} {3} &\ frac {e} {3} +\ frac {2 e^4} {3}\\ end {array}\ derecha)\\ &\ approx\ izquierda (\ begin {array} {cc} 20.0116 & 17.2933\\ 34.5866 & 37.3049\\ end {array}\ right)\ end {split}\ end {split}\ end {ecuación*}

Observación12.5.1

Muchas de las ideas de cálculo se pueden desarrollar usando matrices. Por ejemplo, siA(t)=(t33t2+8tet2) entoncesdA(t)dt=(3t26t+8et0)

Muchas de las fórmulas básicas en el cálculo son ciertas en el cálculo matricial. Por ejemplo,

\ begin {ecuación*}\ frac {d (A (t) +B (t))} {d t} =\ frac {d A (t)} {d t} +\ frac {d B (t)} {d t}\ end {ecuación*}

y siA es una matriz constante,

\ comenzar {ecuación*}\ frac {d e^ {A t}} {d t} = A e^ {A t}\ fin {ecuación*}

El cálculo matricial se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de manera similar al procedimiento utilizado en las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Nota SageMath - Matriz Exponencial

El método exponencial matricial de Sage es exp.

1A=Matrix(QQ,[[2,1],[2,3]])
2A.exp()

Ejercicios

Ejercicio12.5.1

  1. Escribe todos los detalles de Ejemplo12.5.1 para mostrar que la fórmula paraFk dada en el texto es correcta.
  2. Utilizar la inducción para probar la afirmación hecha en el ejemplo de que(FkFk1)=Ak1(11)

Ejercicio12.5.2

  1. Haz el Ejemplo 8.3.7 usando el método descrito en Ejemplo12.5.1. Obsérvese que la ecuación característica terminológica, polinomio característico, y así sucesivamente, introducida en el Capítulo 8, proviene del lenguaje del álgebra matricial,
  2. ¿Cuál es la significación del Algoritmo 8.3.1, parte c, con respecto a esta sección?

Ejercicio12.5.3

ResuelveS(k)=5S(k1)+4, con elS(0)=0, uso del método de esta sección.

Ejercicio12.5.4

¿Cuántos caminos hay de longitud 6 desde el vértice 1 hasta el vértice 3 en la Figura12.5.2? ¿Cuántos caminos del vértice 2 al vértice 2 de longitud 6 hay?

clipboard_e8c7b9ccb823cfd06f14e5acb12f32f61.pngFigura12.5.2: Gráfica para el ejercicio12.5.4
Pista

El polinomio característico de la matriz de adyacencia esλ44λ2.

Ejercicio12.5.5

En cuanto al Ejemplo12.5.2,

  1. Utilice matrices para determinar el número de caminos de longitud 1 que existen desde el vérticea hasta cada uno de los vértices en la gráfica dada. Verificar usando la gráfica. Haga lo mismo para los vérticesb yc.
  2. Verifica todos los detalles proporcionados en el ejemplo.
  3. Utilice matrices para determinar el número de caminos de longitud 4 ahí entre cada par de nodos en la gráfica. Verifica tus resultados usando la gráfica.
Contestar
  1. Dado queA=A1=(110101011), hay 0 rutas de longitud 1 desde: nodo c a nodo a, nodo b a nodo b y nodo a nodo c; y hay 1 ruta de longitud 1 para cada otro par de nodos.
  2. El polinomio característico es|AcI|=|1c101c1011c|=c3+2c2+c2
    Resolviendo la ecuación característicac3+2c2+c2=0 encontramos soluciones 1, 2 y -1.
    Sic=1, encontramos el autovector asociado encontrando una solución distinta de cero a(010111010)(x1x2x3)=(000) Uno de estos, que será la primera columna deP, es(101)
    Sic=2, el sistema(110121011)(x1x2x3)=(000) produce vectores propios, incluyendo los(111), que serán la segunda columna deP.
    Sic=1, entonces el sistema que determina los vectores propios es(210111012)(x1x2x3)=(000) y podemos seleccionar(121), aunque cualquier múltiplo distinto de cero de este vector podría ser la tercera columna deP.
  3. Ensamblando los resultados de la parte (b) que tenemosP=(111012111).
    \ begin {ecuation*}\ begin {split} A^4 & = P\ left (\ begin {array} {ccc} 1^4 & 0 & 0\\ 0 & 2^4 & 0\\ 0 & 0 & (-1) ^ {4}\\ end {array}\\ derecha) P^ {-1} = P\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0\ 0 & 16 & 0\\ 0 & 0 & 1\\\ end {array}\ derecha) P^ {-1 }\\ &=\ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 16 & 1\\ 0 & 16 & -2\\ -1 & 16 & 1\\ end {array}\\ end {array}\ derecha)\ left (\ begin {array} {ccc}\ frac {1} {2} & 0 & -\ frac {1} {2}\\ frac {1} {3} &\ frac {1} {3} &\ frac {1} {3}\\ frac {1} {6} & -\ frac {1} {3} &\ frac {1} {6}\\ end {array}\ derecha)\ \ &=\ left (\ begin {array} {ccc} 6 & 5 & 5\\ 5 & 6 & 5\\ 5 & 5 & 5 & 6\\\ end {array}\ right)\\ end {split}\ end {equation*}
    De ahí que hay cinco caminos diferentes de longitud 4 entre vértices distintos, y seis caminos diferentes que comienzan y terminan en el mismo vértice. El lector puede verificar estos hechos desde la Figura12.5.1

Ejercicio12.5.6

LetA=(2112)

  1. EncuentraeA
  2. Recuérdalosinx=k=0(1)kxk(2k+1)! y computasinA.
  3. Formular una definición razonable del logaritmo natural de una matriz y calcularlnA.

Ejercicio12.5.7

Señalamos en el Capítulo 5 que dado que el álgebra matricial no es conmutativo bajo multiplicación, surgen ciertas dificultades. LetA=(1100) yB=(0002).

  1. CalculareA,eB, yeA+B. ComparareAeB,eBeA yeA+B.
  2. Mostrar que si00 es la matriz2×2 cero, entoncese00=I.
  3. Demostrar que siA yB son dos matrices que sí conmutan, entonces demostrandoeA+B=eAeB, con ello esoeA yeB conmutar.
  4. Demuéstralo para cualquier matrizA,(eA)1=eA.
Contestar
  1. eA=(ee00),eB=(000e2), yeA+B=(ee2e0e2)
  2. Dejar00 ser la matriz cero,e00=I+00+0022+0036+=I.
  3. Asumir esoA yB conmutar. Examinaremos los primeros términos en el productoeAeB. El patrón que se establece sí continúa en general. En lo que sigue, es importante queAB=BA. Por ejemplo, en el último paso,(A+B)2 se expanda aA2+AB+BA+B2, noA2+2AB+B2, si no podemos asumir la conmutatividad.
    \ begin {equation*}\ begin {split} e^ae^b &=\ left (\ sum _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {a^k} {k!} \ derecha)\ izquierda (\ suma _ {k=0} ^ {\ infty}\ frac {b^k} {k!} \ derecha)\\ & =\ izquierda (I + A+\ frac {A^2} {2} +\ frac {A^3} {6} +\ cdots\ derecha)\ izquierda (I +B+\ frac {B^2} {2} +\ frac {B^3} {6} +\ cdots\ derecha)\\ &= I + A + B+\ frac {A^2} {2} + A B +\ frac {B^2} {2} +\ frac {A^3} {6} +\ frac {A^2B} {2} +\ frac {A B^2} {2} +\ frac {B^3} {6} +\ cdots\\ &= I + (A+B) +\ frac {1} {2}}\ izquierda (A^2+ 2 A B + B^2\ derecha) +\ frac {1} {6}\ izquierda (A^3+ 3A^2B+ 3A B^2+ B^3\ derecha) +\ cdots\\ &=I + (A+B) +\ frac {1} {2} (A+B) ^2+\ frac {1} {6} (A+B) ^3+\ cdots\\ & =e^ {A+B}\\ final dividir}\ end {ecuación*}
  4. DesdeA yA conmutar, podemos aplicar la parte d;
    \ begin {equation*} e^ae^ {-A} = e^ {A+ (-A)} =e^ {\ pmb {0}} =I\ end {ecuación*}

Ejercicio12.5.8

Otra observación para matrices de adyacencia: Para la matriz en Ejemplo12.5.2, tenga en cuenta que la suma de los elementos en la fila correspondiente al nodoa (es decir, la primera fila) da el outdegree dea. Similarmente, la suma de los elementos en cualquier columna dada da el indegree del nodo correspondiente a esa columna.

clipboard_e65c5491291d8bcf09dc1566e4e478d08.pngFigura12.5.3: Gráfica para el ejercicio12.5.8
  1. Usando la matrizA de Ejemplo12.5.2, encuentra el outdegree y el indegree de cada nodo. Verificar por la gráfica.
  2. Repita la parte (a) para las gráficas dirigidas en la Figura12.5.3.

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