5.5: Reescalado Variable de Modelos de Tiempo Discreto
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Además de encontrar puntos de equilibrio y visualizar espacios de fase, hay muchos otros análisis matemáticos que puedes hacer para estudiar la dinámica de los modelos discreto-tiempo. Pero
antes de saltar directamente a ese trabajo matemático de papel y lápiz, me gustaría mostrarles una técnica muy útil que puede hacer que su trabajo matemático sea mucho más fácil. Se llama reescalado de variables.
La reescalación variable es una técnica para eliminar parámetros de tu modelo sin perder generalidad. La idea básica es esta: Las variables que aparecen en tu modelo representan cantidades que se miden en algún tipo de unidades, pero esas unidades pueden elegirse arbitrariamente sin cambiar la dinámica del sistema que se está modelando. Esto debe ser cierto para todas las cantidades científicas que tienen dimensiones físicas: ¡cambiar de pulgadas a centímetros no debería causar ningún cambio en la forma en que funciona la física! Esto significa que tiene la libertad de elegir cualquier unidad conveniente para cada variable, algunas de las cuales pueden simplificar sus ecuaciones de modelo.
Veamos cómo funciona la reescalación de variables con un ejemplo. Aquí está el modelo de crecimiento logístico que discutimos antes:
\[x_{t} = x_{t-1} +rx_{t-1} \left(1-\dfrac{x_{t-1}}{K}\right) \label{(5.20)} \]
Sólo hay una variable en este modelo\(x\), por lo que sólo hay una unidad que podemos cambiar, es decir, la unidad de los recuentos poblacionales. El primer paso de la reescalación de variables es reemplazar cada una de las variables con una nueva notación hecha de una constante distinta de cero y una nueva variable de estado, así:
\[x\rightarrow {\alpha}{x}' \label{(5.21)} \]
Con este reemplazo, la Ecuación\ ref {5.20} se convierte
\[{\alpha{x}_{t}}' =\alpha{x}'_{t-1} +r\alpha{x}'_{t-1} \left(1-\dfrac{\alpha{x}'_{t-1}}{K}\right). \label{(5.22)} \]
El segundo paso es simplificar la ecuación y luego encontrar una opción “conveniente” para la constante que simplifique su ecuación. Este es un proceso bastante abierto con muchas direcciones diferentes por recorrer, por lo que deberá hacer algunas exploraciones para averiguar qué tipo de opciones de unidades hacen que su modelo sea más simple. Para el modelo de crecimiento logístico, la ecuación\ ref {5.22} puede simplificarse aún más, por ejemplo, como
\[ \begin{align} {x}'_{t} &={x}'_{t-1} +r{x}'_{t-1} \left(1-\dfrac{\alpha{x}'_{t-1}}{K}\right) \label{(5.23)} \\[4pt] &= {x}'_{t-1}\left(1+r\left(1-\dfrac{\alpha{x}'_{t-1}}{K}\right)\right) \label{(5.24)} \\[4pt] &= {x}'_{t-1} \left(1+r-\dfrac{r\alpha{x}'_{t-1}}{K} \right) \label{(5.25)} \\[4pt] &= (1+r){x}'_{t-1} \left(1-\dfrac{r\alpha{x}'_{t-1}}{K(1+r)}\right). \label{(5.26)} \end{align} \]
Aquí, la elección más conveniente de\(α\) sería\(α = \dfrac{K(1 + r)}{r}\label{(5.26B)} \) con qué Ecuación\ ref {5.26} se convierte
\[{x}'_{t}=(1+r){x}'_{t-1}(1-{x}'_{t-1}). \label{(5.27)} \]
Además, siempre se pueden definir nuevos parámetros para simplificar aún más las ecuaciones. Aquí, se puede definir un nuevo parámetro\({r}' = 1+r\), con el que se obtiene la siguiente ecuación final:
\[{x}'_{t} ={r}'{x}'_{t-1}(1-{x}'_{t-1}) \label{(5.28)} \]
Tenga en cuenta que esta no es la única forma de reescalar variables; hay otras formas de simplificar el modelo. No obstante, tal vez te sorprenda ver lo simple que puede llegar a ser el modelo. La dinámica del modelo reescalado sigue siendo exactamente la misma que antes, es decir, el modelo original y el modelo reescalado tienen las mismas propiedades matemáticas. Podemos aprender algunas cosas más de este resultado.
- Primero, la Ecuación\ ref {5.26B} nos dice cuál es la unidad significativa para que utilices en la medición de la población en este contexto.
- Segundo, aunque el modelo original parecía tener dos parámetros (\(r\)y\(K\)), este modelo esencialmente tiene un solo parámetro\({r}'\), por lo que explorar los valores de\({r}'\) debería darte todas las dinámicas posibles del modelo (es decir, no hay necesidad de explorar en el\(r-K\) parámetro espacio).
En general, si tu modelo tiene\(k\) variables, es posible que puedas eliminar hasta\(k\) parámetros del modelo mediante reescalado de variables (pero no siempre). Por cierto, esta versión simplificada del modelo de crecimiento logístico obtenido anteriormente,
\[x_{t} =rx_{t-1}(1-x_{t-1}), \label{(5.29)} \]
tiene un nombre designado; se llama el mapa logístico y es posiblemente el mapa iterativo 1-D no lineal más estudiado. Esto se discutirá con más detalle en el Capítulo 8. Aquí hay un resumen de la reescalación de variables:
Debe probar la reescalación de variables para eliminar tantos parámetros como sea posible de su modelo antes de realizar un análisis matemático. Es posible que pueda eliminar tantos parámetros como las variables en su modelo. Para reescalar variables, haga lo siguiente:
- Reemplazar todas las variables con una constante distinta de cero multiplicada por una nueva variable.
- Simplificar las ecuaciones del modelo.
- Encuentre opciones “convenientes” para las constantes que harán que sus ecuaciones sean lo más simples posible.
- Definir nuevos parámetros, según sea necesario, para simplificar aún más las ecuaciones.
Simplifique la siguiente ecuación de diferencia mediante reescalado de variables:
\[x_{t} =\dfrac{a}{x_{t-1}+b} \label{(5.30)} \]
Simplifique el siguiente modelo bidimensional de ecuaciones de diferencia depredador-presa mediante reescalado variable:
\[x_{t} =x_{t-1}+rx_{t-1} \left(1-\dfrac{x_{t-1}}{K}\right)- \left(1-\dfrac{1}{by_{t-1} +1}\right) x_{t-1} \label{(5.31)} \]
\[y_{t} =y_{t-1} -dy_{t-1} +cx_{t-1}y_{t-1} \label{(5.32)} \]