7.2: Ecuaciones separables
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Una oda de primer orden es separable si se puede escribir en la forma
\[g(y) \frac{d y}{d x}=f(x), \quad y\left(x_{0}\right)=y_{0} \nonumber \]
donde la función\(g(y)\) es independiente\(x\) y\(f(x)\) es independiente de\(y\). Integración de\(x_{0}\) a\(x\) resultados en
\[\int_{x_{0}}^{x} g(y(x)) y^{\prime}(x) d x=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x \nonumber \]
La integral de la izquierda se puede transformar sustituyendo\(u=y(x), d u=y^{\prime}(x) d x\), y cambiando los límites inferior y superior de integración a\(y\left(x_{0}\right)=y_{0}\) y\(y(x)=y\). Por lo tanto,
\[\int_{y_{0}}^{y} g(u) d u=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x, \nonumber \]
y como\(u\) es una variable ficticio de integración, podemos escribir esto en la forma equivalente
\[\int_{y_{0}}^{y} g(y) d y=\int_{x_{0}}^{x} f(x) d x \nonumber \]
Un procedimiento más sencillo que también produce la Ecuación\ ref {7.3} es tratar\(d y / d x\) en la Ecuación\ ref {7.2} como una fracción. Multiplicando la ecuación\ ref {7.2} por\(d x\) resultados en
\[g(y) d y=f(x) d x, \nonumber \]
que es una ecuación separada con todas las variables dependientes en el lado izquierdo, y todas las variables independientes en el lado derecho. Ecuación Ecuación\ ref {7.3} luego resulta directamente sobre la integración.
Resolver\(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2} y=\frac{3}{2}\), con\(y(0)=2\).
Solución
Primero manipulamos la ecuación diferencial a la forma
\[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}(3-y) \nonumber \]
y luego tratar\(d y / d x\) como si fuera una fracción para separar variables:
\[\frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} d x \nonumber \]
Integramos el lado derecho desde la condición inicial\(x=0\) hasta\(x\) y el lado izquierdo desde la condición inicial\(y(0)=2\) hasta\(y\). En consecuencia,
\[\int_{2}^{y} \frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} d x \nonumber \]
Las integrales en la Ecuación\ ref {7.5} necesitan ser hechas. Tenga en cuenta que\(y(x)<3\) para finitos\(x\) o la integral en el lado izquierdo diverge. Por lo tanto,\(3-y>0\) y rendimientos de integración
\[\begin{gathered} \left.-\ln (3-y)]_{2}^{y}=\frac{1}{2} x\right]_{0^{\prime}}^{x} \\ \ln (3-y)=-\frac{1}{2} x \\ 3-y=e^{-x / 2} \\ y=3-e^{-x / 2} \end{gathered} \nonumber \]
Dado que esta es nuestra primera solución analítica no trivial, es prudente verificar nuestro resultado. Esto lo hacemos diferenciando nuestra solución:
\[\begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\frac{1}{2} e^{-x / 2} \\ &=\frac{1}{2}(3-y) \end{aligned} \nonumber \]
y comprobando el estado inicial,\(y(0)=3-e^{0}=2\). Por lo tanto, nuestra solución satisface tanto la oda original como la condición inicial.
Resolver\(\frac{d y}{d x}+\frac{1}{2} y=\frac{3}{2}\), con\(y(0)=4\).
Solución
Esta es la ecuación diferencial idéntica a la anterior, pero con diferentes condiciones iniciales. Saltaremos directamente al paso de integración:
\[\int_{4}^{y} \frac{d y}{3-y}=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} d x . \nonumber \]
Ahora\(y(x)>3\), para que\(y-3>0\) y la integración rinda
\[\begin{gathered} \left.-\ln (y-3)]_{4}^{y}=\frac{1}{2} x\right]_{0^{\prime}}^{x} \\ \ln (y-3)=-\frac{1}{2} x \\ y-3=e^{-x / 2} \\ y=3+e^{-x / 2} \end{gathered} \nonumber \]
Las curvas de solución para un rango de condiciones iniciales se presentan en la Fig. 7.2. Todas las soluciones tienen una asíntota horizontal\(y=3\) en la que\(d y / d x=0\). Para\(y(0)=y_{0}\), se puede demostrar que la solución general es\(y(x)=3+\left(y_{0}-3\right) \exp (-x / 2)\).
Resolver\(\frac{d y}{d x}=\frac{2 \cos 2 x}{3+2 y}\), con\(y(0)=-1\). (i) ¿Para qué valores\(x>0\) existe la solución? ii) ¿Para qué valor de\(x>0\) es\(y(x)\) máximo?
Solución
Observe que el derivado de\(y\) diverge cuando\(y=-3 / 2\), y que esto puede ocasionar algunos problemas con una solución.
Resolvemos la oda separando variables e integrando de las condiciones iniciales:
\[\begin{gathered} (3+2 y) d y=2 \cos 2 x d x \\ \int_{-1}^{y}(3+2 y) d y=2 \int_{0}^{x} \cos 2 x d x \\ \left.\left.3 y+y^{2}\right]_{-1}^{y}=\sin 2 x\right]_{0}^{x} \\ y^{2}+3 y+2-\sin 2 x=0 \\ y_{\pm}=\frac{1}{2}[-3 \pm \sqrt{1+4 \sin 2 x}] \end{gathered} \nonumber \]
Resolver la ecuación cuadrática para\(y\) ha introducido una solución espuria que no satisface las condiciones iniciales. Probamos:
\[y_{\pm}(0)=\frac{1}{2}[-3 \pm 1]=\left\{\begin{array}{l} -1 \\ -2 \end{array}\right. \nonumber \]
Solo la\(+\) raíz satisface la condición inicial, por lo que la solución única a la oda y condición inicial es
\[y=\frac{1}{2}[-3+\sqrt{1+4 \sin 2 x}] . \nonumber \]
Para determinar (i) los valores\(x>0\) para los cuales existe la solución, requerimos
\[1+4 \sin 2 x \geq 0 \nonumber \]
o
\[\sin 2 x \geq-\frac{1}{4} \nonumber \]
Observe que en\(x=0\), tenemos\(\sin 2 x=0\); en\(x=\pi / 4\), tenemos\(\sin 2 x=1\); en\(x=\pi / 2\), tenemos\(\sin 2 x=0\); y en\(x=3 \pi / 4\),\(\sin 2 x=-1\) tenemos Por lo tanto, necesitamos determinar el valor de \(x\)tal que\(\sin 2 x=-1 / 4\), con\(x\) en el rango\(\pi / 2<x<3 \pi / 4\). La solución a la oda entonces existirá para todos\(x\) entre cero y este valor.
Para resolver\(\sin 2 x=-1 / 4\) para\(x\) en el intervalo\(\pi / 2<x<3 \pi / 4\), es necesario recordar la definición de arcsin, o\(\sin ^{-1}\), como se encuentra en una calculadora científica típica. La inversa de la función
\[f(x)=\sin x, \quad-\pi / 2 \leq x \leq \pi / 2 \nonumber \]
se denota por arcsin. La primera solución con\(x>0\) de la ecuación\(\sin 2 x=-1 / 4\) coloca\(2 x\) en el intervalo\((\pi, 3 \pi / 2)\), así que para invertir esta ecuación usando el arcoseno necesitamos aplicar la identidad\(\sin (\pi-x)=\sin x\), y reescribir\(\sin 2 x=-1 / 4\) como \(\sin (\pi-2 x)=-1 / 4\). La solución de esta ecuación se puede encontrar tomando el arcoseno, y es
\[\pi-2 x=\arcsin (-1 / 4), \nonumber \]
\[x=\frac{1}{2}\left(\pi+\arcsin \frac{1}{4}\right) . \nonumber \]
Por lo tanto la solución existe para\(0 \leq x \leq(\pi+\arcsin (1 / 4)) / 2=1.6971 \ldots\), donde hemos utilizado un valor de calculadora (calculando en radianes) para encontrar\(\arcsin Equation \ref{0.25}=\)\(0.2527 \ldots\) En el valor\((x, y)=(1.6971 \ldots,-3 / 2)\), la curva de solución termina y\(d y / d x\) se vuelve infinita.
Para determinar (ii) el valor de\(x\) al cual\(y=y(x)\) es máximo, examinamos la Ecuación\ ref {7.6} directamente. El valor de\(y\) será máximo cuando\(\sin 2 x\) tome su valor máximo sobre el intervalo donde exista la solución. Esto será cuando\(2 x=\pi / 2\), o\(x=\pi / 4=0.7854 \ldots\)
El gráfico de\(y=y(x)\) se muestra en la Fig. 7.3.