8.9: Resonancia amortiguada

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Ahora resolvemos las ecuaciones adimensionales dadas por la Ecuación\ ref {8.34}, Ecuación\ ref {8.35} y Ecuación\ ref {8.36}, escritas aquí como

\[\ddot{x}+\alpha \dot{x}+x=\cos \beta t, \label{8.37}\]

donde las limitaciones físicas de nuestras tres aplicaciones lo requieran\(\alpha>0\). La ecuación homogénea tiene ecuación característica

\[r^{2}+\alpha r+1=0 \nonumber \]

para que las soluciones sean

\[r_{\pm}=-\frac{\alpha}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{\alpha^{2}-4} \nonumber \]

Cuando\(\alpha^{2}-4<0\), se dice que el movimiento del oscilador no forzado está amortiguado; cuándo\(\alpha^{2}-4>0\), sobreamortiguado; y cuándo\(\alpha^{2}-4=0\), amortiguado críticamente. Para los tres tipos de amortiguamiento, las raíces de la ecuación característica satisfacen\(\operatorname{Re}\left(r_{\pm}\right)<0\). Por lo tanto, ambas soluciones homogéneas linealmente independientes se descomponen exponencialmente a cero, y la solución asintótica de larga duración de la Ecuación\ ref {8.37} se reduce a la solución particular no en descomposición. Dado que las condiciones iniciales son satisfechas por las constantes libres multiplicando las soluciones homogéneas en descomposición, la solución asintótica de larga duración es independiente de las condiciones iniciales.

Si sólo nos interesa la solución asintótica de larga duración de la Ecuación\ ref {8.37}, podemos proceder directamente a la determinación de una solución particular. Como antes, consideramos que la compleja oda

\[\ddot{z}+\alpha \dot{z}+z=e^{i \beta t}, \nonumber \]

con\(x_{p}=\operatorname{Re}\left(z_{p}\right)\). Con el ansatz\(z_{p}=A e^{i \beta t}\), tenemos

\[-\beta^{2} A+i \alpha \beta A+A=1 \nonumber \]

o

\[\begin{align} A &=\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)+i \alpha \beta} \\ &=\left(\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}\right)\left(\left(1-\beta^{2}\right)-i \alpha \beta\right) . \label{8.38} \end{align} \]

Para determinar\(x_{p}\), utilizamos la forma polar de un número complejo. El número complejo se\(z=x+i y\) puede escribir en forma polar como\(z=r e^{i \phi}\), dónde\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) y\(\tan \phi=y / x\). Por lo tanto escribimos

\[\left(1-\beta^{2}\right)-i \alpha \beta=r e^{i \phi}, \nonumber \]

con

\[r=\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}, \quad \tan \phi=-\frac{\alpha \beta}{1-\beta^{2}} . \nonumber \]

Usando la forma polar,\(A\) en la Ecuación\ ref {8.38} se convierte

\[A=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) e^{i \phi} \nonumber \]

y\(x_{p}=\operatorname{Re}\left(A e^{i \beta t}\right)\) se convierte

\[\begin{align} x_{p} &=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) \operatorname{Re}\left\{e^{i(\beta t+\phi)}\right\} \\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2}}}\right) \cos (\beta t+\phi) \label{8.39}\end{align} \]

Concluimos con un par de observaciones sobre la Ecuación\ ref {8.39}. Primero, si la frecuencia de forzamiento\(\omega\) es igual a la frecuencia natural\(\omega_{0}\) del oscilador sin amortiguar, entonces\(\beta=1\) y\(A=1 / i \alpha\), y\(x_{p}=(1 / \alpha) \sin t\). Se observa que la posición del oscilador está\(\pi / 2\) desfasada con la fuerza externa, o en otras palabras, la velocidad del oscilador, no la posición, está en fase con la fuerza. Segundo, el valor de\(\beta\) que maximiza la amplitud de oscilación es el valor de\(\beta\) que minimiza el denominador de la Ecuación\ ref {8.39}. Para determinar\(\beta_{m}\) minimizamos así la función\(g\left(\beta^{2}\right)\) con respecto a\(\beta^{2}\), donde

\[g\left(\beta^{2}\right)=\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+\alpha^{2} \beta^{2} . \nonumber \]

Tomando la derivada de\(g\) con respecto a\(\beta^{2}\) y fijándola a cero para determinar\(\beta_{m}\) rendimientos

\[-2\left(1-\beta_{m}^{2}\right)+\alpha^{2}=0 \nonumber \]

o

\[\beta_{m}=\sqrt{1-\frac{\alpha^{2}}{2}} \approx 1-\frac{\alpha^{2}}{4}, \nonumber \]

la última aproximación válida si\(\alpha<<1\) y el coeficiente de amortiguación adimensional es pequeño. Podemos interpretar este resultado diciendo que la pequeña amortiguación baja ligeramente la frecuencia de “resonancia” del oscilador sin amortiguar.