5.4: Ecuación de Laplace

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Figura$\PageIndex{1}$: Una lámina conductora aislada desde arriba y abajo.

En una lámina cuadrada conductora del calor, aislada desde arriba y abajo

\[\frac{1}{k}\dfrac{\partial}{\partial t} u = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} u + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} u. \nonumber \]

Si estamos buscando una solución de estado estacionario, es decir, nos tomamos$u(x,y,t)=u(x,y)$ el tiempo derivado no contribuye, y obtenemos la ecuación de Laplace

\[\dfrac{\partial^2}{\partial x^2} u + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} u=0, \nonumber \]

un ejemplo de una ecuación elíptica. Veamos una vez más una placa cuadrada de tamaño$a\times b$, e impongamos las condiciones de límite

\[\begin{align} u(x,0) & = 0, \nonumber\\ u(a,y) & = 0, \nonumber\\ u(x,b) & = x, \nonumber\\ u(0,y) & = 0.\end{align} \nonumber \]

(Esta elección se realiza para poder evaluar las series de Fourier fácilmente. ¡No es muy realista!) Una vez más separamos variables,

\[u(x,y) = X(x) Y(y), \nonumber \]

y definir

\[\frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda. \nonumber \]

o explícitamente

\[X'' = -\lambda X,\;\;Y''=\lambda Y. \nonumber \]

Con condiciones de límite$X(0)=X(a)=0$,$Y(0)=0$. Quedan por implementar las condiciones del 3er límite.

Una vez más distinguir tres casos:

$\lambda>0$

$X(x) = \sin \alpha_n(x)$,$\alpha_n=\frac{n\pi}{a}$,$\lambda_n=\alpha_n^2$. ENCONTRAMOS

\[\begin{align} Y(y) &= C_n\sinh \alpha_n y + D_n \cosh \alpha _n y \nonumber\\[4pt] &= C'_n\exp (\alpha_n y) + D'_n \exp(- \alpha _n y).\end{align} \nonumber \]

Ya$Y(0)=0$ que encontramos$D_n=0$ ($\sinh(0)=0,\cosh(0)=1$).

$\lambda \leq 0$

Sin soluciones

Así que tenemos

\[u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\alpha_n x \sinh \alpha_n y \nonumber \]

La condición de límite restante da

\[u(x,b) = x = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\alpha_n x \sinh \alpha_n b. \nonumber \]

Esto lleva a la serie de Fourier de$x$,

\[\begin{align} b_n \sinh \alpha_n b &= \frac{2}{a} \int_0^a x \sin \frac{n\pi x}{a}dx \nonumber\\ &= \frac{2 a }{n\pi}(-1)^{n+1}.\end{align} \nonumber \]

Entonces, en definitiva, tenemos

\[V(x,y) = \frac{2a}{\pi} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{\sin \frac{n\pi x}{a}\sinh \frac{n\pi y}{a}}{n \sinh \frac{n\pi b}{a}}. \nonumber \]

Ejercicio$\PageIndex{1}$

La dependencia de$x$ entra a través de una función trigonométrica, y la de$y$ a través de una función hiperbólica. Sin embargo, la ecuación diferencial es simétrica bajo intercambio de$x$ y$y$. ¿Qué pasa?

Contestar: La simetría se rompe por las condiciones de contorno.