3.4: Ejemplos más realistas de límites y condiciones iniciales
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Considere una cadena fija en\(x=0\) y\(x=a\), como en la Figura\(\PageIndex{1}\)
Satisface la ecuación de onda
\[\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\space \space\space\qquad 0<x<a, \nonumber \]
con condiciones de contorno\[u(0,t) = u(a,t) = 0, \qquad t>0, \nonumber \]
y condiciones iniciales,
\[u(x,0) = f(x), \frac{\partial u}{\partial x}(x,0) = g(x). \nonumber \]
Una cadena con puntos finales libremente flotantes
Considera una cuerda con extremos sujetos a cojinetes de aire que se fijan a una varilla ortogonal al\(x\) eje. Dado que los rodamientos flotan libremente no debe haber fuerza a lo largo de las varillas, lo que significa que la cuerda es horizontal en los cojinetes (Figura\(\PageIndex{2}\)).
Satisface la ecuación de onda con las mismas condiciones iniciales que las anteriores, pero las condiciones límite ahora son\[\frac{\partial u}{\partial x} (0,t) = \frac{\partial u}{\partial x} (a,t) = 0, \space\space \qquad t>0. \nonumber \] Estas son claramente del tipo von Neumann.
Una cadena con extremos fijos a cadenas
Para ilustrar las condiciones de contorno mixto hacemos un artilugio aún más complicado donde fijamos los extremos de la cuerda a resortes, con equilibrio en\(y=0\), ver Figura\(\PageIndex{3}\) para un boceto.
La ley de Hook establece que la fuerza ejercida por el resorte (a lo largo del\(y\) eje) es\(F=-ku(0,t)\), donde\(k\) está la constante del resorte. Esto debe ser equilibrado por la fuerza de la cuerda sobre el resorte, que es igual a la tensión\(T\) en la cuerda. El componente paralelo al\(y\) eje es\(T\sin\alpha\), donde\(\alpha\) está el ángulo con la horizontal, ver Figura\(\PageIndex{4}\).
Para pequeños\(\alpha\) tenemos
\[\sin\alpha \approx \tan\alpha = \frac{\partial u}{\partial x}(0,t). \nonumber \]
Ya que ambas fuerzas deberían cancelar encontramos
\[ {u}(0,t) -\frac{T}{k} \frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \qquad t>0, \nonumber \]
y
\[ u(a,t) -\frac{T}{k} \frac{\partial u}{\partial x}(a,t) = 0, \nonumber \]
Se trata de condiciones de límite mixtas.