8.2: Tres casos para λ

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Como de costumbre consideramos los casos\(\lambda>0\),\(\lambda<0\) y\(\lambda=0\) por separado. Consideremos primero la\(\Phi\) ecuación, ya que ésta tiene las condiciones de límite explícitas más restrictivas (8.1.4).

\(\lambda=-a^2<0\)

Tenemos\[\Phi'' = \alpha^2\Phi, \nonumber \] que resolver cual tiene como solución\[\Phi(\phi) = A \cos \alpha \phi + B \sin \alpha \phi. \nonumber \] Aplicando las condiciones de contorno, obtenemos\[\begin{aligned} A &= A \cos(2\alpha\pi)+ B\sin(2\alpha\pi), \\ B \alpha &= -A \alpha\sin(2\alpha\pi)+ B\alpha\cos(2\alpha\pi).\end{aligned} \nonumber \] Si eliminamos uno de los coeficientes de la ecuación, obtenemos\[A = A \cos(2\alpha\pi)-A\sin(2\alpha\pi)^2/(1-cos(2\alpha\pi)) \nonumber \] cuál lleva a lo\[\sin(2\alpha\pi)^2=-(1-cos(2\alpha\pi))^2, \nonumber \] que a su vez se muestra\[2\cos(2\alpha\pi)=2, \nonumber \] y así solo tenemos una solución distinta de cero para\(\alpha=n\), un número entero. Hemos encontrado\[\lambda_n=n^2,\;\;\Phi_n(\phi) = A_n \cos n \phi + B_n \sin n \phi. \nonumber \]

\(\lambda=0\)

Tenemos\[\Phi'' = 0 . \nonumber \] Esto implica que\[\Phi = A\phi + B. \nonumber \] Se cumplen las condiciones límite para\(A=0\),\[\Phi_0(\phi)=B_n. \nonumber \]

\(\lambda>0\)

La solución (senos hiperbólicos y cosenos) no puede satisfacer las condiciones límite.

Ahora permítanme ver la solución de la\(R\) ecuación para cada uno de los dos casos (pueden tratarse como uno solo),\[\rho^2 R''(\rho) + \rho R'(\rho) -n^2R(\rho)=0. \nonumber \] Intentemos una solución de serie de potencia (este método se discutirá con gran detalle en una futura conferencia)\[R(\rho) =\rho^\alpha. \nonumber \] Encontramos la ecuación\[\rho^\alpha[\alpha(\alpha-1)+\alpha^2-n^2]= \rho^\alpha[\alpha^2-n^2]=0 \nonumber \] Si así\(n\neq 0\) tenemos dos soluciones independientes (como debería ser)\[R_n(\rho) = C\rho^{-n}+D\rho^n \nonumber \] El término con el poder negativo de\(\rho\) diverge como\(\rho\) va a cero. Esto no es aceptable para una cantidad física (como la temperatura). Mantenemos la solución regular,\[R_n(\rho) = \rho^n. \nonumber \] pues solo\(n=0\) encontramos una solución, pero no es muy difícil demostrar (e.g., por sustitución) que la solución general es\[R_0(\rho) = C_0 + D_0\ln(\rho). \nonumber \] Rechazamos el logaritmo ya que diverge en\(\rho=0\).