9.1: Método de Frobenius

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Veamos la ecuación diferencial muy simple (ordinaria),\[y''(t) = t\,y(t), \nonumber \] con condiciones iniciales\(y(0) = a\),\(y'(0)=b\). Supongamos que hay una solución que es analítica cercana\(t=0\). Esto significa que cerca de\(t=0\) la función tiene una serie de Taylor

\[y(t) = c_0 + c_1 t + \ldots = \sum_{k=0}^\infty c_k t^k. \nonumber \]

(Pasaremos por alto las cuestiones de convergencia.) Vamos a proceder

\[\begin{align} y'(t) &= c_1 + 2c_2 t +\ldots &= \sum_{k=1}^\infty k c_k t^{k-1}, \nonumber\\ y''(t) &= 2c_2+3\cdot 2 t +\ldots &= \sum_{k=2}^\infty k(k-1) c_k t^{k-2}, \nonumber\\ t y(t) &= c_0t + c_1 t^2 + \ldots &= \sum_{k=0}^\infty c_k t^{k+1}.\end{align} \nonumber \]

Combinando esto juntos tenemos\[\begin{align} y''-ty &= [2c_2+3\cdot 2 t +\ldots] - [c_0t + c_1 t^2 + \ldots] \nonumber\\ &= 2c_2+(3\cdot2 c_3-c_0)t+\ldots\nonumber\\ &= 2c_2+\sum_{k=3}^\infty\left\{k(k-1)c_k-c_{k-3}\right\}t^{k-2}.\end{align} \nonumber \]

Aquí hemos recogido términos de igual poder de\(t\). El motivo es sencillo. Estamos requiriendo una serie de potencia para igualar\(0\). La única manera que puede funcionar es si cada potencia de\(x\) en la serie de potencias tiene coeficiente cero. (Comparar un polinomio finito...) Así encontramos\[c_2=0,\;\;k(k-1) c_k = c_{k-3}. \nonumber \] La última relación se llama una relación de recurrencia de recursión, que podemos usar para arrancar a partir de un valor dado, en este caso\(c_0\) y\(c_1\). Una vez que conocemos estos dos números, podemos determinar\(c_3\),\(c_4\) y\(c_5\):

\[c_3= \frac{1}{6}c_0,\;\;\;c_4= \frac{1}{12}c_1,\;\;\;c_5=\frac{1}{20}c_2=0. \nonumber \]

Estos a su vez se pueden utilizar para determinar\(c_6,c_7,c_8\), etc. No es demasiado difícil encontrar una expresión explícita para los\(c\)'s

\[\begin{align} c_{3m} &= \frac{3m-2}{(3m)(3m-1)(3m-2)} c_{3(m-1)} \nonumber\\ &= \frac{3m-2}{(3m)(3m-1)(3m-2)} \frac{3m-5}{(3m-3)(3m-4)(3m-5)} c_{3(m-1)} \nonumber\\ &= \frac{(3m-2)(3m-5)\ldots 1}{(3m)!} c_0, \nonumber\\ c_{3m+1} &= \frac{3m-1}{(3m+1)(3m)(3m-1)} c_{3(m-1)+1} \nonumber\\ &= \frac{3m-1}{(3m+1)(3m)(3m-1)} \frac{3m-4}{(3m-2)(3m-3)(3m-4)} c_{3(m-2)+1} \nonumber\\ &= \frac{(3m-2)(3m-5)\ldots 2}{(3m+1)!} c_1, \nonumber\\ c_{3m+1} &= 0.\end{align} \nonumber \]

La solución general es así

\[y(t) = a \left[1+\sum_{m=1}^\infty c_{3m}t^{3m}\right] + b \left[1+\sum_{m=1}^\infty c_{3m+1}t^{3m+1}\right] . \nonumber \]

Se puede demostrar que la técnica esbozada aquí funciona para cualquier ecuación diferencial\[y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=f(t) \nonumber \] siempre que\(p(t)\),\(q(t)\) y\(f(t)\) son analíticos en\(t=0\). Por lo tanto si\(p\),\(q\) y\(f\) tienen una expansión en serie de potencia, también lo ha hecho\(y\).