9.2: Puntos Singulares
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Como de costumbre hay un inconveniente. La mayoría de las ecuaciones de interés son de una forma donde\(p\) y/o\(q\) son singulares en el punto\(t_0\) (generalmente\(t_0=0\)). Cualquier punto\(t_0\) donde\(p(t)\) y\(q(t)\) sean singulares se denomina punto singular. De mayor interés son una clase especial de puntos singulares llamados puntos singulares regulares, donde la ecuación diferencial se puede dar como
\[(t-t_0)^2 y''(t) + (t-t_0) \alpha(t) y'(t) + \beta(t)y(t) = 0, \nonumber \]
con\(\alpha\) y\(\beta\) analítico en\(t=t_0\). Supongamos que este punto lo es\(t_0=0\). El método de Frobenius consiste en la siguiente técnica: En la ecuación
\[x^2 y''(x) + x \alpha(x) y'(x) + \beta(x)y(x) = 0, \nonumber \]
asumimos una solución en serie generalizada de la forma
\[y(x)=x^\gamma \sum_{n=0}^\infty c_n x^k . \nonumber \]
Equiparando potencias de\(x\) encontramos\[\gamma(\gamma-1) c_0 x^\gamma + \alpha_0 \gamma c_0 x^\gamma + \beta_0c_0 x^\gamma = 0, \nonumber \] etc. La ecuación para la potencia más baja de se\(x\) puede reescribir como
\[\gamma(\gamma-1) + \alpha_0\gamma + \beta_0 = 0. \label{indicial} \]
La ecuación\ ref {indicial} se llama la ecuación indicial. Se trata de una ecuación cuadrática en\(\gamma\), que suele tener dos raíces (complejas). Déjenme llamar a estos\(\gamma_1\),\(\gamma_2\). Si no\(\gamma_1-\gamma_2\) es entero se puede probar que las soluciones de dos series para\(y\) con estos dos valores de\(\gamma\) son soluciones independientes.
Veamos un ejemplo\[t^2 y''(t) + \frac{3}{2} t y'(t) + ty = 0. \nonumber \] Aquí\(\alpha(t)=3/2\),\(\beta(t)=t\), así\(t=0\) es efectivamente un punto singular regular. La ecuación indicial es
\[\gamma(\gamma-1)+\frac{3}{2}\gamma = \gamma^2+\gamma/2 = 0. \nonumber \]
que tiene raíces\(\gamma_1=0\),\(\gamma_2=-1/2\), lo que da dos soluciones independientes
\[\begin{align} y_1(t)&= \sum_{k}c_kt^k,\nonumber\\ y_2(t)&= t^{-1/2}\sum_{k}d_kt^k.\nonumber\end{align} \nonumber \]
Las soluciones independientes son realmente muy similares a los vectores independientes: Dos o más funciones son independientes si ninguna de ellas puede escribirse como una combinación de las otras. Así\(x\) y\(1\) son independientes, y\(1+x\) y\(2+x\) son dependientes.