8.6: Serie Geométrica
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Las series infinitas ocurren a menudo en matemáticas y física. Dos series Las cuales ocurren a menudo son las series geométricas y las series binomiales. Los discutiremos a continuación.
Una serie geométrica es de la forma
\[\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n}=a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n}+\ldots \nonumber \]
Aquí\(a\) está el primer término y\(r\) se llama la relación. Se llama la relación porque la relación de dos términos consecutivos en la suma es\(r\).
\[1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots \nonumber \]
es un ejemplo de una serie geométrica. Podemos escribir esto usando notación de suma,
\[1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots=\sum_{n=0}^{\infty} 1\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \nonumber \]
Así,\(a=1\) es el primer término y\(r=\dfrac{1}{2}\) es la relación común de términos sucesivos.
A continuación, buscamos la suma de esta serie infinita, si existe.
La suma de una serie geométrica, cuando existe, se puede determinar fácilmente. Consideramos\(n\) la suma parcial:
\[s_{n}=a+a r+\ldots+a r^{n-2}+a r^{n-1} \nonumber \]
Ahora bien, multiplica esta ecuación por\(r\).
\[r s_{n}=a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+a r^{n} \nonumber \]
Restando estas dos ecuaciones, al tiempo que observamos las muchas cancelaciones, tenemos
\[ \begin{aligned} (1-r) s_{n}=&\left(a+a r+\ldots+a r^{n-2}+a r^{n-1}\right) \
\ [4pt] &-\ izquierda (a r+a r^ {2} +\ ldots+a r^ {n-1} +a r^ {n}\ derecha)\
\ [4pt] =& a-a r^ {n}\
\ [4pt] =& a\ izquierda (1-r^ {n}\ derecha)\ final {alineado}\ etiqueta {A.92}\]
Así,\(n\) las sumas parciales se pueden escribir en forma compacta
\[s_{n}=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} . \label{A.93} \]
La suma, si existe, viene dada por\(S=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} .\) Dejar\(n\) obtener grande en la suma parcial (Ecuación\ ref {A.93}), sólo necesitamos evaluar\(\lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}\). De los límites especiales en el Apéndice sabemos que este límite es cero para\(|r|<1\). Así, tenemos
\[\begin{aligned} &\text { Geometric Series } \
\ [4pt] &\ sum_ {n=0} ^ {\ infty} a r^ {n} =\ dfrac {a} {1-r^ {\ prime}},\ quad|r|<1\
\ [4pt] &\ texto {(A.94)}\ end {alineado}\ nonumber\]
La suma de la serie geométrica existe para\(|r|<1\) y viene dada por
El lector debe verificar que la serie geométrica diverge para todos los demás valores de\(r\). A saber, considerar lo que sucede para los casos separados\(|r|>1\),\(r=1\) y\(r=-1\).
A continuación, presentamos algunos ejemplos típicos de series geométricas.
\(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2^{n}}\)
Solución
En este caso tenemos eso\(a=1\) y\(r=\dfrac{1}{2}\). Por lo tanto, esta serie infinita converge y la suma es
\[S=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2 \nonumber \]
\(\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{4}{3^{k}}\)
Solución
En este ejemplo primero notamos que el primer término ocurre para\(k=2\). A veces ayuda escribir los términos de la serie,
\[\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{4}{3^{k}}=\dfrac{4}{3^{2}}+\dfrac{4}{3^{3}}+\dfrac{4}{3^{4}}+\dfrac{4}{3^{5}}+\ldots \nonumber \]
Mirando la serie, vemos eso\(a=\dfrac{4}{9}\) y\(r=\dfrac{1}{3} .\) Desde\(|\mathrm{r}|<\mathrm{1}\), la serie geométrica converge. Entonces, la suma de la serie viene dada por
\[S=\dfrac{\dfrac{4}{9}}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{2}{3}\nonumber \]
\(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{2^{n}}-\dfrac{2}{5^{n}}\right)\)
Solución
Por último, en este caso no tenemos una serie geométrica, pero sí tenemos la diferencia de dos series geométricas. Por supuesto, necesitamos ser\({ }^{\text {I }}\) Un reordenamiento de términos en un infinito cuidado cada vez que se reordenan series infinitas. En este caso se permite la serie cuando la serie es absolutamente convergente. (Véase el Apéndice.)
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{2^{n}}-\dfrac{2}{5^{n}}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3}{2^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2}{5^{n}}\nonumber \]
Ahora podemos agregar ambas series geométricas para obtener
\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{2^{n}}-\dfrac{2}{5^{n}}\right)=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{\dfrac{2}{5}}{1-\dfrac{1}{5}}=3-\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}\nonumber \]
Las series geométricas son importantes porque son fácilmente reconocidas y resumidas. Otras series que se pueden sumar incluyen casos especiales de series Taylor y series telescópicas. A continuación, mostramos un ejemplo de una serie telescópica.
\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}\)
Solución
Los primeros términos de esta serie son
\[\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+\ldots\nonumber \]
No parece que podamos sumar esta serie infinita. Sin embargo, si se utilizó la expansión parcial de la fracción
\[\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\nonumber \]
entonces encontramos que la suma parcial\(k\) th se puede escribir como
\[ \begin{aligned} s_{k} &=\sum_{n=1}^{k} \dfrac{1}{n(n+1)} \
\ [4pt] &=\ suma_ {n=1} ^ {k}\ izquierda (\ dfrac {1} {n} -\ dfrac {1} {n+1}\ derecha)\
\ [4pt] &=\ izquierda (\ dfrac {1} {1} -\ dfrac {1} {2}\ derecha) +\ izquierda (\ dfrac {1} {2} -\ dfrac {1} {3}\ derecha) +\ cdots+\ izquierda (\ dfrac {1} {k} -\ dfrac {1} {k+1} derecha)\ final {alineado}\ etiqueta {A.95}\]
Vemos que hay muchas cancelaciones de términos vecinos, lo que lleva a que la serie colapse (como un telescopio retráctil) a algo manejable:
\[s_{k}=1-\dfrac{1}{k+1}\nonumber \]
Tomando el límite como\(k \rightarrow \infty\), nos encontramos\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}=1\).
En realidad, lo que ahora se conoce como series de Taylor y Maclaurin se conocían mucho antes de que fueran nombradas. James Gregory (1638-1675) ha sido reconocido por descubrir la serie Taylor, que más tarde recibieron el nombre de Brook Taylor (1685-1731). De igual manera, Colin Maclaurin (1698-1746) en realidad no descubrió la serie Maclaurin, pero el nombre fue adoptado por su particular uso de series.