3.4: Medioplanos

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Asumir\(X, Y \not\in (PQ)\). Entonces los ángulos\(PQX\) y\(PQY\) tienen el mismo signo si y sólo si\([XY]\) no se interseca\((PQ)\).

Prueba

El if-part se desprende de Lemma 3.3.2.

Asumir\([XY]\) cruces\((PQ)\); supongamos que eso\(Z\) denota el punto de intersección. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir\(Z \ne P\).

Tenga en cuenta que\(Z\) se encuentra entre\(X\) y\(Y\). Según Lemma 3.1.1,\(\angle PZX\) y\(\angle PZY\) tienen signos opuestos. Se prueba la declaración si\(Z = Q\).

Si\(Z \ne Q\), entonces\(\angle ZQX\) y\(QZX\) tener signos opuestos por 3.7. De la misma manera lo conseguimos\(\angle ZQY\) y\(\angle QZY\) tenemos signos opuestos.

Si\(Q\) yace entre\(Z\) y\(P\), entonces por Lema 3.1.1 dos pares de ángulos\(\angle PQX\),\(\angle ZQX\) y\(\angle PQY\),\(\angle ZQY\) tienen signos opuestos. De ello se deduce\(\angle PQX\) y\(\angle PQY\) tienen signos opuestos según se requiera.

En el caso restante\([QZ) = [QP)\) y por tanto\(\angle PQX = \angle ZQX\) y\(\angle PQY = \angle ZQY\). Por lo tanto nuevamente\(\angle PQX\) y\(\angle PQY\) tener signos opuestos según se requiera.

Corolario\(\PageIndex{1}\)

El complemento de una línea\((PQ)\) en el plano se puede presentar de una manera única como una unión de dos subconjuntos disgregados llamados medios planos de tal manera que

(a) Dos puntos\(X, Y \not\in (PQ)\) se encuentran en el mismo medio plano si y sólo si los ángulos\(PQX\) y\(PQY\) tienen el mismo signo.

b) Dos puntos\(X, Y \not\in (PQ)\) en un mismo semiplano si y sólo si\([XY]\) no se intersectan\((PQ)\).

Decimos eso\(X\) y nos\(Y\) acostamos a un lado de\((PQ)\) si se encuentran en uno de los medios planos de\((PQ)\) y decimos eso\(P\) y se\(Q\) encuentran en los lados opuestos de\(l\) si se encuentran en los diferentes medios planos de\(l\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que los ángulos\(AOB\) y\(A'OB'\) son verticales y\(B \not\in (OA)\). Mostrar que la línea\((AB)\) no se cruza con el segmento\([A'B']\).

Pista

Tenga en cuenta que\(O\) y\(A'\) se encuentran en el mismo lado de\((AB)\). Análogamente\(O\) y\(B'\) se encuentran en el mismo lado de\((AB)\). De ahí el resultado.

Considera el triángulo\(ABC\). Los segmentos\([AB], [BC]\), y\([CA]\) se llaman lados del triángulo.

Teorema\(\PageIndex{1}\) Pasch's theorem

Supongamos que la línea\(l\) no pasa a través de ningún vértice de un triángulo. Entonces se cruza con dos o cero lados del triángulo.

Prueba

Supongamos que la línea\(l\) se cruza con lado\([AB]\) del triángulo\(ABC\) y no pasa a través\(A, B,\) y\(C\).

Por Corolario\(\PageIndex{1}\), los vértices\(A\) y se\(B\) encuentran en lados opuestos de\(l\).

El vértice\(C\) puede estar en el mismo lado con\(A\) y en el lado opuesto con\(B\) o al revés. Por Corolario\(\PageIndex{1}\), en el primer caso,\(l\) se cruza de lado\([BC]\) y no se cruza\([AC]\); en el segundo caso,\(l\) se cruza de lado\([AC]\) y no se cruza\([BC]\). De ahí sigue el enunciado.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Mostrar que dos puntos\(X, Y \not\in (PQ)\) se encuentran en el mismo lado de\((PQ)\) si y sólo si los ángulos\(PXQ\) y\(PYQ\) tienen el mismo signo.

Pista

Aplicar el Teorema 3.3.1 para\(\triangle PQX\)\(\triangle PQY\) y luego aplicar Corolario\(\PageIndex{1}\)a.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(\triangle ABC\) ser un triángulo no degenerado,\(A' \in [BC]\) y\(B' \in [AC]\). Mostrar que los segmentos\([AA']\) y se\([BB']\) cruzan.

Pista

Podemos suponer eso\(A' \ne B, C\) y\(B' \ne A, C\); de lo contrario la declaración se sostiene trivialmente.

Tenga en cuenta que\((BB')\) no se cruza\([A'C]\). Aplicando el teorema de Pasch (Teorema 3.4.1) para\(\triangle AA'C\) y\((BB')\), obtenemos que los\((BB')\) intersets\([AA']\); denotan el punto de intersección por\(M\).

De la misma manera conseguimos que\((AA')\) se cruza\([BB']\); es decir\(M\) mentiras sobre\([AA']\) y\([BB']\).

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que los puntos\(X\) y\(Y\) se encuentran en lados opuestos de la línea\((PQ)\). Demuestre que la media línea\([PX)\) no se cruza\([QY)\).

Pista

Supongamos que\(Z\) es el punto de intersección.

Tenga en cuenta que\(Z \ne P\) y\(Z \ne Q\). Por lo tanto,\(Z \in (PQ)\).

\(Z\)Demuéstralo y\(X\) acuéstate a un lado de\((PQ)\). Repite el argumento para mostrar eso\(Z\) y\(Y\) mentir a un lado de\((PQ)\). De ello se deduce\(X\) y se\(Y\) encuentran del mismo lado de\((PQ)\) - una contradicción.

Ejercicio Avanzado\(\PageIndex{1}\)

Tenga en cuenta que la siguiente cantidad

\[^{~} \measuredangle ABC = \begin{cases} \pi & \text{if } \measuredangle ABC = \pi \\ -\measuredangle ABC & \text{if } \measuredangle ABC < \pi \end{cases}\]

puede servir como la medida del ángulo; es decir, los axiomas se mantienen si uno\(\measuredangle\) intercambia a\(^{~} \measuredangle\) todas partes.

Demuestre eso\(\measuredangle\) y\(^{~} \measuredangle\) son las únicas medidas de ángulo posibles en el plano.
Demuestre que sin Axioma IIIc, esto ya no es cierto.