9.2: Ángulo inscrito

Decimos que en el círculo se inscribe un triángulo$\Gamma$ si se encuentran todos sus vértices$\Gamma$.

Teorema$\PageIndex{1}$

Dejar$\Gamma$ ser un círculo con el centro$O$, y$X, Y$ ser dos puntos distintos en$\Gamma$. Entonces$\triangle XPY$ se inscribe en$\Gamma$ si y solo si

$$2 \cdot \measuredangle XPY \equiv \measuredangle XOY.$$

Equivalentemente, si y solo si

$\measuredangle XPY \equiv \dfrac{1}{2} \cdot \measuredangle XOY$o$\measuredangle XPY \equiv \pi + \dfrac{1}{2} \cdot \measuredangle XOY.$

Prueba

la parte “sólo si”. Dejar$(PQ)$ ser la línea tangente a$\Gamma$ at$P$. Por Teorema 9.1.1,

$2 \cdot \measuredangle QPX \equiv \measuredangle POX$,$2 \cdot \measuredangle QPY \equiv \measuredangle POY.$

Al restar una identidad de la otra, obtenemos 9.2.1.

“Si” parte. Supongamos que 9.2.1 sostiene para algunos$P \not\in \Gamma$. Tenga en cuenta que$\measuredangle XOY \ne 0$. Por lo tanto,$\measuredangle XPY \ne 0$ ni$\pi$; es decir, no$\measuredangle PXY$ es degenerado.

La línea$(PX)$ podría ser tangente a$\Gamma$ en el punto$X$ o intersecarse$\Gamma$ en otro punto; en este último caso, supongamos que$P'$ denota este punto de intersección.

En el primer caso, por el Teorema 9.1, tenemos

$2 \cdot \measuredangle PXY \equiv \measuredangle XOY \equiv 2 \cdot \measuredangle XPY.$

Aplicando la propiedad transversal (Teorema 7.3.1), obtenemos eso$(XY) \parallel (PY)$, lo cual es imposible ya que no$\triangle PXY$ es degenerado.

En el segundo caso, aplicando la parte “si” y eso$P, X$, y se$P'$ encuentran en una línea (ver Ejercicio 2.4.2) obtenemos que

$\begin{array} {rcl} {2 \cdot \measuredangle P'PY} & \equiv & {2 \cdot \measuredangle XPY \equiv \measuredangle XOY \equiv} \\ {} & \equiv & {2 \cdot \measuredangle XP'Y \equiv 2 \cdot \measuredangle XP'P.} \end{array}$

Nuevamente, por propiedad transversal$(PY) \parallel (P'Y)$, lo cual es imposible ya que no$\triangle PXY$ es degenerado.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$X, X', Y$, y$Y'$ ser puntos distintos en el círculo$\Gamma$. Asumir$(XX')$ se reúne$(YY')$ en un punto$P$. Demostrar que

a)$2 \cdot \measuredangle XPY \equiv \measuredangle XOY + \measuredangle X'OY'$;

b)$\triangle PXY \sim \triangle PY'X'$;

(c)$PX \cdot PX' = |OP^2 - r^2|$, donde$O$ está el centro y$r$ es el radio de$\Gamma$.

(El valor$OP^2 - r^2$ se llama la potencia del punto$P$ con respecto al círculo$\Gamma$. La parte (c) del ejercicio lo convierte en una herramienta útil para estudiar círculos, pero no lo vamos a considerar más en el libro.)

Sugerencia

(a) Aplicar Teorema$\PageIndex{1}$ para$\angle XX'Y$ y$\angle X'YY'$ y Teorema 7.4.1 para$\triangle PYX'$.

(b) Si$P$ está dentro de$\Gamma$ entonces$P$ yace entre$X$ y$X'$ y entre$Y$ y y$Y'$ en este caso$\angle XPY$ es vertical a$\angle X'PY'$. Si$P$ está fuera de$\Gamma$ entonces$[PX) = [PX')$ y$[PY) = [PY')$. En ambos casos tenemos eso$\measuredangle XPY = \measuredangle X'PY'$.

Aplicando Teorema$\PageIndex{1}$ y Ejercicio 2.4.2, obtenemos que

$2 \cdot \measuredangle Y'X'P \equiv 2 \cdot \measuredangle Y'X'X \equiv 2 \cdot \measuredangle Y'YX \equiv 2 \dot \measuredangle PYX.$

Según el Teorema 3.3.1,$\angle Y'X'P$ y$\angle PYX$ tienen el mismo signo; por lo tanto$\measuredangle Y'X'P = \measuredangle PYX$. Queda por aplicar la condición de similitud AA.

(c) Aplicar (b) asumiendo$[YY']$ es el diámetro de$\Gamma$.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Tres acordes$[XX']$,$[YY']$, y$[ZZ']$ del círculo se$\Gamma$ cruzan en un punto$P$. Demostrar que

$XY' \cdot ZX' \cdot YZ' = X'Y \cdot Z'X \cdot Y'Z.$

Sugerencia

Aplicar Exerciese\ (\ PageIndex {1} b tres veces.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejar$\Gamma$ ser un circuncírculo de un triángulo agudo$ABC$. Dejar$A'$ y$B'$ denotar los segundos puntos de intersección de las altitudes desde$A$ y$B$ con$\Gamma$. Demostrar que$\triangle A'B'C$ es isósceles.

Sugerencia

Dejar$X$ y$Y$ ser los puntos del pie de las altitudes desde$A$ y$B$. Supongamos que$O$ denota el circuncentro.

Por condición AA,$\triangle AXC \sim \triangle BYC$. Entonces

$\measuredangle A'OC \equiv 2 \cdot \measuredangle A'AC \equiv - 2 \cdot \measuredangle B'BC \equiv - \measuredangle B'OC.$

Por SAS,$\triangle A'OC \cong \triangle B'OC$. Por lo tanto,$A'C = B'C$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Dejar$[XY]$ y$[X'Y']$ ser dos acordes paralelos de un círculo. $XX' = YY'$Demuéstralo.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Mira “¿Por qué está pi aquí? ¿Y por qué está cuadrado? Una respuesta geométrica al problema de Basilea” por Grant Sanderson. (Está disponible en YouTube.)

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