10.2: Relación cruzada

El siguiente teorema da algunas cantidades expresadas en distancias o ángulos que no cambian después de la inversión.

Teorema$\PageIndex{1}$

Dejar$ABCD$ y$A'B'C'D'$ ser dos cuadriláteros tales que los puntos$A',B',C'$, y$D'$ son los inversos de$A,B,C$, y$D$ respectivamente.

Entonces

a)

$\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot DA} = \dfrac{A'B' \cdot C'D'}{B'C' \cdot D'A'}$.

b)

$\measuredangle ABC + \measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A')$.

(c) Si el cuadrilátero$ABCD$ está inscrito, entonces así es$\square A'B'C'D'$.

Prueba

a). $O$Sea el centro de la inversión. Según Lemma 10.1.1,$\triangle AOB \sim \triangle B'OA'$. Por lo tanto,

$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{OA}{OB'}.$

Análogamente,

$\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{OC}{OB'}$,$\dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{OC}{OD'}$,$\dfrac{DA}{D'A'} = \dfrac{OA}{OD'}$.

Por lo tanto,

$\dfrac{AB}{A'B'} \cdot \dfrac{B'C'}{BC} \cdot \dfrac{CD}{C'D'} \cdot \dfrac{D'A'}{DA} = \dfrac{OA}{OB'} \cdot \dfrac{OB'}{OC} \cdot \dfrac{OC}{OD'} \cdot \dfrac{OD'}{OA}.$

De ahí que a) sigue.

b). Según Lemma 10.1.1,

$$\begin{array} {l} {\measuredangle ABO \equiv -\measuredangle B'A'O, \measuredangle OBC \equiv -\measuredangle OC'B',} \\ {\measuredangle CDO \equiv -\measuredangle D'C'O, \measuredangle ODA \equiv -\measuredangle OA'D'.} \end{array}$$

Por Axioma IIIb,

$\measuredangle ABC \equiv \measuredangle ABO + \measuredangle OBC$,$\measuredangle D'C'B' \equiv \measuredangle D'C'O + \measuredangle OC'B'$,
$\measuredangle CDA \equiv \measuredangle CDO + \measuredangle ODA$,$\measuredangle B'A'D' \equiv \measuredangle B'A'O + \measuredangle OA'D'$,

Por lo tanto, sumando las cuatro identidades en 10.2.1, obtenemos que

$\measuredangle ABC +\measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D')$.

Aplicando el Axioma IIIb y el Ejercicio 7.4.5, lo conseguimos

$\begin{array} {rcl} {\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A'} & \equiv & {-(\measuredangle B'C'D' + \measuredangle D'A'B') \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D'.} \end{array}$

De ahí que siga el inciso b).

c). Se desprende de (b) y Corolario 9.3.2.