10.2: Relación cruzada

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El siguiente teorema da algunas cantidades expresadas en distancias o ángulos que no cambian después de la inversión.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(ABCD\) y\(A'B'C'D'\) ser dos cuadriláteros tales que los puntos\(A',B',C'\), y\(D'\) son los inversos de\(A,B,C\), y\(D\) respectivamente.

Entonces

\(\dfrac{AB \cdot CD}{BC \cdot DA} = \dfrac{A'B' \cdot C'D'}{B'C' \cdot D'A'}\).

\(\measuredangle ABC + \measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A')\).

Prueba

a). \(O\)Sea el centro de la inversión. Según Lemma 10.1.1,\(\triangle AOB \sim \triangle B'OA'\). Por lo tanto,

\(\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{OA}{OB'}.\)

Análogamente,

\(\dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{OC}{OB'}\),\(\dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{OC}{OD'}\),\(\dfrac{DA}{D'A'} = \dfrac{OA}{OD'}\).

Por lo tanto,

\(\dfrac{AB}{A'B'} \cdot \dfrac{B'C'}{BC} \cdot \dfrac{CD}{C'D'} \cdot \dfrac{D'A'}{DA} = \dfrac{OA}{OB'} \cdot \dfrac{OB'}{OC} \cdot \dfrac{OC}{OD'} \cdot \dfrac{OD'}{OA}.\)

De ahí que a) sigue.

b). Según Lemma 10.1.1,

\[\begin{array} {l} {\measuredangle ABO \equiv -\measuredangle B'A'O, \measuredangle OBC \equiv -\measuredangle OC'B',} \\ {\measuredangle CDO \equiv -\measuredangle D'C'O, \measuredangle ODA \equiv -\measuredangle OA'D'.} \end{array}\]

Por Axioma IIIb,

\(\measuredangle ABC \equiv \measuredangle ABO + \measuredangle OBC\),\(\measuredangle D'C'B' \equiv \measuredangle D'C'O + \measuredangle OC'B'\),
\(\measuredangle CDA \equiv \measuredangle CDO + \measuredangle ODA\),\(\measuredangle B'A'D' \equiv \measuredangle B'A'O + \measuredangle OA'D'\),

Por lo tanto, sumando las cuatro identidades en 10.2.1, obtenemos que

\(\measuredangle ABC +\measuredangle CDA \equiv -(\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D')\).

Aplicando el Axioma IIIb y el Ejercicio 7.4.5, lo conseguimos

\(\begin{array} {rcl} {\measuredangle A'B'C' + \measuredangle C'D'A'} & \equiv & {-(\measuredangle B'C'D' + \measuredangle D'A'B') \equiv} \\ {} & \equiv & {\measuredangle D'C'B' + \measuredangle B'A'D'.} \end{array}\)

De ahí que siga el inciso b).

c). Se desprende de (b) y Corolario 9.3.2.