10.1: Inversión

Dejar$\Omega$ ser el círculo con centro$O$ y radio$r$. La inversión de un punto$P$ en$\Omega$ es el punto$P' \in [OP)$ tal que

$OP \cdot OP' = r^2.$

En este caso el círculo se$\Omega$ llamará el círculo de inversión y su centro$O$ se llamará el centro de inversión.

El inverso de$O$ es indefinido.

Tenga en cuenta que si$P$$P'$ está dentro$\Omega$, entonces está afuera y al revés. Además,$P = P'$ si y sólo si$P \in \Omega$.

Tenga en cuenta que los mapas de inversión se$P'$ remontan a$P$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$\Omega$ ser un círculo centrado en$O$. Supongamos que una línea$(PT)$ es tangente a$\Omega$ at$T$. Deja$P'$ ser el punto del pie de$T$ on$(OP)$.

Demostrar que$P'$ es la inversa de$P$ in$\Omega$.

Pista

Por Lemma 5.6.2,$\angle OTP'$ tiene razón. Por lo tanto,$\triangle OPT \sim \triangle OTP'$ y en particular$OP \cdot OP' = OT^2$ y de ahí el resultado.

Lema$\PageIndex{1}$

Dejar$\Gamma$ ser un círculo con el centro$O$. Asumir$A'$ y$B'$ son los inversos de$A$ y$B$ en$\Gamma$. Entonces

$\triangle OAB \sim \triangle OB'A'.$

Además

$$\begin{array} {rcl} {\measuredangle AOB} & \equiv & {-\measuredangle B'OA',} \\ {\measuredangle OBA} & \equiv & {-\measuredangle OA'B',} \\ {\measuredangle BAO} & \equiv & {-\measuredangle A'B'O.} \end{array}$$

Prueba

Dejar$r$ ser el radio del círculo de la inversión.

Por la definición de inversión,

$OA \cdot OA' = OB \cdot OB' = r^2.$

Por lo tanto,

$\dfrac{OA}{OB'} = \dfrac{OB}{OA'}.$

Claramente,

$\measuredangle AOB = \measuredangle A'OB' \equiv -\measuredangle B'OA'.$

De SAS, obtenemos eso

$\triangle OAB \sim \triangle OB'A'.$

Aplicando el Teorema 3.3.1 y 10.1.2, obtenemos 10.1.1.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dejar$P'$ ser la inversa de$P$ en el círculo$\Gamma$. Asumir eso$P \ne P'$. Demostrar que el valor$\dfrac{PX}{P'X}$ es el mismo para todos$X \in \Gamma$.

También se sostiene lo contrario al ejercicio anterior. Es decir, dado un número real positivo$k \ne 1$ y dos puntos distintos$P$ y$P'$ el locus de puntos$X$ tal que$\dfrac{PX}{P'X} = k$ forma un círculo que se llama círculo apolónico. En este caso$P'$ es inverso de$P$ en el círculo apolónico.

Pista

Supongamos que$O$ denota el centro de$\Gamma$. Supongamos que$X, Y \in \Gamma$; en particular,$OX = OY$.

Tenga en cuenta que la inversión envía$X$ y$Y$ a sí mismos. Por Lemma$\PageIndex{1}$,

$\triangle OPX \sim \triangle OXP'$y$\triangle OPY \sim \triangle OYP'$.

Por lo tanto,$\dfrac{PX}{P'X} = \dfrac{OP}{OX} = \dfrac{OP}{OY} = \dfrac{PY}{P'Y}$ y de ahí el resultado.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dejemos$A',B'$, y$C'$ sean las imágenes de$A,B$, y$C$ bajo la inversión en el cincírculo de$\triangle ABC$. Demostrar que el incenter de$\triangle ABC$ es el ortocentro de$\triangle A'B'C'$.

Pista

Por Lemma$\PageIndex{1}$,

$\measuredangle IA'B' \equiv -\measuredangle IBA$,$\measuredangle IB'C' \equiv -\measuredangle ICB$,$\measuredangle IC'A' \equiv -\measuredangle IAC$,
$\measuredangle IB'A' \equiv -\measuredangle IAB$,$\measuredangle IC'B' \equiv -\measuredangle IBC$,$\measuredangle IA'C' \equiv -\measuredangle ICA$.

Queda por aplicar el teorema sobre la suma de ángulos de triángulo (Teorema 7.4.1) para mostrar eso$(A'I) \perp (B'C')$,$(B'I) \perp (C'A')$ y$(C'I) \perp (B'A')$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Hacer una construcción de regla y brújula de la inversa de un punto dado en un círculo dado.

Pista

Adivina la construcción del diagrama (las dos líneas que no se intersectan en el diagrama son paralelas).