10.5: Círculos perpendiculares
- Page ID
- 114454
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Asumir dos círculos\(\Gamma\) e\(\Omega\) intersectar en dos puntos\(X\) y\(Y\). Dejar\(\ell\) y\(m\) ser las líneas tangentes en\(X\) a\(\Gamma\) y\(\Omega\) respectivamente. Análogamente,\(\ell'\) y\(m'\) ser las líneas tangentes en\(Y\) a\(\Gamma\) y\(\Omega\).
Del Ejercicio 9.6.3, obtenemos eso\(\ell \perp m\) si y solo si\(\ell' \perp m'\).
Decimos que el círculo\(\Gamma\) es perpendicular al círculo\(\Omega\) (brevemente\(\Gamma \perp \Omega\)) si se cruzan y las líneas tangentes a los círculos en un punto (y por lo tanto, ambos puntos) de intersección son perpendiculares.
De igual manera, decimos que el círculo\(\Gamma\) es perpendicular a la línea\(\ell\) (brevemente\(\Gamma \perp \ell\)) si\(\Gamma \cap \ell \ne \emptyset\) y\(\ell\) perpendicular a las líneas tangentes a\(\Gamma\) en un punto (y por lo tanto, ambos puntos) de intersección. Según Lemma 5.6.2, solo ocurre si la línea l pasa por el centro de\(\Gamma\).
Ahora podemos hablar de circlinas perpendiculares.
Asumir\(\Gamma\) y\(Omega\) son círculos distintos. Entonces\(\Omega \perp \Gamma\) si y sólo si el círculo\(\Gamma\) coincide con su inversión en\(\Omega\).
- Prueba
-
Supongamos que\(\Gamma'\) denota la inversa de\(\Gamma\).
“Sólo si” parte. Dejar\(O\) ser el centro de\(\Omega\) y\(Q\) ser el centro de\(\Gamma\). Dejar\(X\) y\(Y\) denotar los puntos de intersecciones de\(\Gamma\) y\(Omega\). Según Lemma 5.6.2,\(\Omega \perp \Gamma\) si y sólo si\((OX)\) y\((OY)\) son tangentes a\(\Gamma\).
Tenga en cuenta que también\(\Gamma'\) es tangente a\((OX)\)\((OY)\) y y\(X\) y\(Y\) respectivamente. De ello se deduce que\(X\) y\(Y\) son los puntos del pie del centro de\(\Gamma'\) on\((OX)\) y\((OY)\). Por lo tanto, ambos\(\Gamma'\) y\(\Gamma\) tienen el centro\(Q\). Por último,\(\Gamma' = \Gamma\), ya que ambos círculos pasan a través\(X\).
“Si” parte. Asumir\(\Gamma = \Gamma'\).
Ya que\(\Gamma \ne \Omega\), hay un punto\(P\) que yace en\(\Gamma\), pero no en\(\Omega\). Dejar\(P'\) ser la inversa de\(P\) in\(\Omega\). Ya que\(\Gamma = \Gamma'\), tenemos eso\(P' \in \Gamma\). En particular, la media línea\([OP)\) se cruza\(\Gamma\) en dos puntos. Por el Ejercicio 5.6.1,\(O\) se encuentra fuera de\(\Gamma\).
Como\(\Gamma\) tiene puntos dentro y fuera de\(\Omega\), los círculos\(\Gamma\) y se\(\Omega\) cruzan. Este último se desprende del Ejercicio 3.5.1.
\(X\)Sea punto de su intersección. Tenemos que demostrar que\((OX)\) es tangente a\(\Gamma\); es decir,\(X\) es el único punto de intersección de\((OX)\) y\(\Gamma\).
Supongamos que\(Z\) es otro punto de intersección. Ya que\(O\) está fuera de\(\Gamma\), el punto\(Z\) se encuentra en la media línea\([OX)\).
Supongamos que\(Z'\) denota la inversa de\(Z\) in\(\Omega\). Claramente, los tres puntos\(Z\),\(Z'\),\(X\) se encuentran sobre\(\Gamma\) y\((OX)\). Este último contradice Lema 5.6.1.
Es conveniente definir la inversión en la línea\(\ell\) como el reflejo a través\(\ell\). De esta manera podemos hablar de inversión en una circlina arbitraria.
Dejar\(\Omega\) y\(\Gamma\) ser circlinos distintos en el plano inversivo. Entonces la inversión en\(\Omega\) envía\(\Gamma\) a sí misma si y sólo si\(\Omega \perp \Gamma\).
- Prueba
-
Por Thorem\(\PageIndex{1}\), es suficiente considerar el caso cuando\(\Omega\) o\(\Gamma\) es una línea.
Asumir\(\Omega\) es una línea, por lo que la inversión en\(\Omega\) es un reflejo. En este caso el enunciado se desprende del Corolario 5.4.1.
Si\(\Gamma\) es una línea, entonces la sentencia se desprende del Teorema 10.3.2.
Dejar\(P\) y\(P'\) ser dos puntos distintos tal que\(P'\) sea la inversa de\(P\) en el círculo\(\Omega\). Supongamos que la circlina\(\Gamma\) pasa a través\(P\) y\(P'\). Entonces\(\Gamma \perp \Omega\).
- Prueba
-
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que\(P\) está dentro y\(P'\) está afuera\(\Omega\). Por Teorema 3.5.1,\(\Gamma\) intersecta\(\Omega\). Supongamos que A denota un punto de intersección.
Supongamos que\(\Gamma'\) denota la inversa de\(\Gamma\). Ya que\(A\) es un auto inverso, los puntos\(A, P\), y\(P'\) se encuentran en\(\Gamma'\). Por Ejercicio 8.1.1,\(\Gamma'\) =\(\Gamma\) y por Teorema\(\PageIndex{1}\),\(\Gamma \perp \Omega\).
Dejar\(P\) y\(Q\) ser dos puntos distintos dentro del círculo\(\Omega\). Luego hay una circlina única\(\Gamma\) perpendicular a la\(\Omega\) que pasa a través\(P\) y\(Q\).
- Prueba
-
Dejar\(P'\) ser la inversa del punto\(P\) en el círculo\(\Omega\). Según Corolario\(\PageIndex{2}\), la circlina está pasando a través\(P\) y\(Q\) es perpendicular a\(\Omega\) si y solo si pasa a través\(P'\).
Tenga en cuenta que\(P'\) se encuentra fuera de\(\Omega\). Por lo tanto, los puntos\(P\)\(P'\),, y\(Q\) son distintos.
De acuerdo con el Ejercicio Ejercicio 8.1.1, hay una circlina única que pasa a través\(P, Q\), y\(P'\). De ahí el resultado.
Dejar\(P, Q, P'\), y\(Q'\) ser puntos en el plano euclidiano. Asumir\(P'\) y\(Q'\) son inversos de\(P\) y\(Q\) respectivamente. Demostrar que el cuadrilátero\(PQP'Q'\) está inscrito.
- Pista
-
Aplicar Teorema 10.2.1, Teorema 7.4.5 y Teorema 9.2.1.
Dejar\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\) ser dos círculos perpendiculares con centros en\(O_1\) y\(O_2\) respectivamente. Mostrar que la inversa de\(O_1\) in\(\Omega_2\) coincide con la inversa de\(O_2\) in\(\Omega_1\).
- Pista
-
Supongamos que\(T\) denota un punto de intersección de\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\). Deja\(P\) ser el punto del pie de\(T\) on\((O_1O_2)\). \(\triangle O_1PT \sim \triangle O_1TO_2 \sim \triangle TPO_2\)Demuéstralo. Considera que\(P\) coincide con las inversas de\(O_1\) in\(\Omega_2\) y de\(O_2\) in\(\Omega_1\).
Tres círculos distintos\(\Omega_1\) —,\(\Omega_2\) y\(\Omega_3\), se cruzan en dos puntos—\(A\) y\(B\). Supongamos que un círculo\(\Gamma\) es perpendicular a\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\). \(\Gamma \perp \Omega_3\)Demuéstralo.
- Pista
-
Desde\(\Gamma \perp \Omega_1\) y\(\Gamma \perp \Omega_2\), Corolario\(PageIndex{1}\) implica que los círculos\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\) están invertidos en\(\Gamma\) sí mismos. Concluir que los puntos\(A\) y\(B\) son inversos entre sí. Ya que\(\Omega_3 \ni A, B\), Corolario\(\PageIndex{2}\) implica eso\(\Omega_3 \perp \Gamma\).
Consideremos dos nuevas herramientas de construcción: la circunherramienta que construye una circlina a través de tres puntos dados, y la herramienta de inversión, una herramienta que construye una inversa de un punto dado en una circlina dada.
Dados dos círculos\(\Omega_1\),\(\Omega_2\) y un punto\(P\) que no se encuentra en los círculos, utilizar sólo circun-herramienta y herramienta de inversión para construir una circlina\(\Gamma\) que pasa a través\(P\), y perpendicular a ambos\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\).
- Pista
-
Dejar\(P_1\) y\(P_2\) ser la inversa de\(P\) in\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\). Aplicar Corolario\(\PageIndex{2}\) y Teorema\(\PageIndex{1}\) para demostrar que una circlina\(\Gamma\) que pasa a través
\(P, P_1\), y\(P_3\) es una solución.
Dados tres círculos\(\Omega_1\) disjuntos\(\Omega_3\),\(\Omega_2\) y, utilizar sólo circun-herramienta y herramienta de inversión para construir una circlina\(\Gamma\) que perpendicular a cada círculo\(\Omega_1\),\(\Omega_2\) y\(\Omega_3\).
Piensa qué hacer si dos de los círculos se cruzan.
- Pista
-
Todos los círculos que perpendiculares a\(\Omega_1\) y\(\Omega_2\) pasan a través de un punto fijo\(P\). Intenta construir\(P\).
Si dos de los círculos se cruzan, intente aplicar el Corolario 10.6.1.