11.1: Plano neutro
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Eliminemos el Axioma V de nuestro sistema axiomático. De esta manera definimos un nuevo objeto llamado plano neutro o plano absoluto. (En un plano neutro, el Axioma V puede mantenerse o no).
Claramente, cualquier teorema en geometría neutra se sostiene en la geometría euclidiana. Es decir, el plano euclidiano es un ejemplo de plano neutro. En el siguiente capítulo vamos a construir un ejemplo de un plano neutro que no es euclidiana.
En este libro se utilizó el Axioma V a partir del Capítulo 6. Por lo tanto, todas las declaraciones antes se mantienen en geometría neutra.
Hace que todos los resultados discutidos sobre medios planos, signos de ángulos, condiciones de congruencia, líneas perpendiculares y reflexiones sean verdaderos en geometría neutra.
Demos un ejemplo de un teorema en geometría neutra que admite una prueba más simple en geometría euclidiana.
Supongamos que triánguloABC yA′B′C′ tienen ángulos rectos enC yC′ respectivamente,AB=A′B′ yAC=A′C′. Entonces△ABC≅△A′B′C′.
- Prueba
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Prueba euclidiana. Por el teorema de PitágorasBC=B′C′. Entonces el enunciado se desprende de la condición de congruencia SSS.
La prueba del teorema de Pitágoras utilizó propiedades de triángulos similares, que a su vez utilizaron Axioma V. Por lo tanto, esta prueba no funciona en un plano neutro.
Prueba neutra. Supongamos queD denota el reflejo deA lo ancho(BC) yD′ denota el reflejo deA′ lo ancho(B′C′). Tenga en cuenta que
AD=2⋅AC=2⋅A′C′=A′D′,BD=BA=B′A′=B′D′.
Por condición de congruencia SSS (Teorema 4.4.1), obtenemos eso△ABD≅△A′B′D′.
La declaración sigue, ya queC es el punto medio de[AD] yC′ es el punto medio de[A′D′].
Dar un comprobante del Ejercicio 8.7.1 que funcione en el plano neutro.
- Sugerencia
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Supongamos queD denota el punto medio de[BC]. Supongamos que(AD) es el ángulo bisectriz enA.
A′∈[AD)Sea el punto distinto deA tal queAD=A′D. Tenga en cuenta que△CAD≅△BA′D. En particular,∡BAA′=∡AA′B. Queda por aplicar el Teorema 4.3.1 para△ABA′.
DejadoABCD ser un cuadriángulo inscrito en el plano neutro. Demostrar que
∡ABC+∡CDA≡∡BCD+∡DAB.
- Sugerencia
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El enunciado es evidente siA,B,C, yD se encuentran en una línea. En el caso restante, supongamos queO denota el circuncentro. Aplicar teorema sobre triángulo isósceles (Teorema 4.3.1) a los triángulosAOB,BOC,COD,DOA.
(Obsérvese que en el plano euclidiano la declaración se desprende del Corolario 9.3.2 y del Ejercicio 7.4.5, pero no se pueden usar estas declaraciones en el plano neutro).
Obsérvese que no se puede utilizar el Corolario 9.3.2 para resolver el ejercicio anterior, ya que utiliza el Teorema 9.1.1 y el Teorema 9.2.1, que a su vez usa el Teorema 7.4.1.