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12.5: Axioma II

Última actualización

30 oct 2022
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- 12.4: Axioma I
- 12.6: Axioma III

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Obsérvese que una vez que se prueba el siguiente reclamo, Axioma II se desprende del Corolario 10.5.2.

Reclamación $\PageIndex{1}$

Un subconjunto del plano h es una línea h si y solo si forma una línea para la distancia h en el sentido de la Definición 1.5.1.

Prueba

Deja $\ell$ ser una línea h. Aplicando la observación principal (Teorema 12.3.1) podemos suponer que $\ell$ contiene el centro de lo absoluto. En este caso, $\ell$ es una intersección de un diámetro del plano absoluto y el plano h. Dejar $A$ y $B$ ser los puntos finales del diámetro.

Considere el mapa $\iota : \ell \to \mathbb{R}$ definido como

Tenga en cuenta que $\iota :\ell\to \mathbb{R}$ es una bijección.

Además, si $X,Y\in \ell$ y los puntos $A$ , $X$ $Y$ ,, y $B$ aparecen $[AB]$ en el mismo orden, entonces

$\iota(Y)-\iota(X)=\ln \dfrac{AY}{YB}-\ln \dfrac{AX}{XB}=\ln \dfrac{AY\cdot BX}{YB\cdot XB}=XY_h.$

Demostramos que cualquier línea h es una línea para h-distancia. Lo contrario se desprende de la Reclamación 12.4.3.

Reclamación12.5.1\PageIndex{1}

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Reclamación $\PageIndex{1}$