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12.6: Axioma III

Última actualización

30 oct 2022
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- 12.5: Axioma II
- 12.7: Axioma IV

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Tenga en cuenta que la primera parte de Axioma III sigue directamente de la definición de la medida del ángulo h definida en la página. Queda por demostrar que $\measuredangle_h$ satisface las condiciones Axioma IIIa, Axioma IIIb y Axioma IIIc.

Las dos afirmaciones siguientes dicen que $\measuredangle_h$ satisface IIIa y IIIb.

Reclamación $\PageIndex{1}$

Dada una h-media línea $[O P)_h$ y $\alpha\in(-\pi,\pi]$ , hay una h-media línea única $[O Q)_h$ tal que $\measuredangle_h P O Q= \alpha$ .

Reclamación $\PageIndex{2}$

Para cualquier punto h $P$ $Q$ , y $R$ distinto de un punto h $O$ , tenemos

$\measuredangle_h P O Q+\measuredangle_h Q O R \equiv\measuredangle_h P O R.$

Comprobante de $\PageIndex{1}$ y $\PageIndex{2}$: Aplicando la observación principal, podemos suponer que $O$ es el centro de lo absoluto. En este caso, para cualquier punto h $P \ne O$ , la media línea h $[OP)_h$ es la intersección de la media línea euclidiana $[OP)$ con el plano h. De ahí que la reivindicación $\PageIndex{1}$ y $\PageIndex{2}$ Reclamación se deriven de los axiomas Axioma IIIa y Axioma IIIb del plano euclidiano.

Reclamación $\PageIndex{3}$

La función

es continuo en cualquier triple de puntos $(P,Q,R)$ tal que $Q\ne P$ , $Q\ne R$ , y $\measuredangle_h P Q R\ne\pi$ .

Prueba

Supongamos que $O$ denota el centro de lo absoluto. Podemos suponer que $Q$ es distinto de $O$ .

Supongamos que $Z$ denota la inversa de $Q$ en lo absoluto; supongamos que $\Gamma$ denota el círculo perpendicular al absoluto y centrado en $Z$ . Según Lemma 12.3.1, el punto $O$ es el inverso de $Q$ in $\Gamma$ .

Dejar $P'$ y $R'$ denotar las inversiones en $\Gamma$ de los puntos $P$ y $R$ respectivamente. Tenga en cuenta que el punto $P'$ está completamente determinado por los puntos $Q$ y $P$ . Además, el mapa $(Q,P)\mapsto P'$ es continuo en cualquier par de puntos $(Q,P)$ tal que $Q\ne O$ . Lo mismo es cierto para el mapa $(Q,R)\mapsto R'$

Según la observación principal

$\measuredangle_h P Q R\equiv -\measuredangle_h P' O R'.$

Dado que $\measuredangle_h P' O R'=\measuredangle P' O R'$ y los mapas $(Q,P)\mapsto P'$ , $(Q,R)\mapsto R'$ son continuos, la reivindicación se desprende del axioma correspondiente del plano euclidiano.

Reclamación12.6.1\PageIndex{1}

Reclamación12.6.2\PageIndex{2}

Reclamación12.6.3\PageIndex{3}

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Reclamación $\PageIndex{1}$

Reclamación $\PageIndex{2}$

Reclamación $\PageIndex{3}$