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14.2: Construcciones

Última actualización

30 oct 2022
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- 14.1: Transformaciones afín
- 14.3: Teorema Fundamental de la Geometría Afín

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Consideremos construcciones geométricas con una regla y una herramienta paralela; esta última permite trazar una línea a través de un punto dado paralelo a una línea dada. Por Ejercitador 14.1.1, cualquier construcción con estas dos herramientas es invariante con respecto a las transformaciones afines. Por ejemplo, para resolver el siguiente ejercicio, basta con probar que el punto medio de un segmento dado se puede construir con una regla y una herramienta paralela.

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Dejar $M$ ser el punto medio del segmento $[AB]$ en el plano euclidiano. Supongamos que una transformación afín envía los puntos $A$ $B$ ,, y $M$ a $A'$ $B'$ , y $M'$ respectivamente. Demostrar que $M'$ es el punto medio de $[A'B']$ .

El siguiente ejercicio se utilizará en el comprobante de la Proposición 14.3.1.

Pista

De acuerdo con la observación anterior al ejercicio, es suficiente construir el punto medio de $[AB]$ con una regla y una herramienta paralela. Adivina una construcción a partir del diagrama.

$2021-02-25 10.32.50.png$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Supongamos que los puntos con coordenadas $(0,0)$ $(1,0)$ , $(a,0)$ ,, y $(b,0)$ se dan. Usando una regla y una herramienta paralela, construya puntos con coordenadas $(a\cdot b,0)$ y $(a+b,0)$ .

Pista

Dejar $O, E, A$ , y $B$ denotar los puntos con las coordenadas (0, 0), (1, 0), ( $a$ , 0), y ( $b$ , 0) respectivamente.

Para construir un punto $W$ con las coordenadas $(0, a + b)$ , tratar de construir dos paralelogramos $OAPQ$ y $BWPQ$ .

Para construir $Z$ con coordenadas $(0, a \cdot b)$ elige una línea $(OE') \ne (OE)$ e intenta construir los puntos $A' \in (OE')$ y $Z \in (OE)$ así que $\triangle OEE' \sim \triangle OAA'$ y $\triangle OE'B \sim \triangle OA'Z$ .

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Use regla y herramienta paralela para construir el centro de un círculo dado.

Pista

Dibuja dos acordes paralelos $[XX']$ y $[YY']$ . Establecer $Z = (XY) \cap (X'Y')$ y $Z' = (XY') \cap (X'Y)$ . Tenga en cuenta que $(ZZ')$ pasa por el centro.

Repita la misma construcción para otro par de acordes paralelos. El centro se encuentra en la intersección de las líneas obtenidas.

Obsérvese que el mapa de cizallamiento (descrito en el Ejercicio 14.1.2 (a)) puede cambiar los ángulos entre líneas casi arbitrariamente. Esta observación puede ser utilizada para probar la imposibilidad de algunas construcciones; aquí hay un ejemplo:

Ejercicio $\PageIndex{4}$

Mostrar que con una regla y una herramienta paralela no se puede construir una línea perpendicular a una línea dada.

Pista

Supongamos que una construcción produce dos líneas perpendiculares. Aplicar un mapa de corte que cambie el ángulo entre las líneas (ver Ejercicio 14.1.2 (a)).

Tenga en cuenta que transforma la construcción a la misma construcción para otros puntos de libre elección. Por lo tanto, esta construcción no produce líneas perpendiculares en general. (Podría producir una línea perpendicular solo por una coincidencia.)

Ejercicio14.2.1\PageIndex{1}

Ejercicio14.2.2\PageIndex{2}

Ejercicio14.2.3\PageIndex{3}

Ejercicio14.2.4\PageIndex{4}

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Ejercicio $\PageIndex{1}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Ejercicio $\PageIndex{3}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$