14.4: Lema algebraico

Se utilizó el siguiente lema en la prueba de la Proposición 14.3.1.

Lema$\PageIndex{1}$

Supongamos que$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una función tal que para cualquiera$x,y\in\mathbb{R}$ tenemos

1. $f(1)=1$,
2. $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
3. $f(x\cdot y)=f(x)\cdot f(y)$.

Entonces$f$ está la función de identidad; es decir,$f(x)=x$ para cualquiera$x\in \mathbb{R}$.

Tenga en cuenta que no asumimos que$f$ sea continuo.

Una función$f$ que satisface estas tres condiciones se denomina automorfismo de campo. Por lo tanto, el lema afirma que la función de identidad es el único automorfismo del campo de los números reales. Para el campo de los números complejos, la conjugación$z\mapsto \bar{z}$ (ver Sección 14.3) da un ejemplo de un automorfismo no trivial.

Prueba

Por (b) tenemos

Por (a),

$f(0)+1=1;$

de donde

$$f(0)=0.$$

Aplicando (b) de nuevo, obtenemos que

$0=f(0)=f(x)+f(-x).$

Por lo tanto,

$$f(-x)=-f(x) \ \ \ \ \text{for any} \ \ \ \ x\in \mathbb{R}.$$

Aplicando (b) de manera recurrente, obtenemos que

$\begin{array} {l} {f(2) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2;} \\ {f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3;} \\ {\ \ \ \ ...} \end{array}$

Junto con el 14.4.2, esto último implica que

$f(n)=n \ \ \ \text{for any integer}\ \ \ n.$

Por (c)

Por lo tanto

$f(\dfrac{m}{n})=\dfrac{m}{n}$

para cualquier número racional$\dfrac{m}{n}$.

Asumir$a\ge 0$. Entonces la ecuación$x\cdot x=a$ tiene una solución real$x = \sqrt{a}$. Por lo tanto,$[f(\sqrt{a})]^2=f(\sqrt{a})\cdot f(\sqrt{a})=f(a)$. De ahí$f(a)\ge 0$. Es decir,

$$a\ge 0 \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ f(a)\ge 0.$$

Aplicando 14.3.2, también obtenemos

$$a\le 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ f(a) \le 0.$$

Ahora asuma$f(a)\ne a$ para algunos$a\in\mathbb{R}$. Luego hay un número racional$\dfrac{m}{n}$ que se encuentra entre$a$ y$f(a)$; es decir, los números

tienen signos opuestos.

Por 14.4.3

$\begin{array} {rcl} {y + \dfrac{m}{n}} & = & {f(a) =} \\ {} & = & {f(x + \dfrac{m}{n}) =} \\ {} & = & {f(x) + f(\dfrac{m}{n}) =} \\ {} & = & {f(x) + \dfrac{m}{n};} \end{array}$

es decir,$f(x)=y$. Por 14.4.4 y 14.4.5 los valores$x$ y$y$ no pueden tener signos opuestos —una contradicción.