16.1: Espacio euclidiano

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 114390

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Recordemos que el espacio euclidiano es el conjunto\(\mathbb{R}^3\) de todas las triples\((x,y,z)\) de números reales tal que la distancia entre un par de puntos\(A=(x_A,y_A,z_A)\) y\(B=(x_B,y_B,z_B)\) se define por la siguiente fórmula:

\(AB := \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}.\)

Los planos en el espacio se definen como el conjunto de soluciones de ecuación

\(a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z+d=0\)

para números reales\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) tal que al menos uno de los números\(a\),\(b\) o no\(c\) sea cero. Cualquier plano en el espacio euclidiano es isométrico al plano euclidiano.

Una esfera en el espacio es el análogo directo de un círculo en el plano. Formalmente, la esfera con centro\(O\) y radio\(r\) es el conjunto de puntos en el espacio que se encuentran a la distancia\(r\) desde\(O\).

Dejar\(A\) y\(B\) ser dos puntos en la unidad esfera centrada en\(O\). La distancia esférica de\(A\) a\(B\) (brevemente\(AB_s\)) se define como\(|\measuredangle AOB|\).

En geometría esférica, el papel de las líneas juega los grandes círculos; es decir, la intersección de la esfera con un plano que pasa a través\(O\).

Obsérvese que los grandes círculos no forman líneas en el sentido de la Definición 1.5.1. Además, dos grandes círculos distintos se cruzan en dos puntos antípodas. En particular, la esfera no satisface los axiomas del plano neutro.