16.5: Proyección central

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La proyección central es análoga al modelo proyectivo del plano hiperbólico que se discute en el Capítulo 17.

$\Sigma$Sea la esfera unitaria centrada en el origen que será denotada por$O$. Supongamos que$\Pi^+$ denota el plano definido por la ecuación$z=1$. Este plano es paralelo al$xy$ plano y pasa por el polo norte$N =(0,0,1)$ de$\Sigma$.

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Recordemos que el hemisferio norte de$\Sigma$, es el subconjunto de puntos$(x,y,z)\in \Sigma$ tales que$z>0$. El hemisferio norte será denotado por$\Sigma^+$.

Dado un punto$P\in \Sigma^+$, considere la media línea$[OP)$. Supongamos que$P'$ denota la intersección de$[OP)$ y$\Pi^+$. Tenga en cuenta que si$P=(x,y,z)$, entonces$P'=(\dfrac{x}{z},\dfrac{y}{z},1)$. De ello se deduce que$P\leftrightarrow P'$ es una bijección entre$\Sigma^+$ y$\Pi^+$.

La biyección descrita$\Sigma^+ \leftrightarrow \Pi^+$ se denomina proyección central del hemisferio$\Sigma^+$.

Tenga en cuenta que la proyección central envía las intersecciones de los grandes círculos con$\Sigma^+$ a las líneas en$\Pi^+$. Esto último sigue ya que los grandes círculos son intersecciones de$\Sigma$ con planos que pasan por el origen así como las líneas en$\Pi^+$ son la intersección de$\Pi^+$ con estos planos.

El siguiente ejercicio es análogo al Ejercicio 17.2.1 en geometría hiperbólica.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dejar$\triangle_sABC$ ser un triángulo esférico no degenerado. Supongamos que el plano$\Pi^+$ es paralelo al plano que pasa a través de$A$$B$,, y$C$. Dejar$A'$,$B'$, y$C'$ denotar las proyecciones centrales de$A$,$B$ y$C$.

Mostrar que los puntos medios de$[A'B']$,$[B'C']$, y$[C'A']$ son proyecciones centrales de los puntos medios de$[AB]_s$$[BC]_s$, y$[CA]_s$ respectivamente.
Utilice la parte (a) para mostrar que las medianas de un triángulo esférico se cruzan en un punto.

Pista

a). Observe y use eso$OA' = OB' = OC'$.

b). Tenga en cuenta que las medianas del triángulo esférico ABC mapean a las medianas de Euclides un triángulo$A'B'C'$. Queda por aplicar el Teorema 8.3.1 para$\triangle A'B'C'$.