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16.5: Proyección central

Última actualización

30 oct 2022
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- 16.4: Proyección estereográfica
- 17: Modelo Proyectivo

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La proyección central es análoga al modelo proyectivo del plano hiperbólico que se discute en el Capítulo 17.

$\Sigma$ Sea la esfera unitaria centrada en el origen que será denotada por $O$ . Supongamos que $\Pi^+$ denota el plano definido por la ecuación $z=1$ . Este plano es paralelo al $xy$ plano y pasa por el polo norte $N =(0,0,1)$ de $\Sigma$ .

$2021-03-01 10.34.45.png$

Recordemos que el hemisferio norte de $\Sigma$ , es el subconjunto de puntos $(x,y,z)\in \Sigma$ tales que $z>0$ . El hemisferio norte será denotado por $\Sigma^+$ .

Dado un punto $P\in \Sigma^+$ , considere la media línea $[OP)$ . Supongamos que $P'$ denota la intersección de $[OP)$ y $\Pi^+$ . Tenga en cuenta que si $P=(x,y,z)$ , entonces $P'=(\dfrac{x}{z},\dfrac{y}{z},1)$ . De ello se deduce que $P\leftrightarrow P'$ es una bijección entre $\Sigma^+$ y $\Pi^+$ .

La biyección descrita $\Sigma^+ \leftrightarrow \Pi^+$ se denomina proyección central del hemisferio $\Sigma^+$ .

Tenga en cuenta que la proyección central envía las intersecciones de los grandes círculos con $\Sigma^+$ a las líneas en $\Pi^+$ . Esto último sigue ya que los grandes círculos son intersecciones de $\Sigma$ con planos que pasan por el origen así como las líneas en $\Pi^+$ son la intersección de $\Pi^+$ con estos planos.

El siguiente ejercicio es análogo al Ejercicio 17.2.1 en geometría hiperbólica.

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Dejar $\triangle_sABC$ ser un triángulo esférico no degenerado. Supongamos que el plano $\Pi^+$ es paralelo al plano que pasa a través de $A$ $B$ ,, y $C$ . Dejar $A'$ , $B'$ , y $C'$ denotar las proyecciones centrales de $A$ , $B$ y $C$ .

Mostrar que los puntos medios de $[A'B']$ , $[B'C']$ , y $[C'A']$ son proyecciones centrales de los puntos medios de $[AB]_s$ $[BC]_s$ , y $[CA]_s$ respectivamente.
Utilice la parte (a) para mostrar que las medianas de un triángulo esférico se cruzan en un punto.

Pista

a). Observe y use eso $OA' = OB' = OC'$ .

b). Tenga en cuenta que las medianas del triángulo esférico ABC mapean a las medianas de Euclides un triángulo $A'B'C'$ . Queda por aplicar el Teorema 8.3.1 para $\triangle A'B'C'$ .

Ejercicio16.5.1\PageIndex{1}

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Ejercicio $\PageIndex{1}$