20.1: Triángulos sólidos
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Decimos que el puntoX se encuentra dentro de un triángulo no degeneradoABC si se mantienen las siguientes tres condiciones:
- AyX se encuentran en el mismo lado de la línea(BC);
- ByX se encuentran en el mismo lado de la línea(CA);
- CyX se encuentran en el mismo lado de la línea(AB).
El conjunto de todos los puntos dentro△ABC y en sus lados[AB],[BC], se[CA] denominará triángulo sólidoABC y se denotará por▴ABC.
Mostrar que cualquier triángulo sólido es convexo; es decir, para cualquier par de puntosX,Y∈▴ABC, entonces el segmento de línea[XY] se encuentra en▴ABC.
- Pista
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Asumir lo contrario; es decir, hay un puntoW∈[XY] tal queW∉▴ABC.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que W y A se encuentran en los lados opuestos de la línea(BC).
Implemente que ambos segmentos[WX] y se[WY] crucen(BC). Por Axioma II,W∈(BC) — una contradicción.
Las notaciones△ABC y▴ABC se ven similares, también tienen significados cercanos pero diferentes, que mejor no confundir. Recordemos que△ABC es un triple ordenado de puntos distintos (ver página), mientras que▴ABC es un conjunto infinito de puntos.
En particular,▴ABC=▴BAC para cualquier triánguloABC. En efecto, cualquier punto que pertenezca al conjunto▴ABC también pertenece al conjunto▴BAC y al revés. Por otro lado,△ABC≠△BAC simplemente porque el triple ordenado de puntos(A,B,C) es distinto del triple ordenado(B,A,C).
Tenga en cuenta que▴ABC≅▴BAC aunque△ABC≆, donde congruencia de los conjuntos\blacktriangle ABC y\blacktriangle BAC se entiende de la siguiente manera:
Dos conjuntos\mathcal{S} y\mathcal{T} en el plano se llaman congruentes (brevemente\mathcal{S}\cong \mathcal{T}) si\mathcal{T}=f(\mathcal{S}) por algún movimientof del plano.
Si no\triangle ABC es degenerado y
\(\blacktriangle ABC\cong \blacktriangle A'B'C',\)
luego después de volver a etiquetar los vértices de\triangle ABC tendremos
\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'.
En efecto, basta con mostrar que sif es un movimiento\blacktriangle ABC al que se mapea\blacktriangle A'B'C', entoncesf mapea cada vértice de\triangle ABC a un vértice\triangle A'B'C'. Esto último se desprende de la caracterización de vértices de triángulos sólidos dada en el siguiente ejercicio:
Que no\triangle ABC se degenere yX\in \blacktriangle ABC. Mostrar queX es un vértice de\triangle ABC si y sólo si hay una línea\ell que se cruza\blacktriangle ABC en el único puntoX.
- Pista
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Para probar la parte “sólo si”, considera la línea que pasa por el vértice que es paralela al lado opuesto.
Para probar la parte “si”, utilice el teorema de Pasch (Teorema 3.4.1).