20.10: Juegos cuadrables
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Un conjuntoS en el plano se llama cuadrable si para algunoϵ>0 hay dos conjuntos poligonalesP yQ tal que
P⊂S⊂Qandarea Q−area P<ϵ.
SiS es cuadrable, su área puede definirse como el número real necesariamente únicos=area S tal que la desigualdad
area Q≤s≤area P
sostiene para cualquier conjunto poligonalP yQ tal queP⊂S⊂Q.
DejarD ser el disco unitario; es decir,D es un conjunto que contiene el círculo unitarioΓ y todos los puntos en su interiorΓ.
Mostrar queD es un conjunto cuadrable.
- Pista
-
DejarPn yQn ser losn -gones regulares sólidos para queΓ quede inscritoQn y circunscrito alrededorPn. Claramente,Pn⊂D⊂Qn.
Demostrar quearea Pnarea Qn=(cosπn)2; en particular,
area Pnarea Qn→1comon→∞.
Siguiente mostrar esa zonaQn<100, digamos para todosn≥100.
Estas dos afirmaciones implican eso(area Qn−area Pn)→0. De ahí el resultado.
Dado queD es cuadrable, la expresión tienearea D sentido y la constanteπ puede definirse comoπ=area D.
Resulta que la clase de conjuntos cuadrables es la clase más grande para la que la función de área que satisface las condiciones en la página está definida de manera única.
Si no requiere singularidad, entonces hay formas de extender la función de área a todos los conjuntos delimitados. (Un conjunto en el plano se llama delimitado si se encuentra dentro de un círculo). En el plano hiperbólico y en la esfera no existe una construcción similar. Si te preguntas por qué, lee acerca de duplicar la paradoja del balón de Felix Hausdorff, Stefan Banach y Alfred Tarski.