20.10: Juegos cuadrables

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Un conjunto\(\mathcal{S}\) en el plano se llama cuadrable si para alguno\(\epsilon>0\) hay dos conjuntos poligonales\(\mathcal{P}\) y\(\mathcal{Q}\) tal que

\(\mathcal{P} \subset \mathcal{S}\subset\mathcal{Q} \quad \text{and} \quad \text{area }\mathcal{Q}-\text{area } \mathcal{P} < \epsilon.\)

Si\(\mathcal{S}\) es cuadrable, su área puede definirse como el número real necesariamente único\(s=\text{area }\mathcal{S}\) tal que la desigualdad

\(\text{area }\mathcal{Q}\le s\le \text{area }\mathcal{P}\)

sostiene para cualquier conjunto poligonal\(\mathcal{P}\) y\(\mathcal{Q}\) tal que\(\mathcal{P} \subset \mathcal{S} \subset \mathcal{Q}\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\mathcal{D}\) ser el disco unitario; es decir,\(\mathcal{D}\) es un conjunto que contiene el círculo unitario\(\Gamma\) y todos los puntos en su interior\(\Gamma\).

Mostrar que\(\mathcal{D}\) es un conjunto cuadrable.

Pista

Dejar\(\mathcal{P}_n\) y\(\mathcal{Q}_n\) ser los\(n\) -gones regulares sólidos para que\(\Gamma\) quede inscrito\(\mathcal{Q}_n\) y circunscrito alrededor\(\mathcal{P}_n\). Claramente,\(\mathcal{P}_n \subset \mathcal{D} \subset \mathcal{Q}_n\).

Demostrar que\(\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} = (\cos \dfrac{\pi}{n})^2\); en particular,

\(\dfrac{\text{area } \mathcal{P}_n}{\text{area } \mathcal{Q}_n} \to 1\)como\(n \to \infty\).

Siguiente mostrar esa zona\(\mathcal{Q}_n < 100\), digamos para todos\(n \ge 100\).

Estas dos afirmaciones implican eso\((\text{area } \mathcal{Q}_n - \text{area } \mathcal{P}_n) \to 0\). De ahí el resultado.

Dado que\(\mathcal{D}\) es cuadrable, la expresión tiene\(\text{area }\mathcal{D}\) sentido y la constante\(\pi\) puede definirse como\(\pi=\text{area }\mathcal{D}\).

Resulta que la clase de conjuntos cuadrables es la clase más grande para la que la función de área que satisface las condiciones en la página está definida de manera única.

Si no requiere singularidad, entonces hay formas de extender la función de área a todos los conjuntos delimitados. (Un conjunto en el plano se llama delimitado si se encuentra dentro de un círculo). En el plano hiperbólico y en la esfera no existe una construcción similar. Si te preguntas por qué, lee acerca de duplicar la paradoja del balón de Felix Hausdorff, Stefan Banach y Alfred Tarski.