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LibreTexts Español

20.3: Definición de área

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Area se define como una funciónParea P que devuelve un número real no negativoarea P para cualquier conjunto poligonalP y que cumple las siguientes condiciones:

  1. area K1=1dondeK1 un cuadrado sólido con lado de unidad;
  2. las condiciones sePQarea P=area Q;PQarea Parea Q;area P+area Q=area (PQ)+area (PQ) mantienen para dos conjuntos poligonales cualesquieraP yQ.

La primera condición se llama normalización; esencialmente dice que una unidad cuadrada sólida se utiliza como unidad para medir área. Las tres condiciones en (b) se denominan invarianza, monotonicidad y aditividad.

Medida de Lebesgue, proporciona un ejemplo de función de área; es decir, si uno tomaarea P ser medida de Lebesgue deP, entonces la funciónParea P satisface las condiciones anteriores.

La construcción de la medida Lebesgue se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre análisis real. No lo discutimos aquí.

Si el lector no está familiarizado con la medida de Lebesgue, entonces debería tomar como otorgada la existencia de la función de área; podría considerarse como un axioma adicional aunque se deduce de los axiomas I-V.


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