20.3: Definición de área

Area se define como una función\(\mathcal{P} \mapsto \text{area } \mathcal{P}\) que devuelve un número real no negativo\(\text{area }\mathcal{P}\) para cualquier conjunto poligonal\(\mathcal{P}\) y que cumple las siguientes condiciones:

1. \(\text{area }\mathcal{K}_1=1\)donde\(\mathcal{K}_1\) un cuadrado sólido con lado de unidad;
2. las condiciones se\[\begin{array} {ccc} {\mathcal{P} \cong \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} = \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\mathcal{P} \subset \mathcal{Q}} & \Rightarrow & {\text{area } \mathcal{P} \le \text{area } \mathcal{Q};} \\ {\text{area } \mathcal{P} + \text{area } \mathcal{Q}} & = & {\text{area } (\mathcal{P} \cup \mathcal{Q}) + \text{area } (\mathcal{P} \cap \mathcal{Q})} \end{array}\] mantienen para dos conjuntos poligonales cualesquiera\(\mathcal{P}\) y\(\mathcal{Q}\).

La primera condición se llama normalización; esencialmente dice que una unidad cuadrada sólida se utiliza como unidad para medir área. Las tres condiciones en (b) se denominan invarianza, monotonicidad y aditividad.

Medida de Lebesgue, proporciona un ejemplo de función de área; es decir, si uno toma\(\text{area }\mathcal{P}\) ser medida de Lebesgue de\(\mathcal{P}\), entonces la función\(\mathcal{P}\mapsto\text{area }\mathcal{P}\) satisface las condiciones anteriores.

La construcción de la medida Lebesgue se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre análisis real. No lo discutimos aquí.

Si el lector no está familiarizado con la medida de Lebesgue, entonces debería tomar como otorgada la existencia de la función de área; podría considerarse como un axioma adicional aunque se deduce de los axiomas I-V.