1.3: Geometría en superficies: un primer vistazo
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Piensa por un minuto en el espacio en el que vivimos. Pensar en objetos que viven en nuestro espacio. ¿Las características de los objetos cambian cuando se mueven en nuestro espacio? Si recojo este papel y lo muevo por la habitación, ¿se encogerá? ¿Se convertirá en una escoba?
Si dibujas un triángulo en esta página, los ángulos del triángulo se sumarán a\(180°\). De hecho, cualquier triángulo dibujado en cualquier parte de la página tiene esta propiedad. La geometría euclidiana en esta página plana (una parte del plano) es homogénea: la geometría local del plano es la misma en todos los puntos. Nuestro espacio tridimensional también parece ser homogéneo. Esto es agradable, pues significa que si compramos un\(5 \text{ ft}^3\) congelador en la tienda de electrodomésticos, no se encoge a\(0.5 \text{ ft}^3\) cuando lo llevamos a casa. Una esfera es otro ejemplo de una superficie homogénea. Un error bidimensional que vive en la superficie de una esfera no pudo distinguir (geométricamente) la diferencia entre dos puntos cualesquiera de la esfera.
La superficie de una rosquilla en el espacio tridimensional (ver Figura\(\PageIndex{1}\)) no es homogénea, y un insecto bidimensional que vive en esta superficie podría notar la diferencia entre varios puntos. Un enfoque para descubrir diferencias en la geometría involucra triángulos.
Es un asunto importante decidir a qué nos referimos, exactamente, por un triángulo sobre una superficie. Un triángulo consta de tres puntos y tres aristas que conectan estos puntos. Se dibuja una arista que\(B\) conecta punto\(A\) a punto para representar la trayectoria de la distancia más corta entre\(A\) y\(B\). Tal camino se llama geodésico. Para el error bidimensional, una “línea recta” de\(A\) a\(B\) es simplemente el camino más corto de\(A\) a\(B\).
En una esfera, las geodésicas siguen grandes círculos. Un gran círculo es un círculo dibujado en la superficie de la esfera cuyo centro (en el espacio tridimensional) corresponde al centro de la esfera. Dicho de otra manera, un gran círculo es un círculo de diámetro máximo dibujado sobre la esfera. Los círculos\(a\) y\(b\) en Figura\(\PageIndex{2}\) son grandes círculos, pero círculo no lo\(c\) es.
En el plano euclidiano, las geodésicas son líneas euclidianas. Una forma de determinar físicamente un geodésico en una superficie es anclar alguna cuerda\(A\) y tenerla apretada en la superficie hasta un punto\(B\). La cuerda tensa seguirá la geodésica de\(A\) a\(B\). En la Figura\(\PageIndex{3}\) hemos dibujado triángulos geodésicos en tres superficies diferentes.
Volviendo a la rosquilla, un insecto bidimensional podría usar triángulos para distinguir entre un punto “convexo” en una pared exterior y un punto “en forma de silla de montar” en una pared interna (ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Un error podría dibujar un triángulo alrededor del punto convexo, determinar la suma del ángulo y luego moverse alrededor de la superficie hasta un punto en forma de silla de montar, y determinar la suma de ángulos de un nuevo triángulo (cuyas patas tienen la misma longitud que antes). El bicho se rascaría la cabeza en las diferentes sumas de ángulo antes de darse cuenta de que se había topado con algo grande. Ella se iría a casa, escribía el resultado, enfatizando el hecho de que un triángulo en la primera región “convexa” tendrá una suma de ángulo mayor que\(180°\), mientras que un triángulo en la región “en forma de silla de montar” tendrá una suma de ángulo menor que\(180°\). Este feliz bicho concluirá que su superficie de rosquilla no es homogénea. Luego se sentará y verá cómo llegan los elogios. Quizás hasta un premio Nobel. Así, pequeños triángulos y sus ángulos pueden ayudar a que un error bidimensional distinga puntos en una superficie.
La superficie del donut no es homogénea, así que construyamos una que sea.
Consideremos de nuevo el mundo de la Figura\(1.1.2\). A este mundo se le llama toro plano. En cada punto de este mundo, el piloto de la nave reportaría un entorno plano (los ángulos triangulares se suman a\(180°\)). A diferencia de la superficie de rosquilla que vive en tres dimensiones, el toro plano es homogéneo. A nivel local, la geometría es la misma en cada punto, y gracias a una comprobación triangular, esta geometría es euclidiana. Pero el mundo en su conjunto es muy diferente al plano euclidiano. Por ejemplo, si el piloto de la nave tiene un telescopio lo suficientemente potente, podría ver la parte trasera de su nave. Por supuesto, si el barco tuviera ventanas así, podría ver la parte posterior de su cabeza. El toro plano es un mundo finito, euclidiano bidimensional sin ningún límite.
Aquí construimos conos a partir de cuñas planas, y medimos ángulos de algunos triángulos.
- Comience con un disco circular con una cuña quitada, como a una pizza le falta una o dos rebanadas. Unir los dos bordes radiales produce un cono. Pruébalo con un cono propio para asegurarte de que funciona. Ahora, con el cono plano nuevamente, escoge tres puntos, etiquetados\(A\),\(B\), y\(C\), tal que\(C\) esté en el borde radial. Esto quiere decir que en esta versión aplanada del cono, el punto\(C\) en realidad aparece dos veces: una vez en cada borde radial, como en la Figura\(\PageIndex{4}\). Estos dos representantes para\(C\) deben ser identificados cuando se unen los bordes radiales.
- Dibuja los segmentos que conectan los tres puntos. Deberías obtener un triángulo con la punta del cono en su interior. (Este triángulo debería parecerse a un triángulo si se vuelve a formar el cono). Si no consigues la punta del cono en el interior del triángulo, ajusta los puntos en consecuencia.
- Con su transportador, mida cuidadosamente el ángulo\(θ\) subtendido por el sector circular. Para enfatizar\(θ\) el papel en la forma del cono, dejamos\(S(θ)\) denotar la superficie del cono determinada por\(θ\).
- Con tu transportador, mide cuidadosamente los tres ángulos de tu triángulo. El ángulo en el punto\(C\) es la suma de los ángulos formados por las patas triangulares y los segmentos radiales. Vamos a\(Δ\) denotar la suma de estos tres ángulos.
- Indicar una conjetura sobre la relación entre el ángulo\(θ\) y\(Δ\), la suma de los ángulos del triángulo. Tu conjetura puede ser en forma de ecuación. Entonces prueba tu conjetura. Sugerencia: si dibujas un segmento conectando las\(2\) copias de punto\(C\), ¿cuál es la suma angular del cuadrilátero\(ABCC\)?
Repita el ejercicio anterior pero con cuñas circulares teniendo\(θ>2π\). Identificar los bordes radiales, en este caso, produce una superficie en forma de silla de montar. [Para crear tal cuña circular podemos unir con cinta dos cuñas de igual radio. Una idea: Comience con un disco con un corte radial, y una cuña de igual radio. Pegue un borde radial de la cuña a uno de los bordes radiales de hendidura del disco. Entonces, la identificación de los otros bordes radiales debería producir Saddleland.]
Recuerde, una superficie homogénea es un espacio que tiene la misma geometría local en cada punto. Nuestro toro plano es homogéneo, teniendo geometría euclidiana en cada punto. Sin embargo, nuestros conos\(S(θ)\) en los ejercicios anteriores no son homogéneos (a menos que\(θ\) pase a ser\(2π\)). Si un triángulo en\(S(θ)\) no contiene la punta del cono en su interior, entonces los ángulos del triángulo se sumarán a\(π\) radianes, pero si el triángulo sí contiene la punta del cono en su interior, entonces la suma de ángulos no será\(π\) radianes. Un error bidimensional, entonces, podría concluir que no\(S(θ)\) es homogéneo.
Considera la superficie obtenida al identificar los bordes del hexágono como se indica en la Figura\(\PageIndex{5}\). En particular, los bordes se emparejan de acuerdo con sus etiquetas y orientación de flecha. Entonces, si un barco vuela fuera de la pantalla hexagonal en un punto en el borde marcado\(a\), digamos, entonces reaparece en el punto coincidente en el otro borde marcado\(a\).
Supongamos que el piloto de una nave quiere volar alrededor de una de las esquinas del hexágono. Si comienza en un punto\(H\), digamos, y vuela en sentido antihorario alrededor de la esquina superior derecha como se indica en el diagrama, volaría fuera de la pantalla en la parte superior cerca del inicio de un borde aa. Entonces, mientras realizaba su viaje, reaparecería en la esquina inferior izquierda cerca del inicio del otro borde aa. Continuando por ahí completaría su viaje después de dar vueltas a esta segunda esquina.
Sin embargo, el ángulo de cada esquina es\(120°\), y pegarlas juntas creará un punto de cono, como se muestra a continuación. De igual manera, encontraría que las otras esquinas del hexágono se encuentran en grupos de dos, creando dos puntos de cono adicionales. Al igual que con el Ejemplo 1.3.2 de Coneland, el piloto puede distinguir aquí un punto de esquina de un punto interior. Ella puede mirar triángulos: un triángulo que contenga uno de los puntos de cono tendrá una suma de ángulo mayor que\(180°\); cualquier otro triángulo tendrá una suma de ángulo igual a\(180°\).
Entonces la superficie no es homogénea, si se dibuja en el plano. Sin embargo, la superficie sí admite una geometría homogénea. Podemos deshacernos de los puntos de cono si podemos aumentar cada ángulo de esquina del hexágono a\(180°\). Entonces, dos esquinas se unirían para formar un\(360°\) parche perfecto sobre el punto.
Pero, ¿cómo podemos aumentar los ángulos de esquina? ¡Pon el hexágono en la esfera! Imagínese estirar el hexágono hacia el hemisferio norte de una esfera (ver Figura\(\PageIndex{6}\)). En este caso, podemos pensar en los\(6\) puntos de nuestro hexágono como tendidos en el ecuador. Entonces cada ángulo de esquina es\(180°\), cada borde sigue siendo una línea (geodésica), y cuando pegamos los bordes, cada par de ángulos de esquina se suma exactamente\(360°\), por lo que la superficie es homogénea. La geometría homogénea de esta superficie es la geometría de la esfera (geometría elíptica), no la geometría del plano (geometría euclidiana).
Resulta que a cada superficie se le puede dar uno de tres tipos de geometría homogénea: euclidiana, hiperbólica o elíptica. Volveremos a la geometría de las superficies (y de nuestro universo) después de desarrollar geometría hiperbólica y elíptica. Si no tiene mucho sentido en este momento, no se preocupen, pero por favor use estos hechos como motivación para aprender sobre estas geometrías no euclidianas.
Ejercicios
Trabajar a través de la Coneland (Ejemplo\(1.3.2\))
Trabajar a través de la Saddleland (Ejemplo\(1.3.3\))
Circunferencia vs Radio en Coneland y Saddleland. Además de los triángulos, un error bidimensional puede usar círculos para detectar diferentes geometrías. En particular, un error puede estudiar la relación entre el radio y la circunferencia de un círculo. Para asegurarnos de que pensamos como el error, así es como definimos un círculo en una superficie: Dado un punto\(P\) en la superficie, y un número real\(r>0\), el círculo centrado en\(P\) con radio\(r\) es el conjunto de todos los puntos a\(r\) unidades de distancia\(P\), donde la distancia entre dos puntos es la longitud del camino más corto que los conecta (el geodésico).
- Elige tu círculo favorito en el avión. ¿Cuál es la relación entre el radio y la circunferencia del círculo? ¿Tu respuesta es cierta para algún círculo del avión?
- Considere la superficie de Coneland de (Ejemplo 1.3.2). Construye un círculo centrado en la punta del cono y deriva una relación entre su circunferencia y su radio. ¿Está\(C=2πr\) aquí? Si no es así, ¿cuál es verdad:\(C>2πr\) o\(C<2πr\)?
- Considere la superficie de Saddleland de (Ejemplo 1.3.3). Construye un círculo centrado en la punta del sillín y deriva una relación entre su circunferencia y su radio. ¿Está\(C=2πr\) aquí? Si no es así, ¿cuál es verdad:\(C>2πr\) o\(C<2πr\)?