3.4: Transformaciones de Möbius
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Considere la función definida en\(\mathbb{C}^+\) por\(T(z) = \dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\) donde\(a, b, c\) y\(d\) son constantes complejas. Tal función se llama transformación de Möbius si\(ad - bc \neq 0\text{.}\) las transformaciones de esta forma también se denominan transformaciones lineales fraccionarias. El número complejo\(ad - bc\) se llama determinante de\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\text{,}\) y se denota como Det\((T)\text{.}\)
La función
\[ T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d} \]
es una transformación de\(\mathbb{C}^+\) si y solo si\(ad - bc \neq 0\text{.}\)
- Prueba
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Primero, supongamos\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\) y\(ad - bc \neq 0\text{.}\) Debemos demostrar que\(T\) es una transformación. Para mostrar\(T\) es uno a uno, asuma\(T(z_1) = T(z_2)\text{.}\) Entonces
\[ \dfrac{az_1 + b}{cz_1 + d} = \dfrac{az_2 + b}{cz_2 + d}\text{.} \]
Cruza multiplicar esta expresión y simplificar para obtener
\[ (ad - bc)z_1 = (ad - bc)z_2\text{.} \]
Ya que\(ad - bc \neq 0\) podemos dividir este término de la expresión para ver\(z_1 = z_2\text{,}\) así\(T\) es 1-1 y queda por mostrar que\(T\) está en.
Supongamos que\(w\) en\(\mathbb{C}^+\) se da. Debemos encontrar\(z \in \mathbb{C}^+\) tal que\(T(z) = w\text{.}\) si\(w = \infty\text{,}\) entonces\(z = \dfrac{-d}{c}\) (que es\(\infty\) si\(c = 0\)) hace el truco, así asuma\(w \neq \infty\text{.}\) Para encontrar\(z\) tal que\(T(z) = w\) resolvamos la ecuación
\[ \dfrac{az + b}{cz+d} = w \]
para\(z\text{,}\) lo cual es posible siempre\(a\) y cuando y no\(c\) sean ambos 0 (haciendo que los\(z\) términos desaparezcan). Ya que\(ad-bc \neq 0\text{,}\) podemos estar seguros que este es el caso, y resolviendo para\(z\) que obtengamos
\[ z = \dfrac{-dw + b}{cw-a}\text{.} \]
Así\(T\) es sobre, y\(T\) es una transformación.
Para probar lo contrario mostramos lo contrapositivo. Suponemos\(ad-bc=0\) y mostrar no\(T(z)=\dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\) es una transformación abordando dos casos.
Caso 1:\(ad = 0\text{.}\) En este caso, también,\(bc = 0\) así\(a\) o\(d\) es cero, y\(b\) o\(c\) es cero. En los cuatro escenarios, uno puede verificar inmediatamente que no\(T\) es una transformación de\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Por ejemplo, si\(a = c = 0\) entonces no\(T(z) = \dfrac{b}{d}\) es 1-1 ni on\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
Caso 2:\(ad \neq 0\text{.}\) En este caso, las cuatro constantes son distintas de cero, y\(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\text{.}\)\(T(0)=\dfrac{b}{d}\) Since y no\(T(\infty)= \dfrac{a}{c}\text{,}\)\(T\) es 1-1, y por lo tanto no es una transformación de\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
Nótese que en la prueba precedente encontramos la transformación inversa de una transformación de Möbius. Esta transformación inversa es en sí misma una transformación de Möbius ya que su determinante no lo es\(0\). De hecho, su determinante es igual al determinante de la transformación original de Möbius. Resumimos este hecho de la siguiente manera.
La transformación de Möbius
\[ T(z) = \dfrac{az + b}{cz+d} \]
tiene la transformación inversa
\[ T^{-1}(z) = \dfrac{-dz + b}{cz - a}\text{.} \]
En particular, la inversa de una transformación de Möbius es en sí misma una transformación de Möbius.
Si componemos dos transformaciones de Möbius, el resultado es otra transformación de Möbius. Prueba de este hecho se deja como ejercicio.
La composición de dos transformaciones de Möbius vuelve a ser una transformación de Möbius.
Así como las traslaciones y rotaciones del plano se pueden construir a partir de reflexiones a través de líneas, la transformación general de Möbius se puede construir a partir de inversiones sobre clines.
Una transformación de\(\mathbb{C}^+\) es una transformación de Möbius si y sólo si es la composición de un número par de inversiones.
- Prueba
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Primero observamos que cualquier transformación lineal general\(T(z)=az+b\) es la composición de un número par de inversiones. En efecto, dicho mapa es una dilatación y rotación seguida de una traslación. Las rotaciones y traslaciones son cada una composiciones de dos reflexiones (Teorema\(3.1.4\)), y una dilatación es la composición de dos inversiones sobre círculos concéntricos (Exericise\(3.2.4\)). Entonces, en total, tenemos que\(T(z) = az+ b\) es la composición de un número par de inversiones.
Ahora supongamos que\(T\) es la transformación de Möbius\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\text{.}\) Si\(c = 0\) entonces\(T\) es una transformación lineal general de la forma\(T(z) = \dfrac{a}{d}z + \dfrac{b}{d}\text{,}\) y no tenemos nada que mostrar.
Entonces asumimos\(c \neq 0\text{.}\) Al hacer alguna división larga, la transformación de Möbius se puede reescribir como
\[ T(z) = \dfrac{az+b}{cz+d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{\dfrac{(bc-ad)}{c}}{cz+d}\text{,} \]
que se puede ver como la composición\(T_3 \circ T_2 \circ T_1(z)\text{,}\) donde\(T_1(z) = cz + d\text{,}\)\(T_2(z) = \dfrac{1}{z}\) y\(T_3(z) = \dfrac{bc-ad}{c}z + \dfrac{a}{c}\text{.}\) Tenga en cuenta que\(T_1\) y\(T_3\) son transformaciones lineales generales, y
\[ T_2(z) = \dfrac{1}{z} = \overline{\bigg[\dfrac{1}{\overline{z}}\bigg]} \]
es inversión en el círculo unitario seguido de reflexión sobre el eje real. Así, cada uno\(T_i\) es la composición de un número par de inversiones, y la transformación general de Möbius también lo\(T\) es.
Para probar la otra dirección, mostramos que si\(T\) es la composición de dos inversiones entonces es una transformación Möbius. Entonces, si\(T\) es la composición de cualquier número par de inversiones, es la composición de la mitad de tantas transformaciones de Möbius y es en sí misma una transformación de Möbius por Teorema\(3.4.3\).
Caso 1:\(T\) es la composición de dos inversiones de círculo. Supongamos\(T = i_{C_1} \circ i_{C_2}\) dónde\(C_1\) está el círculo\(|z - z_1| = r_1\) y\(C_2\) es el círculo\(|z-z_2| = r_2\text{.}\) Para\(i = 1, 2\) la inversión puede ser descrito por
\[ i_{C_i} = \dfrac{r_i^2}{\overline{z-z_i}}+z_i\text{,} \]
y si componemos estas dos inversiones conseguimos de hecho una transformación Möbius. Dejamos al lector los detalles de este cálculo pero notamos que el determinante de la transformación resultante de Möbius es\(r_1^2r_2^2\text{.}\)
Caso 2:\(T\) es la composición de la inversión de un círculo y una reflexión lineal. La reflexión en la línea puede ser dada por\(r_L(z) = e^{i\theta}\overline{z}+b\) y la inversión en el círculo\(C\) viene dada por\(i_{C} = \dfrac{r^2}{\overline{z-z_o}}+z_o\) dónde\(z_0\) y\(r\) son el centro y el radio del círculo, como de costumbre. Calcula la composición y verás que tenemos una transformación de Möbius con determinante\(e^{i\theta}r^2\) (que no es cero). Su inversa, la composición\(i_C \circ r_L\text{,}\) es también una transformación de Möbius.
Caso 3:\(T\) es la composición de dos reflexiones. O las dos líneas de reflexión son paralelas, en cuyo caso la composición da una traslación, o se cruzan, en cuyo caso tenemos una rotación alrededor del punto de intersección (Teorema\(3.1.4\)). En cualquier caso tenemos una transformación de Möbius.
De ello se deduce que la composición de cualquier número par de inversiones produce una transformación de Möbius.
Dado que las transformaciones de Möbius están compuestas por inversiones, abrazarán las cualidades más finas de las inversiones. Por ejemplo, dado que la inversión conserva clines, también lo hacen las transformaciones de Möbius, y dado que la inversión conserva magnitudes de ángulo, las transformaciones de Möbius conservan los ángulos (como un número par de inversiones).
Las transformaciones de Möbius llevan clinas a clinas y preservan los ángulos.
El siguiente teorema de punto fijo es útil para comprender las transformaciones de Möbius.
Cualquier\(T: \mathbb{C}^+ \to \mathbb{C}^+\) solución de transformación de Möbius\(1\)\(2\), o todos los puntos de\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
- Prueba
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Para encontrar puntos fijos de\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz + d)}\) queremos resolver
\[ \dfrac{az + b}{cz + d} = z \]
para\(z\text{,}\) lo cual da la ecuación cuadrática
\[ cz^2 + (d-a)z - b = 0 \text{.} \label{3.4.1}\]
Si\(c \neq 0\) entonces, como se discute en Ejemplo\(2.4.2\), la ecuación (\(\ref{3.4.1}\)) debe tener\(1\) o\(2\) soluciones, y hay\(1\) o puntos\(2\) fijos en este caso.
Si\(c = 0\) y\(a \neq d\text{,}\) entonces la transformación tiene la forma\(T(z) = \dfrac{(az + b)}{d}\), que fija\(\infty\text{.}\) Desde la ecuación (1), también\(z = \dfrac{b}{(d-a)} \neq \infty\) es un punto fijo. Entonces tenemos puntos\(2\) fijos en este caso.
Si\(c = 0\) y\(a = d\text{,}\) luego equation (\(\ref{3.4.1}\)) reduce a\(0 = -b\text{,}\) así\(b = 0\) también, y la transformación es la transformación de identidad\(T(z) = \dfrac{(az+0)}{(0z + a)} = z\text{.}\) Esta transformación fija cada punto.
Con este teorema de punto fijo en la mano, ahora podemos probar el Teorema Fundamental de las Transformaciones de Möbius, que dice que si queremos inducir un uno a uno y sobre movimiento de todo el plano extendido que manda mis tres puntos favoritos (\(z_1, z_2, z_3\)) a tus tres puntos favoritos (\(w_1, w_2, w_3)\text{,}\)como dramatizado a continuación , luego hay una transformación de Möbius que hará el truco, y sólo hay una.
Hay una transformación única de Möbius que toma tres puntos distintos\(\mathbb{C}^+\) a tres puntos distintos de\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
- Prueba
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Supongamos\(z_1, z_2,\) y\(z_3\) son puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{,}\)\(w_1, w_2\text{,}\) y y\(w_3\) son puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Mostramos que existe una transformación única de Möbius que mapea\(z_i \mapsto w_i\) para\(i = 1,2,3\text{.}\) Para comenzar, mostramos que existe un mapa, construido a partir de inversiones, que mapas\(z_1 \mapsto 1\text{,}\) \(z_2 \mapsto 0\)y lo\(z_3 \mapsto \infty\text{.}\) hacemos en el caso de que\(z_3 \neq \infty\text{.}\) Este caso especial se deje a los ejercicios.
Primero, invertir alrededor de cualquier círculo centrado en\(z_3\text{.}\) Esto lleva\(z_3\) a\(\infty\) como se desee. Puntos\(z_1\) y\(z_2\) sin duda se mueven, digamos a\(z_1^\prime\) y\(z_2^\prime\text{,}\) respectivamente, ninguno de los cuales es\(\infty\text{.}\) Segundo, hacer una traducción que lleve\(z_2^\prime\) a 0. Tal traslación se mantendrá\(\infty\) fija, y llevará\(z_1^\prime\) a algún nuevo punto\(z_1^{\prime\prime}\) en\(\mathbb{C}\text{.}\) Tercera, rotará y dilatará alrededor del origen, (que mantiene 0 y\(\infty\) fijo) para que\(z_1^{\prime\prime}\) se mueva a 1. Este proceso produce una composición de inversiones que mapea\(z_1 \mapsto 1\text{,}\)\(z_2 \mapsto 0\text{,}\) y\(z_3 \mapsto \infty\text{.}\) Sin embargo, esta composición en realidad implica un número impar de inversiones, por lo que no es una transformación de Möbius. Para hacer una transformación de Möbius a partir de esta composición, hacemos una última inversión: reflexionar a través del eje real. Esto mantiene 1, 0 y\(\infty\) fijo. Así, hay una transformación de Möbius tomando tres puntos distintos a los puntos\(1, 0,\) y\(\infty\text{.}\) por ahora, dejamos\(T\) denotar la transformación de Möbius que mapea\(z_1 \mapsto 1\text{,}\)\(z_2 \mapsto 0\) y\(z_3 \mapsto \infty\text{.}\)
De manera similar se puede construir una transformación de Möbius, llamarla\(S\text{,}\) que toma\(w_1 \mapsto 1\text{,}\)\(w_2 \mapsto 0\text{,}\) y\(w_3 \mapsto \infty\text{.}\)
Si dejamos\(S^{-1}\) denotar la transformación inversa de\(S\text{,}\) entonces la composición\(S^{-1} \circ T\) es una transformación de Möbius, y esta transformación hace lo que nos propusimos lograr como sugiere la Figura\(3.4.2\). En particular,
\ begin {alinear*} S^ {-1}\ circ T (z_1) & = S^ {-1} (1) = w_1\\ S^ {-1}\ circ T (z_2) & = S^ {-1} (0) = w_2\\ S^ {-1}\ circ T (z_3) & = S^ {-1} (\ infty) = w_3\ texto {.} \ end {alinear*}
Figura\(3.4.2\): Un esquema para construir una transformación de Möbius que envía\(z_i \mapsto w_i\) para\(i=1,2,3\text{.}\) Ir a través de los puntos\(1,0,\infty\text{.}\) (Copyright; autor vía fuente) Por último, para demostrar que esta transformación de Möbius es única, supongamos que hay dos transformaciones de Möbius\(U\) y\(V\) ese mapa\(z_1 \mapsto w_1\text{,}\)\(z_2 \mapsto w_2\) y\(z_3 \mapsto w_3\text{.}\) Entonces\(V^{-1} \circ U\) es una transformación de Möbius que arregla\(z_1, z_2\text{,}\) y\(z_3\text{.}\) Según el Teorema\(3.4.6\) hay sólo una transformación de Möbius que fija más de dos puntos, y esta es la transformación de la identidad. Así\(V^{-1} \circ U(z) = z\) para todos\(z \in \mathbb{C}^+\text{.}\) De igual manera,\(U \circ V^{-1}(z) = z\text{,}\) y se deduce que\(U(z) = V(z)\) para todos\(z \in \mathbb{C}^+\text{.}\) Eso es,\(U\) y\(V\) son el mismo mapa.
Hay una descripción algebraica del muy útil mapeo de transformación de Möbius\(z_1 \mapsto 1\text{,}\)\(z_2 \mapsto 0\) y\(z_3 \mapsto \infty\) que surgió en la prueba del Teorema\(3.4.7\):
\[ T(z) = \dfrac{(z-z_2)}{(z-z_3)}\cdot \dfrac{(z_1 - z_3)}{(z_1-z_2)}\text{.} \]
El lector puede comprobar que el mapa funciona como se anuncia y que efectivamente es una transformación de Möbius. (Si bien es claro que la transformación tiene la forma\(\dfrac{(az + b)}{(cz + d)}\text{,}\), puede que no quede claro que el determinante sea distinto de cero. Lo es, ya que los\(z_i\) son distintos.) También señalamos que si uno de los\(z_i\) es\(\infty\text{,}\) la forma del mapa se reduce por cancelación de los términos con\(\infty\) en ellos. Por ejemplo, si\(z_2 = \infty\text{,}\) el mapa que envía\(z_1 \mapsto 1\text{,}\)\(\infty \mapsto 0\) y\(z_3 \mapsto \infty\) es\(T(z) = \dfrac{(z_1-z_3)}{(z-z_3)} \text{.}\)
La transformación de Möbius que envía tres puntos distintos a\(1\)\(0\),, y\(\infty\) es tan útil que obtiene su propio nombre y notación especial.
La relación cruzada de 4 números complejos\(z,w,u,\) y\(v\text{,}\) donde\(w,u,\) y\(v\) son distintos, se denota\((z,w;u,v)\text{,}\) y
\[ (z,w;u,v) = \dfrac{z-u}{z-v}\cdot\dfrac{w-v}{w-u}\text{.} \]
Si\(z\) es una variable, y\(w, u,\) y\(v\) son constantes complejas distintas, entonces\(T(z) = (z,w;u,v)\) es la (¡única!) Möbius transformación que envía\(w \mapsto 1\text{,}\)\(u \mapsto 0\text{,}\) y\(v \mapsto \infty\text{.}\)
Encuentra la transformación única de Möbius que envía\(1 \mapsto 3\text{,}\)\(i \mapsto 0\text{,}\) y\(2 \mapsto -1\text{.}\)
Un enfoque: Encontrar\(T(z) = (z,1;i,2)\) y\(S(w) = (w,3;0,-1)\text{.}\) En este caso, la transformación que queremos es\(S^{-1} \circ T\text{.}\)
Para encontrar esta transformación, establecemos las relaciones cruzadas iguales:
\ begin {alinear*} (z,1; i,2) & = (w,3; 0, -1)\\ dfrac {z-i} {z-2}\ cdot\ dfrac {1-2} {1-i} & =\ dfrac {w-0} {w+1}\ cdot\ dfrac {3+1} {3-0}\\ dfrac {-z+i} (1-i) z-2+2i} & =\ dfrac {4w} {3w+3}\ texto {.} \ end {alinear*}
Luego resuelva para\(w\text{:}\)
\ begin {align*} -3zw + 3iw + 3i - 3z & = 4 [(1-i) z-2+2i] w\\ -3z+3i & = [3z-3i+4 [(1-i) z-2+2i]] w\\ w & =\ dfrac {-3z + 3i} {(7-4i) z + (-8+5i)}\ texto {.} \ end {alinear*}
Así, nuestra transformación de Möbius es
\[ V(z) = \dfrac{-3z + 3i}{(7-4i)z + (-8+5i)}\text{.} \]
Es bastante fácil consultar nuestra respuesta aquí. Ya que hay exactamente una transformación de Möbius que hace el truco, todo lo que tenemos que hacer es verificar si\(V(1) = 3, V(i) = 0\) y\(V(2) = -1\text{.}\) Ok... si... si... ¡sí! ¡Tenemos nuestro mapa!
Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.
- Prueba
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Supongamos\(z_0, z_1, z_2,\) y\(z_3\) son cuatro puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) y\(T\) es cualquier transformación de Möbius. Entonces
\[ (z_0,z_1;z_2,z_3) = (T(z_0), T(z_1); T(z_2), T(z_3))\text{.} \]
Además de definir mapas que envíen puntos a\(1\),\(0\), y\(\infty\text{,}\) la relación cruzada puede proclamar si cuatro puntos se encuentran en la misma cline: Si\((z,w;u,v)\) es un número real entonces los puntos están todos en el mismo cline; si\((z,w;u,v)\) es complejo, entonces no lo son. La prueba de este hecho se deja como ejercicio.
Toma los puntos\(1, i, -1, -i\text{.}\) Sabemos que estos cuatro puntos se encuentran en el círculo\(|z| = 1\text{,}\) por lo que de acuerdo con el enunciado anterior,\((1,i;-1,-i)\) es un número real. Comprobemos:
\ begin {alinear*} (1, i; -1, -i) & =\ dfrac {1+1} {1+i}\ cdot\ dfrac {i+i} {i+1}\\ & =\ dfrac {2} {1+i}\ dfrac {2i} {1+i}\\ & =\ dfrac {4i} {(1-1) +2i}\ & =\ dfrac {4i} {2i}\\ & = 2\ tag {Sí!} \ texto {.} \ end {alinear*}
Otra característica importante de la inversión que se transmite a las transformaciones de Möbius es la preservación de los puntos de simetría. El siguiente resultado es un corolario al Teorema\(3.2.8\).
Si\(z\) y\(z^*\) son simétricos con respecto a la clina\(C\text{,}\) y\(T\) es cualquier transformación de Möbius, entonces\(T(z)\) y\(T(z^*)\) son simétricos con respecto a la clina\(T(C)\text{.}\)
Cerramos la sección con un teorema más sobre las transformaciones de Möbius.
Dados dos clines cualesquiera\(C_1\) y\(C_2\text{,}\) existe una transformación de Möbius\(T\) que se\(C_1\) mapea en\(C_2\text{.}\) Eso es,\(T(C_1) = C_2\text{.}\)
- Prueba
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Dejar\(p_1\) ser un punto sobre\(C_1\) y\(q_1\) y\(q_1^*\) simétrico con respecto a\(C_1\text{.}\) Similarmente, dejar\(p_2\) ser un punto sobre\(C_2\)\(q_2\) y\(q_2^*\) ser simétrico con respecto a\(C_2\text{.}\) Construir la transformación Möbius que envía\(p_1 \mapsto p_2\text{,}\)\(q_1 \mapsto q_2\) y \(q_1^* \mapsto q_2^*\text{.}\)Entonces\(T(C_1)=C_2\text{.}\)
Ejercicios
Encontrar una transformación de\(\mathbb{C}^+\) que gira puntos alrededor\(2i\) por un ángulo\(\dfrac{\pi}{4}\text{.}\) Mostrar que esta transformación tiene la forma de una transformación de Möbius.
Encuentra la transformación inversa de\(T(z) = \dfrac{3z + i}{2z + 1}\text{.}\)
Demostrar teorema\(3.4.3\). Es decir, supongamos\(T\) y\(S\) son dos transformaciones de Möbius y demostrar que la composición\(T\circ S\) vuelve a ser una transformación de Möbius.
Demostrar que cualquier transformación de Möbius se puede escribir en una forma con determinante\(1\), y que esta forma es única hasta firmar.
- Pista
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¿Cómo funciona el determinante del\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\) cambio si multiplicamos la parte superior e inferior del mapa por alguna constante\(k\text{?}\)
Encuentra la transformación única de Möbius que envía\(1 \mapsto i\text{,}\)\(i \mapsto -1\text{,}\) y\(-1 \mapsto -i\text{.}\) ¿Cuáles son los puntos fijos de esta transformación? Qué es\(T(0)\text{?}\) lo que es\(T(\infty)\text{?}\)
Repita el ejercicio anterior, pero envíe\(2 \to 0\text{,}\)\(1 \to 3\) y\(4 \to 4\text{.}\)
Demuestre esta característica de la relación cruzada:\(\overline{(z, z_1; z_2, z_3)} = (\overline{z},\overline{z_1};\overline{z_2},\overline{z_3})\text{.}\)
Demostrar que la relación cruzada de cuatro números reales distintos es un número real.
Demostrar que la relación cruzada de cuatro números complejos distintos es un número real si y solo si los cuatro puntos se encuentran en el mismo cline.
- Pista
-
Demostrar que la relación cruzada de cuatro números complejos distintos es un número real si y solo si los cuatro puntos se encuentran en el mismo cline.
¿Los puntos\(2+i, 3, 5,\) y\(6 + i\) se encuentran sobre una sola clina?
Más sobre Transformaciones de Möbius.
- Dé un ejemplo de una transformación de Möbius\(T\) tal que\(\overline{T(z)} \neq T(\overline{z})\) para algunos\(z\) en\(\mathbb{C}^+\text{.}\)
- Supongamos que\(T\) es una transformación de Möbius que envía el eje real sobre sí mismo. Demostrar que en este caso,\(\overline{T(z)} = T(\overline{z})\) para todos\(z\) en\(\mathbb{C}\text{.}\)
¿Hay una transformación de Möbius que envíe\(1\)\(i\) a\(3\)\(4\),\(-1\) a,\(-i\) a\(2 + i\) y\(4 + i\text{?}\)
- Pista
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Puede ayudar observar que los puntos de entrada están en una sola clina.
Encuentra los puntos fijos de estas transformaciones en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Recuerda que\(\infty\) puede ser un punto fijo de tal transformación.
- \(\displaystyle T(z) = \dfrac{2z}{3z-1}\)
- \(\displaystyle T(z) = iz\)
- \(\displaystyle T(z) = \dfrac{-iz}{(1-i)z - 1}\)
Encuentra una transformación de Möbius que lleve el círculo\(|z| = 4\) a la línea recta\(3x + y = 4\text{.}\)
- Pista
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Da seguimiento al avance de tres puntos, y el resto seguirá.
Encuentra una transformación Möbius no trivial que fije los puntos\(-1\) y\(1\), y llama a esta transformación\(T\text{.}\) Entonces, deja\(C\) ser el eje imaginario. De que es la imagen\(C\) debajo de este mapa. Es decir, qué es cline\(T(C)\text{?}\)
Supongamos que\(z_1, z_2, z_3\) son puntos distintos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Mostrar que por un número par de inversiones podemos mapear\(z_1 \mapsto 1\text{,}\)\(z_2 \mapsto 0\text{,}\) y\(z_3 \mapsto \infty\) en el caso de que\(z_3 = \infty\text{.}\)