3.5: Transformaciones de Möbius: Una mirada más cercana
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Para visualizar las transformaciones de Möbius es útil enfocarse en puntos fijos y, en el caso de dos puntos fijos, en dos familias de clines con respecto a estos puntos.
Dados dos puntos\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) una clina tipo I de\(\boldsymbol{p}\) y\(\boldsymbol{q}\) es una clina que pasa por\(p\) y\(q\text{,}\) y una clina tipo II de\(\boldsymbol{p}\) y\(\boldsymbol{q}\) es una clina con respecto a la cual\(p\) y\(q\) son simétrico. Las clinas tipo II también se llaman círculos de Apolonio (ver Ejercicio\(3.3.2\)). La figura\(3.5.1\) muestra algunas clinas tipo I y tipo II de\(p\) y\(q\text{.}\) Las clinas tipo II de\(p\) y\(q\) son discontinuas.
Por teorema\(3.2.3\), cualquier clina tipo II de\(p\) e\(q\) intersecta cualquier clina tipo I de\(p\) y\(q\) en ángulo recto. Además, debido a que las transformaciones de Möbius preservan los clinos y los puntos de simetría, podemos estar seguros de que las transformaciones de Möbius preservan los clinos tipo I y los clinos tipo II. En particular, si\(C\) es una clina tipo I de\(p\) y\(q\text{,}\) luego\(T(C)\) es una clina tipo I de\(T(p)\) y de\(T(q)\text{.}\) manera similar, si\(C\) es una clina tipo II de\(p\) y\(q\text{,}\) entonces\(T(C)\) es una clina tipo II de\(T(p)\) y\(T(q)\text{.}\) podemos usar esto para nuestra ventaja.
Por ejemplo, los clines tipo I de los puntos\(0\) y\(\infty\) son, precisamente, líneas a través del origen, mientras que los clines tipo II de\(0\) y\(\infty\) son círculos centrados en el origen. (Recuerde, la inversión en un círculo lleva el centro del círculo a\(\infty\text{.}\)) Los clines tipo I, en este caso, son claramente perpendiculares a los clinos tipo II, y se combinan para crear un sistema de coordenadas del plano (coordenadas polares), como se muestra en la Figura\(3.5.2(a)\).
Podemos mover este sistema de clines considerando una transformación de Möbius que mapea 0 hacia\(p\) y\(\infty\) hacia\(q\) (dónde\(p, q \neq \infty\)). Las líneas a través del origen se mapean a clines tipo I de\(p\)\(q\text{,}\) y y círculos centrados en el origen se mapean a clines tipo II de\(p\) y\(q\text{.}\) El resultado es un sistema de clines que sirve como sistema de coordenadas generales para el plano. Cada punto\(z\) en el plano se encuentra en la intersección de una sola clina tipo I de\(p\)\(q\) y una sola clina tipo II de\(p\) y\(q\text{,}\) y estas dos clinas se cruzan en ángulo recto.
Volvamos a los puntos fijos y cómo pueden ayudarnos a describir las transformaciones de Möbius. Consideramos el caso que\(0\) y\(\infty\) se fijan antes de proceder al caso general.
Supongamos que\(T(z) = (az+b)/(cz+d)\) es una transformación de Möbius que fija 0 y\(\infty\text{.}\) en este caso, se puede simplificar la forma de la transformación de Möbius. En particular, ya que\(T(0) = 0\text{,}\) se deduce que\(b=0\text{.}\) Y puesto\(T(\infty)=\infty\text{,}\) que se deduce que\(c = 0\text{.}\) Así,\(T(z) = \dfrac{a}{d}z\) que puede escribirse como
\[ T(z) = re^{i\theta}z\text{.} \]
Con\(T\) esta forma, es claro que si\(T\) fija\(0\) y\(\infty\text{,}\) luego\(T\) es una combinación de una dilatación (por factor\(r\)) y una rotación alrededor del origen (por un factor\(\theta\)). Podemos suponer que\(r > 0\) en la ecuación anterior, porque si es negativa, podemos convertirla en una constante positiva sumando\(\pi\) al ángulo de rotación.
Una dilatación por\(r\) empujará puntos a lo largo de líneas a través del origen. Estas líneas son precisamente las clinas tipo I de\(0\) y\(\infty\text{.}\) Todos los puntos en el plano ya sea se dirigen hacia\(\infty\) (si\(r > 1\)) o todas se dirigen hacia 0 (si\(0 \lt r \lt 1\)). Por supuesto, si no\(r = 1\) hay dilatación.
Mientras tanto, la rotación alrededor\(\theta\) empuja\(0\) los puntos a lo largo de círculos centrados en el origen. Estos círculos son precisamente los clines tipo II de\(0\) y\(\infty\text{.}\)
Ahora supongamos que\(T\) es una transformación de Möbius que fija dos puntos finitos\(p\) y\(q\) (ninguno lo es\(\infty\)). Let
\[ S(z) = \dfrac{z - p}{z-q} \]
ser una transformación de Möbius que lleva\(p\)\(q\) a\(0\) y\(\infty\text{.}\) Let\(U\) be la transformación de Möbius determinada por la ecuación de composición
\[\begin{equation} U = S \circ T \circ S^{-1} \text{.} \end{equation} \label{3.5.1}\]
Aviso
\[ U(0) = S \circ T \circ S^{-1}(0)= S\circ T(p) = S(p) = 0\text{,} \]
y
\[ U(\infty) = S \circ T \circ S^{-1}(\infty) = S \circ T(q) = S(q) = \infty\text{.} \]
Es decir,\(U\) es una transformación de Möbius que fija\(0\) y\(\infty\text{.}\) Así, por ejemplo\(3.5.1\),\(U\) es una rotación, una dilatación, o alguna combinación de esas, y\(U\) parece\(U(z) = re^{i\theta}z\text{.}\)
En cualquier caso, enfocándonos de\(T\) nuevo y usando la ecuación (1), que puede reescribirse a medida que\(S \circ T = U \circ S\text{,}\) lleguemos a la siguiente ecuación, llamada la forma normal de la transformación de Möbius en este caso.
La forma normal de una transformación de Möbius\(T\) fijando puntos distintos\(p\) y\(q\) (ninguno de los cuales es\(\infty\)):
\[ \dfrac{T(z) - p}{T(z) - q} = re^{i\theta} \cdot \dfrac{z - p}{z -q} \]
Esta forma normal es mucho más iluminadora que la\(a,b,c,d\) forma estándar porque, aunque el mapa aún se describe en términos de cuatro constantes (\(p,q,r,\theta\)), cada constante tiene ahora una interpretación geométrica simple:\(p\) y\(q\) son puntos fijos,\(r\) es un factor de dilatación a lo largo del tipo I clines de\(p\) y\(q\text{,}\) y\(\theta\) es un factor de rotación alrededor de clinas tipo II de\(p\) y\(q\text{.}\)
En particular, gracias a la ecuación de composición (\ ref {3.5.1}) podemos ver\(T\) como la composición\(T = S^{-1}\circ U \circ S.\) Con esta visión,\(T\) mueve puntos según un viaje de tres tramos. Piense en un punto general\(z\) aferrándose a la intersección de una sola clina tipo II de\(p\)\(q\) y una sola clina tipo I de\(p\) y\(q\) (ver Figura\(3.5.3\)).
Primero,\(z\) se envía vía\(S\) a la\(S(z)\text{,}\) que se encuentra en la intersección de una línea a través del origen y un círculo centrado en el origen. Segundo,\(U\) (que tiene la forma\(U(z) = re^{i\theta} z\)), envía a\(S(z)\) lo largo de esta línea a través del origen (por factor de dilatación\(r\)), y luego alrededor de un nuevo círculo centrado en el origen (por factor de rotación\(\theta\)) hasta el punto\(U(S(z))\text{.}\) Tercero,\(S^{-1}\) envía de\(U(S(z))\) vuelta a la intersección de una clina tipo I de\(p\) y\(q\) y una clina tipo II de\(p\) y\(q\text{.}\) Este punto de intersección es\(S^{-1}(U(S(z)))\) y es equivalente a\(T(z)\text{.}\)
Aunque fatigado, nuestro punto bien transitado se da cuenta de que hay un atajo. ¿Por qué pasar por este complicado lavado? Podemos entender de la\(T\) siguiente manera:\(T\) empujará puntos a lo largo de clinas tipo I de\(p\) y\(q\) (según el factor de dilatación\(r\)) y a lo largo de clinas tipo II de\(p\) y\(q\) (según el factor de rotación\(\theta\)).
Destacamos dos casos especiales de esta forma normal. Si no\(|re^{i\theta}| = 1\) hay dilatación, y los puntos simplemente se rotan alrededor de clinas tipo II de\(p\) y\(q\) como en la Figura\(3.5.4\). Tal transformación de Möbius se llama una transformación elíptica de Möbius.
El segundo caso especial ocurre cuando\(\theta = 0\text{.}\) Aquí tenemos un factor de dilatación\(r\text{,}\) pero no rotación. Todos los puntos se mueven a lo largo de clines tipo I de\(p\) y\(q\text{,}\) como en la Figura\(3.5.5\). Una transformación Möbius de esta variedad se denomina transformación hiperbólica de Möbius. Una fijación hiperbólica de la transformación de Möbius\(p\) y\(q\) envía todos los puntos lejos\(p\) y hacia\(q\) o viceversa, dependiendo del valor de\(r\text{.}\)
Si no estamos en uno de estos casos especiales, entonces\(T\) es simplemente una combinación de estos dos, y una transformación de Möbius de este tipo a menudo se llama loxodérmica.
Si una transformación de Möbius fija dos puntos finitos, digamos\(p\)\(q\text{,}\) y y no es la transformación de identidad, entonces algún punto finito se envía a\(\infty\text{.}\) Además,\(\infty\) se envía a algún punto finito. El punto enviado al infinito se llama el polo de la transformación y a menudo se denota Es\(z_\infty\text{.}\) decir,\(T(z_\infty) = \infty\text{.}\) El polo inverso de\(\boldsymbol{T}\) es la imagen de\(\infty\) debajo del mapa, que a menudo se denota como Es\(w_\infty\text{.}\) decir,\(T(\infty) = w_\infty\text{.}\) Hay una relación simple entre los cuatro puntos \(p,q,z_\infty,\)y\(w_\infty\text{.}\)
Supongamos que\(T\) es una transformación de Möbius que fija distintos puntos\(p\) finitos\(\infty\text{,}\) y envía y envía\(\infty\) a\(w_\infty\text{.}\) Entonces\(q\text{,}\)\(z_\infty\)\(p+q = z_\infty + w_\infty\text{.}\)
- Prueba
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Supongamos\(T\) que satisface las condiciones del lema. Entonces\(T\) tiene forma normal
\[ \dfrac{z-p}{z-q} = \lambda\dfrac{T(z)-p}{T(z)-q}\text{,} \]
donde\(\lambda = re^{i\theta}\text{.}\) Enchufe\(z = z_\infty\) en la forma normal para ver
\[ \dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q} = \lambda\cdot 1\text{.} \]
Enchufe\(z = \infty\) en la forma normal para ver
\[ 1 = \lambda\dfrac{w_\infty-p}{w_\infty-q}\text{.} \]
Luego resuelve cada ecuación para\(\lambda\text{,}\) establecerlas iguales, cruzar multiplicar y simplificar de la siguiente manera para obtener el resultado:
\ begin {alinear*}\ dfrac {z_\ infty-p} {z_\ infty-q} & =\ dfrac {w_\ infty-q} {w_\ infty-p}\\ (z_\ infty-p) (w_\ infty-p) & = (w_\ infty-q) (z_\ infty-q)\ p^2-pw_\ infty-q)\ p^2-pw_ pz_\ infty & = q^2-qw_\ infty-qz_\ infty\ p^2-q^2 & = p (z_\ infty + w_\ infty) - q (z_\ infty + w_\ infty)\\ (p-q) (p+q) & = (p-q) (z_\ infty + w_\ infty)\\ p+q & = z_\ infty + w_\ infty & (\ texto {desde} p\ neq q)\ texto {.} \ end {alinear*}
Esto completa la prueba.
Si\(T\) es una transformación de Möbius que fija dos puntos distintos y finitos\(p\) y\(q\text{,}\) envía\(z_\infty\) a\(\infty\text{,}\) y envía\(\infty\)\(w_\infty\text{,}\) entonces
\[ T(z) = \dfrac{w_\infty z - pq}{z-z_\infty}\text{.} \]
- Prueba
-
En la prueba de Lemma\(3.5.1\), encontramos que la constante\(\lambda\) en la forma normal de\(T\) es
\[ \lambda = \dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q}\text{.} \]
De ello se deduce que\(T\) tiene la forma normal
\[ \dfrac{z-p}{z-q} = \left(\dfrac{z_\infty-p}{z_\infty-q}\right)\cdot\dfrac{T(z)-p}{T(z)-q}\text{.} \]
Resolver esta expresión para\(T(z)\) y reducirla usando el hecho de que\(p+q=z_\infty+w_\infty\) para obtener la expresión para\(T\) eso aparece en el enunciado del teorema. Los detalles se dejan al lector.
Por Lema\(3.5.1\), la transformación de Möbius envía\(\infty\) a\(-i\text{,}\) así por Teorema\(3.5.1\),
\[ T(z) = \dfrac{-iz-(1)(-1)}{z-i} = \dfrac{-iz+1}{z-i}\text{.} \]
Considerar la transformación de Möbius
\[ T(z) = \dfrac{(6+3i)z+(2-3i)}{z+3}\text{.} \]
Primero encontramos los puntos fijos y la forma normal de\(T\text{.}\) Para encontrar los puntos fijos que resolvemos\(T(z) = z\) para\(z\text{.}\)
\ begin {align*}\ dfrac {(6+3i) z+ (2-3i)} {z+3} & = z\\ (6+3i) z + (2-3i) & = z^2+3z\\ z^2 - (3+3i) z - (2-3i) & = 0\ text {.} \ end {alinear*}
¡Oye! ¡Espera un momento! Esto parece familiar. ¡A ver que\(\ldots\) sí! Mostramos en el Ejemplo 2.4.4 que esta ecuación cuadrática tiene soluciones\(z = i\) y\(z = 3+2i\text{.}\)
Entonces el mapa tiene estos dos puntos fijos, y la forma normal de\(T\) es
\[ \dfrac{T(z)-i}{T(z)-(3+2i)}=\lambda\dfrac{z-i}{z-(3+2i)}\text{.} \]
Para encontrar el valor de\(\lambda\text{,}\) plug en la forma normal, un valor conveniente de\(z\text{.}\) Por ejemplo,\(T(-3)=\infty\text{,}\) entonces
\[ 1=\lambda\dfrac{-3-i}{-3-(3+2i)}\text{.} \]
De ello se deduce que\(\lambda = 2\text{,}\) así\(T\) es un mapa hiperbólico que empuja puntos a lo largo de clines a través\(i\) y\(3+2i\text{.}\) Abajo hay un esquema de cómo el mapa empuja puntos alrededor en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Aviso\(T(0) =\dfrac{2}{3}-i\text{,}\)\(T(1)=2\text{,}\) y Los\(T(4i) = 2.16+4.12i\text{.}\) puntos se mueven a lo largo de clines tipo I de\(i\) y \(3+2i\)lejos de\(i\) y hacia\(3 + 2i\text{.}\)
De la descripción original de\(T\) observamos que el polo del mapa es\(z_\infty = -3\text{,}\) y el polo inverso del mapa es\(w_{\infty} = 6+3i\text{.}\) Observe que\(z_\infty\text{,}\)\(w_\infty\text{,}\) y los dos puntos fijos se encuentran todos en la misma línea euclidiana. Este siempre será el caso de una transformación hiperbólica de Möbius (Ejercicio\(3.5.1\)).
La forma normal de este mapa es
\[ \dfrac{T(z)-i}{T(z)-0}=\lambda\dfrac{z-i}{z-0}\text{.} \]
Ya\(T(1) = 2\) que sabemos que
\[ \dfrac{2-i}{2}=\lambda(1-i)\text{.} \]
Resolviendo para\(\lambda\) tenemos
\[ \lambda = \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}i\text{,} \]
y el mapa es loxodrómico.
Expresando\(\lambda\) en forma polar,\(\lambda = re^{i\theta}\text{,}\) da\(r = \dfrac{\sqrt{10}}{4}\) y\(\theta=\arctan(\dfrac{1}{3})\text{.}\) So\(T\) empuja puntos a lo largo de clines tipo I de\(i\) y de\(0\) acuerdo con el factor de escala\(r\) y a lo largo de clines tipo II de\(i\) y\(0\) según el ángulo\(\theta\text{.}\)
Ahora consideramos transformaciones de Möbius que fijan solo un punto. Una de esas transformaciones de Möbius viene a la mente de inmediato. Para cualquier número complejo\(d\text{,}\) la traducción\(T(z) = z + d\) corrige solo\(\infty\text{.}\) En los ejercicios, demuestras que las traducciones son las únicas transformaciones de Möbius que fijan\(\infty\) y ningún otro punto.
Ahora supongamos\(T\) correcciones\(p \neq \infty\) (y ningún otro punto). Dejemos\(S(z) = \dfrac{1}{z-p}\) ser una transformación de Möbius tomando\(p\) hasta\(\infty\text{,}\) y dejar\(U = S \circ T \circ S^{-1}\text{.}\) Entonces\(U(\infty) = S(T(S^{-1}(\infty)))=S(T(p))=S(p)=\infty\text{,}\) y no\(U\) fija otro punto. Por lo tanto,\(U(z) = z + d\) para alguna constante compleja\(d\text{.}\)
La ecuación de composición\(S \circ T = U \circ S\) da la siguiente ecuación llamada la forma normal de una\(\boldsymbol{T}\) fijación de transformación de Möbius\(p \neq \infty\) (y ningún otro punto):
\[ \dfrac{1}{T(z) - p} = \dfrac{1}{z-p} + d \]
Observe que\(U(z)=z+d\) empuja los puntos a lo largo de líneas paralelas entre sí en la dirección de\(d\) (como en la derecha de la Figura\(3.5.6\)). Todas estas líneas paralelas se encuentran en\(\infty\) y son mutuamente tangentes en este punto. El mapa\(S^{-1}\) lleva este sistema de clines a un sistema de clines que se encuentran justo en\(p\text{,}\) y son tangentes entre sí\(p\text{,}\) como se muestra en la imagen. La pendiente de la línea única en este sistema depende del valor de la constante\(d\text{.}\) De hecho, la línea única en el sistema de clines es la línea a través\(p\) y\(T(\infty)\) (ver Ejercicio\(3.5.12\) para más detalles).
Un mapa que fija solo\(p\) empujará puntos a lo largo de tal sistema de clines que son mutuamente tangentes en\(p\text{.}\) Tal mapa se llama parabólico. En cierto sentido, un mapa parabólico envía puntos tanto hacia como fuera a\(p\) lo largo de estos clines, así como cualquier traslación empuja puntos a lo largo de una línea hacia\(\infty\) y también lejos de\(\infty\text{.}\)
\(T(z) = (7z-12)/(3z-5)\text{.}\)Considerar Para encontrar su forma normal empezamos por encontrar sus puntos fijos.
\ begin {alinear*} z& =T (z)\\ z (3z-5) & = 7z-12\\ 3z^2-12z + 12 & = 0\\ z^2-4z + 4 & = 0\\ (z-2) ^2 & = 0\\ z& = 2\ text {.} \ end {alinear*}
Así\(T\) es parabólico y tiene forma normal
\[ \dfrac{1}{T(z)-2} = \dfrac{1}{z-2}+d\text{.} \]
Para encontrar\(d\) enchufe en la imagen de otro punto. Usando la descripción original del mapa,\(T(0)=2.4\text{,}\) lo sabemos
\[ \dfrac{1}{0.4}=\dfrac{1}{-2}+d \]
para que\(d = 3\text{.}\) La forma normal sea entonces
\[ \dfrac{1}{T(z)-2} = \dfrac{1}{z-2}+3\text{.} \]
Ejercicios
Completar la prueba del Teorema\(3.5.1\).
Analice cada una de las transformaciones de Möbius a continuación, encontrando los puntos fijos, encontrando la forma normal y esbozando el sistema de coordenadas apropiado de clines, asegurándose de indicar el movimiento de la transformación.
- \(\displaystyle T(z) = \dfrac{z}{2z-1}\)
- \(\displaystyle T(z) = \dfrac{-z}{(1+i)z - i}\)
- \(\displaystyle T(z) = \dfrac{3iz-5}{z-i}\)
Una transformación\(T\) se llama involución si es su propia inversa. Si este es el caso, entonces\(T\circ T\) es la transformación de la identidad. Demostrar que si una transformación de Möbius\(T\) es una involución y no la transformación de identidad, debe ser elíptica.
Supongamos que una transformación de Möbius\(T\) tiene la siguiente propiedad: Hay puntos distintos\(a, b, c\) en el plano complejo de\(\mathbb{C}\) tal manera que\(T(a) = b, T(b) = c, T(c) = a\text{.}\)
- ¿Cuál es la imagen de la clina única a través\(a, b,\) y por\(c\) debajo\(T\text{?}\)
- Explicar por qué la triple composición\(T\circ T \circ T\) es la transformación de la identidad.
- Demostrar que\(T\) es elíptica.
Demuestre que si la transformación de Möbius se\(T\) arregla justo\(\infty\text{,}\) entonces\(T(z) = z + d\) para alguna constante compleja\(d\text{.}\)
Encuentra la transformación de Möbius que corrige\(2\)\(4\) y envía\(2+i\) a\(\infty\text{.}\)
Usa la forma normal para construir y clasificar una transformación de Möbius que corrija\(4\)\(8\) y envía\(i\) a\(0\).
Supongamos que\(T\) es una transformación elíptica de Möbius que fija los distintos puntos finitos\(p\) y\(q\text{.}\)
- Demostrar que los puntos\(z_\infty\) y\(w_\infty\) como se define en Lema se\(3.5.1\) encuentran en la bisectriz perpendicular del segmento\(pq\text{.}\)
- Demostrar que\(T\) es la composición de dos inversiones sobre clines que contienen\(p\) y\(q\text{.}\)
- Insinuación
-
Para la parte b, piensa en qué inversión corrige\(p\)\(q\) y lleva\(z_\infty\) a\(\infty\text{?}\)
Supongamos que la transformación de Möbius\(T\) fija los puntos\(p\) distintos, finitos\(\infty\) y y envía\(z_\infty\)\(\infty\) hacia y hacia\(w_\infty\text{.}\) Por Lema\(3.5.1\) sabemos\(p+q=z_\infty+w_\infty\text{.}\) Usa la forma normal de\(T\) para probar los siguientes hechos.\(q\)
- Si\(T\) es elíptica entonces los cuatro puntos\(p\text{,}\)\(q\text{,}\)\(z_\infty\text{,}\) y\(w_\infty\) forman un rombo. ¿Bajo qué condiciones es este rombo en realidad un cuadrado?
- Si\(T\) es hiperbólico entonces estos 4 puntos se encuentran todos en la misma línea euclidiana.
- Si\(T\) es loxodérmico, entonces ¿bajo qué condiciones estos cuatro puntos determinan un rectángulo?
Demostrar que cualquier par de clines no intersecantes\(\mathbb{C}\) puede ser mapeado por una transformación de Möbius a círculos concéntricos.
- Contestar
-
Por teorema\(3.2.7\) hay dos puntos\(p\) y\(q\) en\(\mathbb{C}\) eso son simétricos con respecto a ambos clinos. ¿Qué pasa si aplicamos una transformación de Möbius que lleva uno de estos puntos a\(\infty\text{?}\)
Supongamos\(T = i_{C_1} \circ i_{C_2}\) dónde\(C_1\) y\(C_2\) son clines que no se cruzan. Demostrar que\(T\) tiene dos puntos fijos y estos puntos están en todas las clinas perpendiculares a ambos\(C_1\) y\(C_2\text{.}\)
Supongamos que\(T(z)\) es parabólico con forma normal
\[ \dfrac{1}{T(z)-p} = \dfrac{1}{z-p}+d\text{.} \]
Demostrar que la línea a través\(p\) y\(p+\dfrac{1}{d}\) se envía a sí mismo por\(T\text{.}\)
Analizar\(T(z) = \dfrac{[(1+3i)z-9i]}{[iz+(1-3i)]}\) encontrando los puntos fijos, encontrando la forma normal y esbozando el sistema apropiado de clines que indican el movimiento de la transformación.
Encuentra una transformación parabólica con punto fijo\(2+i\) para la cual\(T(\infty)=8\text{.}\)
Dados distintos puntos\(p\text{,}\)\(q\text{,}\) y\(z\) en\(\mathbb{C}\text{,}\) probar existe una clina tipo II de\(p\) y\(q\) que pasa por\(z\text{.}\)