4: Geometría

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Recordemos los dos párrafos de la Sección 1.2 que pretendíamos dedicar tiempo a dar sentido y a trabajar:

Mientras que el enfoque de Euclides a la geometría era aditivo (comenzó con definiciones básicas y axiomas y procedió a construir una secuencia de resultados dependiendo de los anteriores), el enfoque de Klein fue sustractivo. Empezó con un espacio y un grupo de transformaciones permisibles de ese espacio. Luego tiró todos los conceptos que no permanecieron inalterados bajo estas transformaciones. La geometría, a Klein, es el estudio de objetos y funciones que permanecen sin cambios bajo transformaciones permisibles.

El enfoque de Klein a la geometría, llamado Programa Erlangen después de la universidad en la que trabajó en ese momento, tiene el beneficio de que las tres geometrías (euclidiana, hiperbólica y elíptica) emergen como casos especiales desde un espacio general y un conjunto general de transformaciones.

Ahora tenemos tanto el espacio (\(\mathbb{C}^+\)) como las transformaciones (transformaciones de Möbius), y estamos a punto de embarcarnos en aventuras no euclidianas. Antes de hacerlo, sin embargo, hay que definir una frase más: grupo de transformaciones. Esta frase tiene un significado preciso. No todas las colecciones de transformaciones tienen la suerte de formar un grupo.

4.1: Los Fundamentos
El lector que haya visto la teoría de grupos sabrá que además de las tres propiedades enumeradas en nuestra definición, la operación grupal debe satisfacer una propiedad llamada asociatividad. En el contexto de las transformaciones, la operación grupal es composición de transformaciones, y esta operación es siempre asociativa. Entonces, en el presente contexto de transformaciones, omitimos la asociatividad como una propiedad que necesita ser comprobada.
4.2: Geometría Möbius
Pasamos una buena cantidad de tiempo estudiando las transformaciones de Möbius en el Capítulo 3, y esto va a pagar dividendos ahora. Destacamos que los ángulos se conservan en la geometría de Möbius, lo cual es algo bueno. Además, en lugar de perseguir la geometría muy general de Möbius, tomamos los hechos precedentes y los aplicamos de inmediato a dos de sus “subgeometrías” especiales, geometría hiperbólica y geometría elíptica.