4.2: Geometría Möbius

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Pasamos una buena cantidad de tiempo estudiando las transformaciones de Möbius en el Capítulo 3, y esto va a pagar dividendos ahora.

Definición: Geometría Möbius

La geometría de Möbius es la geometría\((\mathbb{C}^+,{\cal M}),\) donde\(\cal M\) denota el grupo de todas las transformaciones de Möbius.

Sin afirmarlo en realidad, básicamente probamos que\(\cal{M}\) es un grupo de transformaciones. A saber, probamos que la inversa de una transformación de Möbius es nuevamente una transformación de Möbius, y que la composición de dos transformaciones de Möbius es una transformación de Möbius. Observamos que el mapa de identidad\(\mathbb{C}^+\text{,}\)\(T(z) = z\text{,}\) es una transformación de Möbius (de la forma\(T(z) = \dfrac{(az+b)}{(cz+d)}\text{,}\) donde\(a = d = 1,\) y\(b = c = 0)\text{,}\) así\(\cal M\) es un grupo.

A continuación reformulamos los resultados clave del Capítulo 3 en términos geométricos:

Dos clinas cualesquiera son congruentes en Geometría de Möbius (Teorema\(3.4.10\)).
El conjunto de todos los clinos es un conjunto mínimamente invariante de Geometría de Möbius (Teoremas\(3.4.5\) y Teorema\(3.4.10\)).
La relación cruzada es una invariante de la Geometría de Möbius (Teorema\(3.4.8\)).
La medida del ángulo es una invariante de la Geometría de Möbius (Teorema\(3.4.5\)).

Mientras estamos en ello, reafirmemos otros tres datos sobre las transformaciones de Möbius:

Cualquier transformación en\(\cal{M}\) está determinada de manera única por la imagen de tres puntos.
Si\(T\) en no\(\cal{M}\) es el mapa de identidad, entonces\(T\) fija exactamente\(1\) o\(2\) puntos.
Las transformaciones de Möbius conservan los puntos de simetría.

¿Qué más? La distancia euclidiana no es una función invariante de la Geometría Möbius. Para ver esto, uno no necesita buscar más allá del mapa\(T(z) = \dfrac{1}{z}\text{.}\) Si\(p = 2\) y\(q = 3\) (dos puntos en el eje real) entonces\(d(p,q)=|p - q| = 1\text{.}\) Sin embargo, sus puntos de imagen\(T(p) = \dfrac{1}{2}\) y\(T(q) = \dfrac{1}{3}\) tienen una distancia euclidiana entre ellos de\(\dfrac{1}{6}\). Así que nuestra noción anticuada de distancia sale por la ventana en la geometría de Möbius.

Destacamos que los ángulos se conservan en la geometría de Möbius, lo cual es algo bueno. ¿Por qué esto es algo bueno? Recuerda que en el pasado lejano, la humanidad se propuso buscar una geometría en la que los primeros 4 postulados de Euclides se mantengan verdaderos, pero el ^5º uno falla. El ^4º postulado establece que todos los ángulos rectos se igualan entre sí. Esto significa que si Ralph sostiene un ángulo recto sobre en la esquina, y Randy está sosteniendo uno abajo de la cuadra en alguna parte, debemos poder transformar uno sobre otro y ver que los ángulos son los mismos. Las transformaciones no cambian los ángulos.

En lugar de perseguir la geometría muy general de Möbius, tomamos los hechos precedentes y los aplicamos de inmediato a dos de sus “subgeometrías” especiales, geometría hiperbólica y geometría elíptica.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Qué cifras en la Figura\(4.2.1\) son congruentes en\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{.}\)

Contestar: \(A \cong F\text{;}\)\(B \cong G\text{;}\)\(C \cong E\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Describir un conjunto mínimamente invariante al\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\) contener el “triángulo” compuesto por los tres vértices\(0\)\(1\),\(i\) y los tres segmentos de línea euclidiana que los conectan. Sea lo más específico posible sobre los miembros de este conjunto.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Supongamos\(p\) y\(q\) son distintos, los puntos finitos en\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Let\(G\) constan de todas las transformaciones elípticas de Möbius que fijan\(p\) y\(q\text{.}\) consideramos la geometría\((\mathbb{C}^+,G)\text{.}\)

Demostrar que\(G\) es un grupo de transformaciones.
Determinar un conjunto mínimamente invariante en\((\mathbb{C}^+,G)\) que contiene la línea euclidiana a través\(p\) y\(q\text{.}\)
Determinar un conjunto mínimamente invariante en el\((\mathbb{C}^+,G)\) que contiene la bisectriz perpendicular del segmento\(pq\text{.}\)
Para cualquier punto\(z \neq p, q\) en\(\mathbb{C}^+\text{,}\) caracterizar todos los puntos en\(\mathbb{C}^+\) congruente a\(z\text{.}\)
¿Es\((\mathbb{C}^+,G)\) homogéneo?

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Repita el ejercicio anterior para el conjunto\(G\) que consiste en todas las transformaciones hiperbólicas de Möbius que fijan\(p\) y\(q\text{.}\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Cuáles de estas cifras son congruentes en\((\mathbb{C}^+,\cal{M})\text{?}\) (Copyright; autor vía fuente)