4.1: Los Fundamentos
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Una colección\(G\) de transformaciones de un conjunto\(A\) se denomina grupo de transformaciones si\(G\) tiene las siguientes tres propiedades:
- Identidad:\(G\) contiene la transformación de identidad\(T:A→A\) definida por\(T(a)=a\) para todos\(a∈A\).
- Cierre: Si\(T\) y\(S\) son dos transformaciones en\(G\), entonces la composición\(T∘S\) está en\(G\).
- Inversa: Si\(T\) está en\(G\), entonces la inversa\(T^{−1}\) está en\(G\).
El lector que haya visto la teoría de grupos sabrá que además de las tres propiedades enumeradas en nuestra definición, la operación grupal debe satisfacer una propiedad llamada asociatividad. En el contexto de las transformaciones, la operación grupal es composición de transformaciones, y esta operación siempre es asociativa: si\(R,S\text{,}\) y\(T\) son transformaciones de un conjunto\(A\text{,}\) entonces la transformación\((R \circ S) \circ T\) es igual a la transformación\(R \circ (S \circ T)\text{.}\) Entonces, en el contexto presente de transformaciones, omitimos la asociatividad como una propiedad que necesita ser comprobada.
Dejar\(\cal T\) denotar la colección de todas las traducciones del plano\(\mathbb{C}\text{.}\) En particular, para cada\(b \in \mathbb{C}\text{,}\) let\(T_b: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) denotar la traducción\(T_b(z) = z + b\text{.}\) El conjunto\(\cal T\) consta de todos\(T_b\text{,}\) para todos Es\(b \in \mathbb{C}\text{.}\) decir,
\[ {\cal T} = \{ T_b ~|~ b \in \mathbb{C}\}\text{.} \]
Demostrar que\(\cal T\) es un grupo de transformaciones.
Solución
Para verificar\(\cal T\) formas un grupo, debemos verificar las tres propiedades.
- \(\cal T\)contiene la identidad: Dado que\(0 \in \mathbb{C}\text{,}\)\({\cal T}\) contiene\(T_0(z) = z + 0 = z\text{,}\) cual es la transformación de la identidad de\(\mathbb{C}\text{.}\)
- \(\cal T\)tiene cierre: Supongamos\(T_b\) y\(T_c\) están en\(\cal T\text{.}\) Entonces\(T_b \circ T_c(z) = T_b(z + c) = (z+c)+b = z + (b+c)\text{.}\) Pero este mapa es exactamente la traducción en la\(T_{b+c}\text{,}\) que se encuentra\(\cal T\) desde\(b + c \in \mathbb{C}\text{.}\) Así, la composición de dos traducciones vuelve a ser una traducción. Notacionalmente, hemos demostrado que\(T_b \circ T_c(z) = T_{b+c}(z)\text{.}\)
- \(\cal T\)contiene inversos: Supongamos que\(T_b\) está en\(\cal T\text{,}\) y considera\(T_{-b}\text{,}\) cuál está en\(\cal T\) desde\(-b \in \mathbb{C}\text{.}\) Note que\(T_b \circ T_{-b}(z) = T_b(z - b) = (z - b)+b = z\text{,}\) y\(T_{-b}\circ T_b(z) = T_{-b}(z+b) = (z + b)-b = z\text{.}\) Así,\(T_{-b}\) es la inversa de\(T_b\text{,}\) y esta inversa está en\(\cal T\text{.}\) Notacionalmente,\(T^{-1}_b = T_{-b}\text{:}\) la inversa de la traducción por\(b\) es traducción de vuelta por\(-b\text{.}\)
Dejar\(S\) ser cualquier conjunto, y\(G\) un grupo de transformaciones en\(S\text{.}\) El par\((S,G)\) se llama geometría. Una figura en la geometría es cualquier subconjunto\(A\) de\(S\text{.}\) Un elemento de\(S\) se llama punto en la geometría. Dos figuras\(A\) y\(B\) se llaman congruentes, denotadas\(A \cong B\text{,}\) si existe una transformación\(T\) en\(G\) tal que\(T(A) = B\text{.}\)
Aunque una figura en una geometría\((S,G)\) se define como un subconjunto de\(S\text{,}\) hacemos un abuso de notación y a veces tratamos los puntos como figuras. Por ejemplo, podríamos escribir\(a \cong b\) para dos puntos\(a\) y\(b\) en\(S\) cuando, formalmente, nos referimos a\(\{a\} \cong \{b\}\text{.}\) Incidentalmente,\(a \cong b\) en los\((S,G)\) medios geométricos existe una transformación\(T \in G\) tal que\(T(a) = b\text{.}\)
Veamos algunos ejemplos ahora para ayudar a clasificar estas definiciones.
Considera el conjunto\(H = \{R_0, R_{\pi/2}, R_{\pi}, R_{3\pi/2}\}\) que consta de cuatro rotaciones de\(\mathbb{C}\) aproximadamente el origen (por 0,\(\pi/2\text{,}\)\(\pi\text{,}\) y\(3\pi/2\) radianes). Observamos primero que\(H\) forma un grupo. Ya que\(R_0(z)=e^{i0}z = z\text{,}\)\(H\) contiene la transformación de identidad en\(\mathbb{C}\text{.}\) El set también satisface el cierre, y el lector puede verificar todas las composiciones posibles. Por ejemplo,\(R_{3\pi/2} \circ R_{\pi} = R_{\pi/2}\text{.}\) Finalmente, la inversa de cada transformación en\(H\) está nuevamente en\(H\text{.}\) Comprobar eso\(R_0^{-1} = R_0\text{,}\)\(R_{\pi/2}^{-1} = R_{3\pi/2}\text{,}\)\(R_\pi^{-1} = R_\pi\text{,}\) y\(R_{3\pi/2}^{-1} = R_{\pi/2}\text{.}\) Así,\(H\) es un grupo y podemos estudiar la geometría\((\mathbb{C},H)\text{.}\) Por ejemplo, es el círculo\(C\) dado por\(|z-i|=.5\) congruente con el círculo\(D\) dado por\(|z| = .5\text{?}\) Bueno, ¿hay una transformación en\(H\) esos mapas\(C\) en\(D\text{?}\) No! A continuación se muestran los únicos cuatro círculos congruentes con\(C\) los que se muestran. Estos se encuentran rotando\(C\) alrededor del origen en 0,\(\pi/2\text{,}\)\(\pi\text{,}\) o\(3\pi/2\) radianes, las únicas transformaciones permisibles en esta geometría.
Observe también que cualquier punto\(z \neq 0\) es congruente con cuatro puntos:\(z\text{,}\)\(e^{i\pi/2}z\text{,}\)\(e^{i\pi}z\text{,}\) y\(e^{i3\pi/2}z\text{.}\) ¿Cuántos puntos son congruentes con ¿\(z = 0\text{?}\)Son todas las líneas congruentes en esta geometría? No. Sólo se nos permiten estas pocas rotaciones, así que no tenemos forma de mapear la línea\(y=x\text{,}\) digamos, a la línea\(y=x+1\text{.}\)
Considera la reflexión de\(\mathbb{C}\) a través del eje real, dado por\(r(z) = \overline{z}\text{.}\) Dado que\(r \circ r\) es el mapa de identidad, el conjunto\(G = \{1,r\}\) es un grupo de transformaciones sobre\(\mathbb{C}\text{,}\) y podemos definir la geometría\((\mathbb{C},G)\text{.}\) Observe que si bien\(3+i\) es congruente con\(3-i\) en esta geometría, no es congruente con\(-3+i\text{.}\) También, el círculo\(|z-2i|=1\) es congruente con el círculo\(|z+2i|=1\) pero no con el círculo\(|z-3i|=1\text{.}\)
Vamos a\(\cal T\) denotar el grupo de traducciones en Ejemplo\(4.1.1\), y considerar la geometría\((\mathbb{C}, {\cal T})\text{.}\) que llamamos a esta geometría geometría traslacional. ¿Qué figuras de la Figura\(4.1.1\) son congruentes en esta geometría?
Recuerden, dos figuras son congruentes si podemos encontrar una transformación que “mueva” una figura encima de la otra. Como nuestros movimientos permitidos aquí son traducciones, no podemos cambiar el radio de un círculo (eso es una dilatación), y no podemos rotar objetos. Entonces, en la geometría traslacional las únicas figuras congruentes en Figura\(4.1.1\) son\(H\) y\(L\text{.}\)
Una colección\(\cal D\) de figuras en una geometría\((S,G)\) se llama un conjunto invariante si, para cualquier figura\(A\) en\(\cal D\) y cualquier transformación\(T\) en también\(G\text{,}\)\(T(A)\) está en\(\cal D\text{.}\) Una función\(f\) definida en\(\cal D\) se llama función invariante si\(f(B) = f(T(B))\) para cualquier figura\(B\) en\(\cal D\) y cualquier transformación\(T\) en\(G\text{.}\)
Por ejemplo, supongamos que\({\cal D}\) es el conjunto de todas las líneas en\(\mathbb{C}\text{.}\) Let\(f\) be la función que lleva una línea a su pendiente. En la geometría traslacional,\((\mathbb{C}, {\cal T})\text{,}\) el conjunto\(\cal D\) de todas las líneas es un conjunto invariante porque si\(A\) es alguna línea, entonces también lo es su imagen,\(T(A)\text{,}\) bajo cualquier traducción\(T\) en\(\cal T\text{.}\) Además,\(f\) es una función invariante porque cualquier traducción de cualquier línea conserva el pendiente de esa línea.
Por supuesto, dos figuras en un conjunto invariante no necesitan ser congruentes. Por ejemplo, en la geometría traslacional el conjunto\(\cal D\) de todas las líneas es un conjunto invariante, aunque si las líneas\(A\) y\(B\) en\(\cal D\) tienen pendientes diferentes entonces no son congruentes. Esta característica del set\(\cal D\) hace que parezca demasiado grande, en cierto sentido. ¿Pueden los conjuntos invariantes ser más exclusivos, conteniendo solo miembros que sean congruentes entre sí? Apuesto a que pueden.
Un conjunto de figuras\(\cal D\) en una geometría se llama mínimamente invariante si ningún subconjunto apropiado de la misma también es un conjunto invariante.
Por ejemplo, el conjunto de todas las líneas no es un conjunto mínimamente invariante en la geometría traslacional porque tiene subconjuntos adecuados que también son conjuntos invariantes. Uno de esos subconjuntos consiste en todas las líneas con pendiente\(8\).
Un conjunto invariante\(\cal D\) de figuras en una geometría\((S,G)\) es mínimamente invariante si y solo si dos figuras en cualquiera\(\cal D\) son congruentes. Prueba.
- Prueba
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Primero supongamos que\(\cal D\) es un conjunto mínimamente invariante en la geometría\((S,G)\text{,}\) y supongamos\(A\) y\(B\) son figuras arbitrarias en\(\cal D\text{.}\) Debemos demostrar que\(A \cong B\text{.}\)
Comenzamos construyendo un nuevo conjunto de figuras, el que consiste en\(A\) y todas las transformaciones de\(A\text{.}\) En particular, definir
\[ {\cal A} = \{ T(A) ~|~ T \in G\}\text{.} \]
Observe que para cualquiera\(T \in G\text{,}\)\(T(A)\) está en el conjunto\(\cal D\) ya que\(\cal D\) es invariante. Esto significa que\({\cal A}\) es un subconjunto de\(\cal D\text{.}\)
Además,\(\cal A\) en sí mismo es un conjunto invariante, gracias a la naturaleza grupal de\(G\text{.}\) En particular, si\(C\) es algún miembro de\(\cal A\text{,}\) entonces\(C = T_0(A)\) para algunos particulares\(T_0\) en\(G\text{.}\) Así, aplicando cualquier transformación\(T\) a\(C\text{,}\)
\[ T(C) = T(T_0(A)) = T \circ T_0(A) \]
y ya\(T \circ T_0\) que vuelve a ser una transformación en\(G\text{,}\)\(T \circ T_0(A)\) vidas en\(\cal A\text{.}\)
Así que hemos establecido dos hechos: (1)\(\cal A\) es un subconjunto de\(\cal D\text{,}\) y (2)\(\cal A\) es un conjunto invariante. Ya que\(\cal D\) es un conjunto mínimamente invariante se deduce por definición que\({\cal A} = {\cal D}\text{.}\) Esto significa que el conjunto dado\(B\text{,}\) que se encuentra en también\(\cal D\text{,}\) está en\(\cal A\text{.}\) Eso es,\(A \cong B\text{.}\)
La prueba de la otra dirección se deja como ejercicio para el lector.
La prueba del teorema\(4.1.1\) ilustra una manera conveniente de encontrar conjuntos mínimamente invariantes: Si\(A\) es una figura en\((S,G)\text{,}\) entonces\({\cal A} = \{ T(A) ~|~ T \in G\}\) es un conjunto mínimamente invariante.
La geometría euclidiana es la geometría\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{,}\) donde\(\cal{E}\) consiste en todas las transformaciones de la forma\(T(z) = e^{i\theta}z + b\text{,}\) donde\(\theta\) es un número real y\(b\) está en\(\mathbb{C}\text{.}\) Nota que\(\cal E\) consiste precisamente en aquellas transformaciones lineales generales de la forma\(T(z) = az+b\) en que\(|a| = 1\text{.}\) En los ejercicios, se comprueba que esta colección es efectivamente un grupo de transformaciones.
El grupo\(\cal{E}\) incluye rotaciones y traslaciones, pero no dilataciones. Echemos un vistazo a algunas propiedades familiares de los objetos que deberían ser invariantes en la geometría euclidiana.
La distancia euclidiana entre dos puntos\(z_1\) y\(z_2\) se define como\(|z_1 - z_2|\text{.}\) Para mostrar que esta es una función invariante de\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{,}\) necesitamos mostrar que para cualquiera\(T\) en el grupo\(\cal E\text{,}\) la distancia entre\(z_1\) y\(z_2\) es igual a la distancia entre \(T(z_1)\)y\(T(z_2)\text{:}\)
\ begin {align*} |T (z_1) - T (z_2) | & = | (e^ {i\ theta} z_1 + b) - (e^ {i\ theta} z_2 + b) |\\ & = |e^ {i\ theta} (z_1 - z_2) |\\ & = |e^ {i\ theta} |z_1 - z_2|\\ & = |z_1 - z_2| &\ text {(desde} |e^ {i\ theta} |=1)\ text {.} \ end {align*}
Así, la distancia euclidiana se conserva en\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}\)
Los ángulos también se conservan. Ya hemos demostrado que las transformaciones lineales generales preservan los ángulos (Teorema\(3.1.3\)), y las transformaciones euclidianas son transformaciones lineales generales, por lo que los ángulos se conservan en\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}\)
Una geometría\((S,G)\) se llama homogénea si dos puntos cualesquiera\(S\) son congruentes, e isotrópica si el grupo de transformación contiene rotaciones alrededor de cada punto en\(S\text{.}\)
\((\mathbb{C},{\cal T})\)La geometría traslacional es homogénea porque hay una traslación que mapeará cualquier punto de\(\mathbb{C}\) a cualquier otro punto de Es\(\mathbb{C}\text{.}\) decir, cualesquiera dos puntos de\(\mathbb{C}\) son congruentes. Por supuesto, sin rotaciones, la geometría traslacional no es isotrópica. Aquí hay un argumento formal que\((\mathbb{C},{\cal T})\) es homogéneo:
Supongamos\(p\) y\(q\) son puntos arbitrarios en\(\mathbb{C}\text{.}\) Debemos encontrar una traducción\(T\) de\(\cal{T}\) tal manera que\(T(p) = q\text{.}\) Dejemos\(w = q - p\text{,}\) y consideremos la traducción\(T_w\) en\(\cal{T}\text{.}\) Entonces\(T_w(p) = p + w = p + (q - p) = q\text{.}\) Así\(T_w(p) = q\) y\(p \cong q\text{.}\) Desde\(p\) y\(q\) son puntos arbitrarios en\(\mathbb{C}\) ello se deduce que\((\mathbb{C},\cal{T})\) es homogéneo.
\((\mathbb{C},\cal{E})\)La geometría euclidiana es homogénea ya que contiene todas las traducciones, pero las geometrías del Ejemplo 4.1.4 y Ejemplo 4.1.5 no lo son.
Una métrica para una geometría\((S,G)\) es una función invariante que\(d:S \times S \to \mathbb{R}\) mapea cada par ordenado\((x,y)\) de elementos\(S\) a un número real de tal manera que
- \(d(x,y) \geq 0\)para todos\(x,y \in S\) y\(d(x,y) = 0\) si y solo si\(x = y\text{.}\)
- \(d(x,y) = d(y,x)\)para todos\(x,y \in S\text{.}\)
- (Desigualdad triangular)\(d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\) para todos\(x,y,z \in S\text{.}\)
La métrica euclidiana se define por Ya\(d(z,w)=|z-w|\text{.}\) hemos demostrado que\(d\) se conserva bajo transformaciones euclidianas, y las dos primeras condiciones de ser métrica siguen directamente de la definición de módulo. Se establece la desigualdad triangular por cómputo directo en el siguiente lema.
Para cualquier punto\(z, w, v\) en\(\mathbb{C}\text{,}\)
\[ |z - w| \leq |z - v| + |v - w|\text{.} \]
- Prueba
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Si\(v = w\) entonces el resultado se mantiene, entonces asumimos\(v \neq w\text{.}\) Dado que\(d\) es invariante bajo transformaciones euclidianas, podemos suponer que\(v = 0\) y\(w = r > 0\) es un punto en el eje real positivo. (Traducir el plano por\(-v\) para enviar\(v\) a\(0\), y luego girar alrededor\(0\) hasta que la imagen de\(w\) debajo de la traslación aterrice en el eje real positivo.) Por lo tanto, basta con demostrar que para cualquier número complejo\(z\) y cualquier número real positivo\(r\text{,}\)
\[ |z - r| \leq |z| + r\text{.} \]
Observe que
\ begin {align*} |z - r|\ leq |z| + r &\ iff |z-r|^2\ leq (|z| + r) ^2\\ &\ iff (z - r) (\ overline {z} -r)\ leq |z|^2 + 2r|z| + r^2\\ &\ iff |z^2 - (z+\ overline {z}) + r^2\ leq |z|^2 + 2r|z| + r^2\\ &\ iff - (z+\ overline {z})\ leq 2|z|\\ &\ iff -2 Re (z)\ leq 2|z|\\ &\ iff -Re (z)\ leq |z|\ texto {.} \ end {align*}
Al dejar\(z = a + bi\text{,}\) que podamos reafirmar la última desigualdad como
\[ -a \leq \sqrt{a^2 + b^2}\text{,} \]
lo cual es cierto desde\(-a \leq |a| = \sqrt{a^2} \leq \sqrt{a^2 + b^2}\text{.}\)
Ejercicios
Encuentra una traducción particular para demostrarlo en Figura\(4.1.1\)\(H \cong L\) en geometría traslacional.
Dejar\(\cal A\) ser el conjunto de todos los círculos en\(\mathbb{C}\) centrado en el origen, y dejar\(G\) ser el conjunto de todas las inversiones sobre círculos en Es\(\cal A\text{.}\) decir,
\[ G = \{i_C ~|~ C \in {\cal A} \}\text{.} \]
Es\(G\) un grupo de transformaciones de\(\mathbb{C}^+\text{?}\) Explicar.
Demostrar que el grupo\(\cal{E}\) de transformaciones euclidianas de\(\mathbb{C}\) es efectivamente un grupo.
Que\(G\) sea el conjunto de todas las dilataciones de\(\mathbb{C}^+\text{.}\) Eso es
\[ G = \{ T(z) = kz ~|~ k \in \mathbb{R}, k > 0 \} \text{.} \]
Es\(G\) un grupo de transformaciones de\(\mathbb{C}^+\text{?}\) Explicar.
¿Verdadero o Falso? Determina si la afirmación es verdadera o falsa, y apoya tu respuesta con un argumento.
- Dos líneas cualesquiera son congruentes en geometría euclidiana\((\mathbb{C},\cal{E})\text{.}\)
- Dos círculos cualesquiera son congruentes en geometría euclidiana\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{.}\)
Demostrar que si un conjunto de figuras\(\cal D\) es invariante en una geometría\((S,G)\text{,}\) y dos figuras cualesquiera en\(\cal D\) son congruentes, entonces\(\cal D\) es mínimamente invariante.
Describir un conjunto mínimamente invariante de geometría traslacional que contiene la figura\(D\) de la Figura\(4.1.1\).
La geometría rotacional es la geometría\((\mathbb{C}, {\cal R})\) donde\({\cal R}\) está el grupo de rotaciones sobre el origen. Eso es
\[ {\cal R} = \{ R_\theta(z) = e^{i\theta}z ~|~ \theta \in \mathbb{R}\}\text{.} \]
- Demostrar que\(\cal R\) es un grupo de transformaciones.
- ¿\({\cal D} = \{\)Todas las líneas en\(\mathbb{C}\}\) un conjunto invariante están en geometría rotacional? ¿Es un conjunto mínimamente invariante?
- Encontrar un conjunto de geometría rotacional mínimamente invariante que contenga el círculo\(|z-(2+i)| = 4\text{.}\)
- ¿Es\((\mathbb{C}, {\cal R})\) homogéneo? ¿Isotrópico?
Demostrar que la función\(v(z_1,z_2) = z_1 - z_2\) es invariante en la geometría traslacional\((\mathbb{C},{\cal T})\) pero no en la geometría rotacional\((\mathbb{C},{\cal R})\text{.}\)
Demostrar que la siguiente función es una métrica para cualquier geometría\((S,G)\text{.}\)
\[ d(x,y) = \begin{cases} 0 & \text{if } x=y; \\ 1 & \text{if } x\neq y \end{cases}\text{.} \]
Demostrar que\((\mathbb{C}, \cal{E})\) es isotrópico. Es decir, mostrar que el grupo\(\cal E\) contiene todas las rotaciones sobre todos los puntos en\(\mathbb{C}\text{.}\)
Qué cifras de la Figura\(4.1.1\) son congruentes en\((\mathbb{C}, \cal{E})\text{?}\)
Vamos a crear una geometría completamente nueva, usando el conjunto de enteros\(\mathbb{Z} = \)\(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\text{.}\) Para cada entero\(n\text{,}\) definimos la transformación\(T_n: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) por\(T_n(z) = z + n i.\) Let\(G\) denotar el conjunto de todas las transformaciones\(T_n\) para todos los enteros Es\(n\text{.}\) decir,\(G = \{T_n ~|~ n \in \mathbb{Z}\}.\)
- Demostrar que\((\mathbb{C}, G)\) es una geometría.
- Considera el conjunto de figuras\({\cal D}\) que consta de todas las líneas del plano con pendiente\(4\). Es\(\cal D\) un conjunto invariante de\((\mathbb{C}, G)\text{?}\) ¿Es mínimamente invariante? Explique.
- Mi línea favorita, por razones claras y personales, es\(y = x + 8\text{.}\) Por favor, describa un conjunto de figuras mínimamente invariante que contenga esta línea.
- Determinar el conjunto de puntos en\(\mathbb{C}\) congruente con\(i\) en esta geometría. ¿Es\(\mathbb{C}\) homogéneo?