5.1: El Modelo de Disco Poincaré

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Definición: Modelo de disco Poincaré para geometría hiperbólica

El modelo de disco de Poincaré para geometría hiperbólica es el par$(\mathbb{D},{\cal H})$ donde$\mathbb{D}$ consiste en todos los puntos$z$ en$\mathbb{C}$ tal que$|z| \lt 1\text{,}$ y${\cal H}$ consiste en todas las transformaciones de Möbius$T$ para las cuales$T(\mathbb{D}) = \mathbb{D}\text{.}$ El conjunto$\mathbb{D}$ se llama el plano hiperbólico, y${\cal H}$ se llama el grupo de transformación en geometría hiperbólica.

Observamos que$\cal H$ efectivamente forma un grupo de transformaciones, hecho que se trabaja en los ejercicios. A lo largo de este capítulo el círculo unitario se llamará el círculo en el infinito, denotado por Por$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ supuesto, el círculo en el infinito no está incluido en el plano hiperbólico$\mathbb{D}$ sino que lo limita. El círculo al infinito será ampliamente utilizado en nuestras investigaciones. Observamos aquí que cualquier transformación de Möbius que se envíe$\mathbb{D}$ a sí misma también se envía$\mathbb{S}^1_\infty$ a sí misma.

Figura$\PageIndex{1}$: La inversión sobre una clina ortogonal al círculo unitario lleva$\mathbb{D}$ a$\mathbb{D}\text{.}$ (Copyright; autor vía fuente)

Considera una clina$C$ que es ortogonal al círculo en el infinito$\mathbb{S}^1_\infty\text{,}$ como en la Figura$5.1.1$. Si invertimos sobre$C\text{,}$$\mathbb{S}^1_\infty$ se invierte a sí mismo. Además, esta inversión toma el interior del$\mathbb{S}^1_\infty\text{,}$ plano hiperbólico$\mathbb{D}\text{,}$ a sí mismo también, (Ejercicio$3.2.10$). De ello se deduce que las composiciones de dos inversiones de este tipo es una transformación de Möbius que se envía$\mathbb{D}$ a sí misma, y es así en el grupo${\cal H}\text{.}$ Estas inversiones juegan un papel importante en la geometría hiperbólica, y les damos un nombre.

Una inversión en una clina$C$ que es ortogonal a$\mathbb{S}^1_\infty$ se llama reflejo del plano hiperbólico, o, reflexión hiperbólica.

Resulta que estas reflexiones generan todos los mapas en${\cal H}\text{.}$ Por ejemplo, la rotación sobre el origen es una transformación de Möbius que se envía$\mathbb{D}$ a sí misma, por lo que está en$\cal H\text{.}$ Pero la rotación sobre el origen es también la composición de dos reflexiones sobre líneas que se cruzan en el origen. Dado que cualquier línea a través del origen se encuentra con el círculo unitario en ángulo recto, la reflexión sobre dicha línea es un reflejo del plano hiperbólico, por lo que la rotación alrededor del origen es la composición de dos de tales reflexiones. Ahora probamos el siguiente resultado general.

Teorema$\PageIndex{1}$

Cualquier transformación de Möbius${\cal H}$ es la composición de dos reflexiones del plano hiperbólico.

Prueba

Supongamos que$T$ es una transformación Möbius que se envía$\mathbb{D}$ a sí misma. Esto significa que algún punto en$\mathbb{D}\text{,}$ decir$z_0\text{,}$ se envía al origen,$0$. $z_0^*$Sea el punto simétrico$z_0$ con respecto a$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Since$T$ envía el círculo unitario a sí mismo, y las transformaciones de Möbius conservan los puntos de simetría, se deduce que$T$ envía$z_0^*$ a$\infty\text{.}$ Además, algún punto$z_1$ sobre$\mathbb{S}^1_\infty$ se envía al grano$1$.

Si$z_0=0\text{,}$ entonces$z_0^* = \infty\text{,}$ y$T$ fija$0$ y$\infty\text{.}$ Entonces por Ejemplo$3.5.3$,$T(z) = re^{i\theta}z$ es una dilatación seguida de una rotación. No obstante, ya que$T$ también envía$\mathbb{D}$ sobre$\mathbb{D}\text{,}$ el factor de dilatación debe ser$r = 1\text{.}$ Así$T$ es simplemente una rotación sobre el origen, que es la composición de dos reflexiones hiperbólicas sobre las líneas euclidianas a través del origen.

Ahora supongamos$z_0 \neq 0\text{.}$ En este caso, mediante el uso$z_0, z_0^*\text{,}$ y$z_1$ como anclajes, podemos lograr$T$ a través de dos reflexiones hiperbólicas, de la siguiente manera:

Primero, invertir alrededor de un círculo$C$ ortogonal al$\mathbb{S}^1_\infty$ que envía$z_0$ al origen.

Tal círculo sí existe, y lo construiremos ahora. Al igual que en la Figura$5.1.2$, dibujar círculo$C_1$ con diámetro$0z_0^*\text{.}$ Let$p$ ser un punto de intersección de$C_1$ y el círculo unitario$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Construir el círculo$C$ a través$p$ centrado en$z_0^*\text{.}$ Desde$\angle 0pz_0^*$ es correcto,$\mathbb{S}^1_\infty$ es ortogonal a$C\text{,}$ así inversión sobre$C$ envía$\mathbb{S}^1_\infty$ a sí mismo. Además, dado que$z_0^*$ se envía a$\infty$ y se deben conservar los puntos de simetría, inversión en$C$ envíos$z_0$ a$0$.

Así, la primera inversión lleva$z_0$$z_0^*$ a$0$ y$\infty\text{.}$ para construir también$T$ debemos enviar$z_1$ a$1$. Tenga en cuenta que la inversión en círculo$C$ habrá enviado$z_1$ a algún punto$z_1^\prime$ en el círculo unitario (ya que$\mathbb{S}^1_\infty$ se envía a sí mismo). Ahora reflexiona a través de la línea a través del origen que biseca ángulo$\angle 10z_1^\prime\text{.}$ Esto envía$z_1^\prime$ a$1$, envía$\mathbb{D}$ a$\mathbb{D}\text{,}$ y sale$0$ y$\infty$ fija. Al componer estas dos inversiones se obtiene una transformación de Möbius que envía$z_0$ a$0$,$z_0^*$ a$\infty$ y$z_1$ a$1$. Dado que una transformación de Möbius está determinada de manera única por la imagen de tres puntos, esta transformación de Möbius es$T\text{.}$

Figura$\PageIndex{2}$: Construyendo un círculo$C$ ortogonal a$\mathbb{S}^1_\infty$ alrededor del cual$z_0$ se invierte a$0$. (Copyright; autor vía fuente)

Observe que al probar el Teorema$5.1.1$ probamos el siguiente hecho útil.

Teorema$\PageIndex{2}$

Dado$z_0$ en$\mathbb{D}$ y$z_1$ en$\mathbb{S}^1_\infty$ existe una transformación en${\cal H}$ que envía$z_0$ hacia$0$ y$z_1$ hacia$1\text{.}$

Por lo tanto, se puede ver cualquier transformación en${\cal H}$ como la composición de dos inversiones sobre clines ortogonales a$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Además, estos mapas pueden clasificarse según si los dos clines de inversión se cruzan cero veces, una o dos veces. En la Figura$5.1.3$ ilustramos estos tres casos. En cada caso, construimos una transformación$T$${\cal H}$ invirtiendo alrededor de los clinos sólidos en la figura (primero aproximadamente$L_1\text{,}$ luego aproximadamente$L_2$). La figura también rastrea el viaje de un punto$z$ bajo estas inversiones, primero a$z^\prime$ invirtiendo alrededor y$L_1\text{,}$ luego$T(z)$ invirtiendo$z^\prime$ sobre Las clinas discontinuas en$L_2\text{.}$ la figura representan algunas de las clinas del movimiento, las clinas a lo largo de las cuales se mueven los puntos por la transformación. Observe que estas clinas de movimiento son ortogonales a ambas clinas de inversión. Trabajemos a través de los tres casos con cierto detalle.

Figura$\PageIndex{3}$: Los tres tipos de transformaciones en${\cal H}\text{:}$ (a) rotación hiperbólica (b) desplazamiento paralelo (c) traducción hiperbólica. (Copyright; autor vía fuente)

Si los dos clines de inversión,$L_1$ y se$L_2\text{,}$ cruzan dentro$\mathbb{D}\text{,}$ dicen en el punto$p\text{,}$ entonces también se cruzan afuera$\mathbb{D}$ en el punto$p^*$ simétrico$p$ con respecto al círculo unitario ya que ambos clines son ortogonales a$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Esta escena se muestra en la Figura$5.1.3(a)$. La transformación resultante de Möbius fijará$p$ (y$p^*$), provocando una rotación de puntos$\mathbb{D}$ alrededor$p$ a lo largo de clines tipo II de$p$ y$p^*\text{.}$ No es sorprendente, llamaremos a este tipo de mapa en${\cal H}$ una rotación del plano hiperbólico sobre el punto$p\text{;}$ o, si el contexto es claro, llamamos a dicho mapa una rotación sobre$p\text{.}$

Si los clines de inversión se cruzan solo una vez, entonces debe estar en un punto$p$ del círculo unitario. De lo contrario, el punto simétrico del$p^*\text{,}$ que$p\text{,}$ sería distinto también pertenecería a ambos clinos, dándonos dos puntos de intersección. El mapa resultante mueve puntos a lo largo de círculos en$\mathbb{D}$ que son tangentes al círculo unitario en este punto Los$p\text{.}$ círculos en$\mathbb{D}$ que son tangentes al círculo unitario se denominan horociclos, y este tipo de mapa se denomina desplazamiento paralelo. Ver Figura$5.1.3(b)$.

Si los clinos de inversión no se cruzan, entonces al menos uno de los clinos debe ser un círculo; y según el Teorema$3.2.7$, hay dos puntos$p$ y$q$ simétricos con respecto a ambos clinos. Estos dos puntos serán fijados por la transformación resultante de Möbius, ya que cada inversión envía$p$ a$q$ y$q$ a$p\text{.}$ Además, estos dos puntos fijos deben vivir en el círculo unitario por un argumento de puntos simétricos (cuyos detalles se dejan como ejercicio). Es decir, si los clinos de inversión$L_1$ y$L_2$ no se cruzan, entonces son clines tipo II de los puntos fijos$p$ y$q$ de la transformación resultante en${\cal H}\text{.}$ Además, esta transformación empujará puntos a lo largo de clines tipo I de$p$ y $q\text{.}$Llamamos a tal transformación de Möbius en${\cal H}$ una traducción del plano hiperbólico o, simplemente, una traducción. Ver Figura$5.1.3(c)$.

Figura$\PageIndex{4}$: Mover una 'M' sobre el plano hiperbólico, mediante (a) rotación alrededor$p\text{;}$ y (b) traducción fijando puntos ideales$p$ y$q\text{.}$ (Copyright; autor vía fuente)

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Moving an ‘M’ around in $(\mathbb{D},{\cal H})$.

La figura$5.1.4(a)$ representa la imagen de la figura$M$ (parecida a la letra 'M') bajo dos aplicaciones de una rotación$T$ del plano hiperbólico alrededor del punto$p\text{.}$ Esta rotación es generada por dos inversiones sobre clines$L_1$ y$L_2$ que se cruzan en$p$ (y se encuentran $\mathbb{S}^1_\infty$en ángulo recto). La figura$M$ se representa, tal cual$T(M)$ y$T(T(M))\text{.}$ La figura también rastrea imágenes sucesivas de un punto$z$ en$M\text{:}$$z$ se mapea al$T(z)$ que se mapea a$T^2(z) = T(T(z))\text{.}$ Por este mapa$T\text{,}$ cualquier punto$z$ en$\mathbb{D}$ gira alrededor $p$a lo largo de la clina única tipo II de$p$ y$p^*$ que contiene$z\text{.}$

La figura$5.1.4(b)$ representa la imagen de$M$ debajo de dos aplicaciones de una traslación del plano hiperbólico. La traducción es generada por dos inversiones sobre clines no intersecantes$L_1$ y$L_2$ (que se encuentran$\mathbb{S}^1_\infty$ en ángulo recto). Los puntos fijos del mapa son los puntos$p$ y$q$ en el círculo al infinito. Bajo esta traducción, cualquier punto$z$ en$\mathbb{D}$ cabezas lejos$p$ y hacia$q$ en el cline único a través de los tres puntos$p,q\text{,}$ y$z\text{.}$

Ahora derivamos la siguiente descripción algebraica de las transformaciones en$\cal H\text{:}$

Transformaciones en$\cal H$.

Cualquier transformación$T$ en el grupo$\cal H$ tiene la forma

\[ T(z) = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1-\overline{z}_0z} \]

donde$\theta$ hay algún ángulo, y$z_0$ es el punto interior al$\mathbb{D}$ que se envía$0$.

Supongamos que$z_0$$\mathbb{D}\text{,}$$z_1$ está en está en el círculo unitario$\mathbb{S}^1_\infty\text{,}$ y que el mapa$T$ en${\cal H}$ envía$z_0 \mapsto 0\text{,}$$z_0^* \mapsto \infty$ y$z_1 \mapsto 1\text{.}$ Usando la relación cruzada,

\[ T(z) = (z,z_1;z_0,z_0^*) = \frac{z_1-z_0^*}{z_1-z_0}\cdot\frac{z-z_0}{z-z_0^*}\text{.} \]

Pero$z_0^* = \dfrac{1}{\overline{z_0}}\text{,}$ así

\[ T(z) = \frac{z_1-1/\overline{z_0}}{z_1-z_0}\cdot\frac{z-z_0}{z-1/\overline{z_0}} = \frac{\overline{z_0}z_1 - 1}{z_1-z_0}\cdot\frac{z-z_0}{\overline{z_0}z- 1}\text{.} \]

Ahora, la cantidad

\[ \frac{\overline{z_0}z_1 - 1}{z_1-z_0} \]

es una constante compleja, y tiene un módulo igual a$1$. Para ver esto, observe que desde$1 = |z_1|^2 = z_1\overline{z_1}\text{,}$

\ begin {align*}\ frac {\ overline {z_0} z_1 - 1} {z_1 - z_0} & =\ frac {\ overline {z_0} z_1 - z_1\ overline {z_1}} {z_1 - z_0}\\ & =\ frac {-z_1 (\ z_1 - _0})} {z_1-z_0}\ text {.} \ end {alinear*}

Ya que$|z_1| = 1$ y, en general$|\beta| = |\overline{\beta}|$ vemos que esta expresión tiene módulo$1$, y se puede expresar como$e^{i\theta}$ para algunos$\theta\text{.}$ Así, si$T$ es una transformación en$\cal H$ ella puede expresarse como

\[ T(z) = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1-\overline{z}_0z} \]

donde$\theta$ hay algún ángulo, y$z_0$ es el punto interior al$\mathbb{D}$ que se envía$0$.

¿Es cierto lo contrario? Es cada transformación en la forma anterior en realidad un miembro de${\cal H}\text{?}$ La respuesta es sí, y se le pide al lector que trabaje a través de los detalles en los ejercicios.

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Demostrar que$(\mathbb{D}, {\cal H})$ es homogéneo.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Supongamos que$T$ es una transformación de Möbius de la forma

\[ T(z) = e^{i\theta}\frac{z - z_0}{1-\overline{z}_0z}, \]

donde$z_0$ está en$\mathbb{D}\text{.}$ Probar que$\mathbb{D}$ los$T$ mapas a$\mathbb{D}$ mostrando que si$|z| \lt 1$ entonces$|T(z)| \lt 1\text{.}$

Pista: Es más fácil probar que$|z|^2 \lt 1$ implica$|T(z)|^2 \lt 1\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Construir los puntos fijos de la traducción hiperbólica definida por la inversión de dos clines no intersecantes que se cruzan$\mathbb{S}^1_\infty$ en ángulo recto, como se muestra en el siguiente diagrama.

$im-ex513.svg$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Supongamos$p$ y$q$ son dos puntos en$\mathbb{D}\text{.}$ Construir dos clines ortogonales a$\mathbb{S}^1_\infty$ eso, cuando se invierte alrededor en composición, enviar$p$ hacia$0$ y$q$ hacia el eje real positivo.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Demostrar que dos horociclos cualesquiera en$(\mathbb{D},{\cal H})$ son congruentes.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Demostrar que$\cal H$ es un grupo de transformaciones.

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Definición: Modelo de disco Poincaré para geometría hiperbólica

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Moving an ‘M’ around in \((\mathbb{D},{\cal H})\).

Transformaciones en\(\cal H\).