5.2: Figuras de Geometría Hiperbólica

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El grupo de transformación euclidiana,$\cal E\text{,}$ formado por todas las rotaciones y traslaciones (euclidianas), es generado por reflexiones sobre las líneas euclidianas. De igual manera, las transformaciones en${\cal H}$ son generadas por reflexiones hiperbólicas, que son inversiones sobre clines que intersectan el círculo unitario en ángulo recto. Esto sugiere que estos clinos deberían ser las líneas de geometría hiperbólica.

Definición: Línea Hiperbólica, Punto Ideal y Paralelo

Una línea hiperbólica adentro$(\mathbb{D},{\cal H})$ es la porción de una clina en el interior$\mathbb{D}$ que es ortogonal al círculo en el infinito$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Un punto en$\mathbb{S}^1_\infty$ se llama punto ideal. Dos líneas hiperbólicas son paralelas si comparten un punto ideal.

Figura$\PageIndex{1}$: Algunas líneas hiperbólicas en el modelo de disco de Poincaré. (Copyright; autor vía fuente)

Teorema$\PageIndex{1}$

Existe una línea hiperbólica única a través de dos puntos distintos en el plano hiperbólico.

Prueba: Dejar$p$ y$q$ ser puntos arbitrarios en$\mathbb{D}\text{.}$ Construir el punto$p^*$ simétrico$p$ con respecto a la unidad de círculo,$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Entonces existe un cline a través$p, q$ y$p^*\text{,}$ y esta cline será ortogonal a$\mathbb{S}^1_\infty\text{,}$ por lo que da una línea hiperbólica a través$p$ y$q\text{.}$ Dado que solo hay un cline a través$p, q$ y$p^*\text{,}$ esta línea hiperbólica es única.

¿Qué líneas hiperbólicas resultan ser porciones de líneas euclidianas (en lugar de círculos euclidianos)? Una línea euclidiana cruza un círculo en ángulo recto si y solo si pasa por el centro del círculo. Así, las únicas líneas hiperbólicas que también resultan ser líneas euclidianas son las que pasan por el origen.

También se puede usar un argumento de puntos simétricos para llegar a este último hecho. Cualquier línea euclidiana pasa por$\infty\text{.}$ Para ser una línea hiperbólica (es decir, para ser ortogonal a$\mathbb{S}^1_\infty$), la línea también debe pasar por el punto simétrico$\infty$ con respecto al círculo unitario. Este punto es$0$. Así, para ser una línea hiperbólica en$(\mathbb{D},{\cal H})\text{,}$ una línea euclidiana debe pasar por el origen.

Teorema$\PageIndex{2}$

Dos líneas hiperbólicas cualesquiera son congruentes en geometría hiperbólica.

Prueba: Primero mostramos que cualquier línea hiperbólica dada$L$ es congruente con la línea hiperbólica en el eje real. Supongamos que$p$ es un punto sobre$L\text{,}$ y$v$ es uno de sus puntos ideales. Por Lema$5.1.1$ hay una transformación$T$ en${\cal H}$ que los mapas$p$ a$0$,$v$ a$1$, y$p^*$ a$\infty\text{.}$ Así$T(L)$ es la porción del eje real dentro$\mathbb{D}\text{,}$ y$L$ es congruente con la línea hiperbólica en el eje real . Dado que cualquier línea hiperbólica es congruente con la línea hiperbólica en el eje real, la naturaleza grupal de$\cal H$ asegura que dos líneas hiperbólicas cualesquiera sean congruentes.

Figura$\PageIndex{2}$: Cualquier línea hiperbólica es congruente con la línea hiperbólica en el eje real. (Copyright; autor vía fuente)

Teorema$\PageIndex{3}$

Dado un punto$z_0$ y una línea hiperbólica que$L$ no atraviesan$z_0\text{,}$ existen dos líneas hiperbólicas distintas a través$z_0$ que son paralelas a$L\text{.}$

Prueba: Considera el caso donde$z_0$ está en el origen. La línea$L$ tiene dos puntos ideales, llámalos$u$ y$v\text{,}$ como en la Figura$5.2.3$. Además, dado que$L$ no pasa por el origen, el segmento euclidiano no$uv$ es un diámetro del círculo unitario. Construir una línea euclidiana a través$0$$u\text{,}$ y una segunda línea euclidiana a través de$0$ y$v\text{.}$ (Estas líneas serán distintas porque no$uv$ es un diámetro del círculo unitario.) Cada una de estas líneas es una línea hiperbólica a través$0$, y cada una comparte exactamente un punto ideal con$L\text{.}$ Así, cada una es paralela a$L\text{.}$ El hecho de que el resultado se mantenga para general$z_0$ se deja como un ejercicio.

Figura$\PageIndex{3}$: A través de un punto no en una línea hiperbólica dada$L$ existen dos líneas hiperbólicas paralelas a$L\text{.}$ (Copyright; autor vía fuente)

La figura$5.2.3$ ilustra una característica inusual de líneas paralelas en geometría hiperbólica: no hay noción de transitividad. En geometría euclidiana sabemos que si la línea$L$ es paralela a la línea$M\text{,}$ y la línea$M$ es paralela a la línea$N\text{,}$ entonces la línea$L$ es paralela a la línea$N\text{.}$ Este no es el caso en la geometría hiperbólica.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Hyperbolic Triangles

Tres puntos en el plano hiperbólico$\mathbb{D}$ que no están todos en una sola línea hiperbólica determinan un triángulo hiperbólico. El triángulo hiperbólico$\Delta pqr$ se muestra a continuación. Los lados del triángulo son porciones de líneas hiperbólicas.

¿Todos los triángulos hiperbólicos son congruentes? No. Dado que las transformaciones en$\cal H$ son transformaciones de Möbius conservan los ángulos, por lo que los triángulos con diferentes ángulos no son congruentes.

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La siguiente sección desarrolla una función de distancia para el plano hiperbólico. Al igual que en la geometría euclidiana, queremos poder calcular la distancia entre dos puntos, la longitud de un camino, el área de una región, y así sucesivamente. Además, la función distancia debe ser una invariante; la distancia entre puntos no debe cambiar bajo una transformación en${\cal H}\text{.}$ Teniendo esto en cuenta, considere nuevamente una rotación hiperbólica alrededor de un punto$p\text{,}$ como en la Figura$5.1.3$ (a). Fija el punto$p$ y mueve puntos alrededor de clines tipo II de$p$ y$p^*\text{.}$ Si la distancia entre puntos no cambia bajo transformaciones en${\cal H}\text{,}$ entonces todos los puntos en un cline de tipo II dado de$p$ y$p^*$ estarán a la misma distancia de$p\text{.}$ Esto lleva nosotros para definir un círculo hiperbólico de la siguiente manera.

Definición: Círculo Hiperbólico

Supongamos que$p$$p^*$ es cualquier punto en$\mathbb{D}\text{,}$ y es el punto simétrico$p$ con respecto al círculo unitario. Un círculo hiperbólico centrado en $\boldsymbol{p}$es un círculo euclidiano en$C$ su interior$\mathbb{D}$ que es un círculo tipo II de$p$ y$p^*\text{.}$

Figura$\PageIndex{4}$: Un círculo hiperbólico centrado a$p$ través$q\text{.}$ (Copyright; autor vía fuente)

La figura$5.2.4$ muestra un círculo hiperbólico típico. Este círculo está centrado en el punto$p$ y contiene el punto La$q\text{.}$ construcción de dicho círculo se puede lograr con brújula y regla como en Ejercicio$5.2.5$.

Teorema$\PageIndex{4}$

Dado cualquier punto$p$ y$q$ en$\mathbb{D}\text{,}$ existe un círculo hiperbólico centrado a$p$ través$q\text{.}$

Prueba: Dado$p, q \in \mathbb{D}\text{,}$ construir$p^*\text{,}$ el punto simétrico$p$ con respecto a$\mathbb{S}^1_\infty\text{.}$ Entonces por Ejercicio$3.5.15$ existe una clina tipo II de$p$ y$p^*$ que pasa por$q\text{.}$ Esta clina tipo II vive dentro$\mathbb{D}$ porque también$\mathbb{S}^1_\infty$ es una clina tipo II de $p$$p^*\text{,}$y las distintas clinas de tipo II no pueden cruzarse. Esta clina tipo II es el círculo hiperbólico centrado a$p$ través$q\text{.}$

Ejercicios

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Supongamos que$C$ es un círculo hiperbólico centrado en el punto$z_0$ pasante$p\text{.}$ Mostrar que existe una línea hiperbólica$L$ tangente a$C$ at$p\text{,}$ y que$L$ es perpendicular al segmento hiperbólico$z_0p\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Construyendo una línea hiperbólica a través de dos puntos dados.

Dado un punto$p$ en$\mathbb{D}\text{,}$ constructo el punto$p^*$ simétrico$p$ con respecto al círculo unitario (ver Figura$3.2.6$).
Supongamos que$q$ es un segundo punto en$\mathbb{D}\text{.}$ Construir la clina a través$p\text{,}$$q\text{,}$ y$p^*\text{.}$ Llamar a esta clina$C\text{.}$ Explicar por qué$C$ se cruza el círculo unitario en ángulos rectos.
Considere la porción de cline$C$ que construyó en la parte (b) que se encuentra en$\mathbb{D}\text{.}$ Esta es la línea hiperbólica única a través$p$ y$q\text{.}$ Marque los puntos ideales de esta línea hiperbólica.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

¿Pueden dos líneas hiperbólicas distintas ser tangentes en algún momento de$\mathbb{D}\text{?}$ Explicar.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Supongamos que$L$ es una línea hiperbólica que forma parte de un círculo$C\text{.}$ ¿Puede el origen del plano complejo estar en el interior de$C\text{?}$ Explicar?

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Construyendo un círculo hiperbólico centrado en un punto$p$ a través de un punto$q$.

Supongamos$p$ y$q$ son dos puntos en$\mathbb{D}\text{,}$ y que no$q$ está en la línea a través$p$ y$p^*$ - el punto simétrico$p$ con respecto a la unidad de círculo.

Encuentra el centro del círculo euclidiano$p\text{,}$$p^*\text{,}$ y$q\text{.}$ llama al punto central$o\text{.}$
Construir el segmento$oq\text{.}$
Construir la perpendicular a$oq$ en$q\text{.}$ Esta perpendicular cruza la línea euclidiana$p$ y$p^*\text{.}$ llama al punto de intersección$o^\prime\text{.}$
Construye el círculo euclidiano centrado a$o^\prime$ través$q\text{.}$
Demostrar que este círculo es el círculo hiperbólico a través$q$ centrado en$p\text{.}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Explicar por qué el Teorema$5.2.3$ aplica en el caso general, cuando no$z_0$ está en el origen.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Dado un punto y una línea hiperbólica que no pasa por él, demostrar que hay una línea hiperbólica a través del punto que es perpendicular a la línea dada. ¿Es esta perpendicular única?

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

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Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Definición: Línea Hiperbólica, Punto Ideal y Paralelo

Teorema\(\PageIndex{1}\)

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Hyperbolic Triangles