6.4: Revisando los Postulados de Euclides

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Sin mucha fanfarria, hemos demostrado que la geometría\((\mathbb{P}^2, \cal{S})\) satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, pero no logra satisfacer al quinto. Este es también el caso de la geometría hiperbólica.\((\mathbb{D}, {\cal H})\text{.}\) Además, la versión elíptica del quinto postulado difiere de la versión hiperbólica. Es el propósito de esta sección brindar la fanfarria adecuada para estos hechos.

Recordemos los cinco postulados de Euclides:

Se puede dibujar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
Se puede producir una línea recta finita continuamente en una línea recta.
Se puede describir un círculo con cualquier centro y radio
Todos los ángulos rectos se igualan entre sí.
Dada una línea y un punto que no está en la línea, hay exactamente una línea a través del punto que no intersecta la línea dada.

Que el primer postulado se satisface en\((\mathbb{P}^2, \cal{S})\) es Teorema\(6.2.3\).

El segundo postulado se sostiene aquí a pesar de que nuestro espacio elíptico es finito. Podemos extender los segmentos de línea indefinidamente porque el espacio no tiene límite. Si estamos en un punto del espacio, y decidimos dirigirnos en cierta dirección a lo largo de una línea recta elíptica, podemos caminar todo el tiempo y lejos que queramos (aunque eventualmente volveríamos a nuestro punto de partida y continuaríamos dando vueltas a lo largo de la línea elíptica).

Al tercer postulado le sigue un argumento similar. En la sección anterior definimos un círculo sobre cualquier punto en\(\mathbb{P}^2\text{.}\) Y como podemos caminar una distancia arbitrariamente larga desde cualquier punto, podemos describir un círculo de cualquier radio alrededor del punto.

El cuarto postulado sigue ya que las transformaciones de Möbius conservan los ángulos y los mapas en\(\cal{S}\) son transformaciones especiales de Möbius.

El quinto postulado falla porque dos líneas elípticas cualesquiera se cruzan (Teorema\(6.2.5\)). Así, dada una línea y un punto no en la línea, no hay una sola línea a través del punto que no intersecta la línea dada.

Recordemos que en nuestro modelo de geometría hiperbólica,\((\mathbb{D},{\cal H})\text{,}\) probamos que dada una línea y un punto no en la línea, hay dos líneas a través del punto que no se cruzan con la línea dada.

Entonces tenemos tres geometrías diferentes, igualmente válidas, que comparten los primeros cuatro postulados de Euclides, pero cada una tiene su propio postulado paralelo. Además, a pequeña escala, las tres geometrías se comportan de manera similar. Un pequeño insecto que vive en la superficie de una esfera podría sospechar razonablemente que el quinto postulado de Euclides se sostiene, dada su perspectiva limitada. Un pequeño bicho en el plano hiperbólico concluiría razonablemente lo mismo. Los triángulos pequeños tienen ángulos que suman casi\(180^{\circ}\text{,}\) y los círculos pequeños tienen áreas y circunferencias que son descritas con precisión por las fórmulas euclidianas\(\pi r^2\) y\(2\pi r\text{.}\) Exploramos la geometría en las superficies con más detalle en el siguiente capítulo.