7.5: Superficies
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De vuelta en el Capítulo 1, motivamos el estudio de la geometría no euclidiana con una pregunta en cosmología: ¿Cuál es la forma del universo? Se discutió la idea de que diferentes formas heredan diferentes tipos de geometría. En efecto, las reglas de la geometría son diferentes en una esfera que en un plano plano. En esta sección, tomamos un descanso de la geometría para discutir las formas mismas.
En topología se estudian aquellas características de un espacio que permanecen inalteradas si el espacio se estira o deforma continuamente de otra manera. Tales características de un espacio se llaman características topológicas.
Las características de un espacio que sí cambian bajo tales deformaciones son características geométricas. Por ejemplo, a medida que una bola se infla, su volumen, curvatura y área de superficie cambian; estas son propiedades geométricas. Por otro lado, no importa cuán grande o grumoso se ponga la pelota, o cómo se estire (¡a menos que estalle!) , un lazo dibujado en la superficie de la bola separa la superficie en dos piezas disjuntas. Esta es una propiedad topológica de la pelota. Una segunda propiedad topológica de un espacio es si algún bucle dibujado en él puede contraerse continuamente (mientras permanece en el espacio) hasta cierto punto. La esfera también tiene esta característica. Nada sobre la forma de la esfera impide que un bucle se encoja en la superficie hasta un punto.
En la superficie de una rosquilla hay bucles que uno puede dibujar que no separan la superficie en piezas disjuntas. El bucle que va alrededor de la rosquilla como un brazalete en la Figura\(7.5.2\) es uno de esos bucles. Además, este bucle no puede contraerse continuamente hasta un punto mientras permanece en la superficie. Esto sugiere que la superficie de una bola y la superficie de una rosquilla tienen formas topológicamente diferentes.
La esfera es un ejemplo de un espacio simplemente conectado porque cualquier bucle dibujado en la superficie puede contraerse hasta un punto. El toro es un ejemplo de un espacio multiconectado porque existen bucles en el toro que no se pueden contraer hasta un punto.
En términos generales, dos espacios son topológicamente equivalentes, o homeomórficos, si uno puede deformarse continuamente para parecerse al otro. Por ejemplo, un círculo es topológicamente equivalente a un cuadrado. Uno puede mapearse sobre el otro a través de un homeomorfismo: una biyección continua entre los objetos que tiene una inversa continua. En el siguiente ejemplo se sugiere un homeomorfismo.
Construir un homeomorfismo de la siguiente manera. Supongamos que el cuadrado y el círculo son concéntricos como se muestra a continuación, y ese\(z_0\) es el centro del círculo. Entonces, para cada punto\(z\) del cuadrado, defina\(T(z)\) que sea el punto en el círculo por el que\(\overrightarrow{z_0z}\) pasa el rayo. Se puede demostrar que\(T\) es un homeomorfismo: es una función 1-1 y onto que es continua, y su inversa también es continua.
Rápidamente nos dirigimos al reino de la topología, y debemos resistir la tentación de sumergirnos de cabeza y formalmente en este rico tema. En este texto, restringimos nuestro enfoque a un recorrido torbellino de herramientas topológicas que se utilizan para investigar posibles formas para universos bidimensionales y tridimensionales. Alentamos al lector interesado en un acercamiento más formal al tema a consultar cualquier número de buenos textos, entre ellos [9].
Nuestros universos candidatos son ejemplos de múltiples. Un\(n\) colector topológico es un espacio con la característica de que cada punto en el espacio tiene un vecindario que parece un parche de\(\mathbb{R}^n\text{.}\) En cosmología, se asume que la sección espacial del espacio-tiempo es un\(3\) colector, y cuando preguntamos por la forma del universo, estamos preguntando por el forma de este\(3\) -colector. En esta sección, nos centramos en\(2\) -colectores.
Un poco más formalmente,\(\mathbb{R}^n\) consiste en todas\(n\) -tuplas de números reales\(\boldsymbol{p} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\text{.}\) La \(n\)bola abierta centrada en un punto\(\boldsymbol{p}\) en\(\mathbb{R}^n\) con radio\(r \gt 0\text{,}\) denotado\(B_n(\boldsymbol{p},r)\text{,}\) es el conjunto
\[ B_n(\boldsymbol{p},r) = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n~|~ |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{p}| \lt r \}, \]
donde\(|\boldsymbol{x} - \boldsymbol{p}|\) está la distancia euclidiana entre los puntos\(\boldsymbol{x}\) y\(\boldsymbol{p}\text{.}\)
Por ejemplo, una\(1\) bola abierta es un intervalo abierto en\(\mathbb{R}\text{.}\) La\(2\) bola abierta\(B_2(z_0,r)\) consiste\(z\) en todos los puntos de\(\mathbb{C}\) tal manera que\(|z - z_0| \lt r\text{.}\) La\(3\) bola abierta\(B_3(\boldsymbol{p},r)\) consiste en todos los puntos\(\mathbb{R}^3\) dentro de la esfera centrada en\(\boldsymbol{p}\) con radio\(r\text{.}\)
Un \(n\)colector topológico es un espacio\(X\) con la característica de que cada punto\(X\) tiene un vecindario que es homeomórfico a una\(n\) bola abierta.
Un círculo es un ejemplo de un\(1\) -manifold: cada punto en un círculo tiene un vecindario homeomórfico a un intervalo abierto. La superficie de una esfera es un\(2\) colector: cada punto de la esfera tiene un vecindario que es homeomórfico a una\(2\) bola abierta.
- Dejar\(S\) constar de planos paralelos\(\mathbb{R}^3.\) en En particular, dejar\(S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ z = 0~\text{or}~z=1\}\) como en la parte (a) del siguiente diagrama. Cada punto en\(S\) tiene un barrio de puntos que es una\(2\) bola abierta.
- El disco de la unidad abierta\(\mathbb{D} = \{z \in \mathbb{C} ~|~ |z| \lt 1\}\) es un\(2\) colector. Cada punto en\(\mathbb{D}\) tiene un barrio que es una\(2\) bola abierta en el avión. En particular, si\(|z| = r \lt 1\text{,}\) vamos\(s = 1-r\text{.}\) Entonces\(B_2(z,s)\) hace el truco.
- El toro plano. Considera el toro plano del Capítulo 1, el cual ha sido redibujado en la Figura\(7.5.3\). Consiste en todos los puntos en un rectángulo dibujado en el plano euclidiano, con la característica adicional de que cada punto en el borde superior se identifica con el punto en el borde inferior teniendo la misma\(x\) coordenada; y cada punto en el borde izquierdo se identifica con el punto en el borde derecho teniendo la misma \(y\)-coordenada. En la Figura\(7.5.3\) indicamos esta identificación de borde con etiquetas orientadas: los\(a\) bordes se identifican haciendo coincidir las orientaciones de las flechas, al igual que los\(b\) bordes.
Cada punto en el toro plano tiene un barrio homeomórfico a una\(2\) bola abierta.
Si un punto no\(p\) está en un borde, como en la Figura\(7.5.3\), entonces al elegir un radio lo suficientemente pequeño, hay una\(2\) bola abierta alrededor del punto que pierde los bordes.
Si un punto\(q\) está en un borde pero no en una esquina, entonces al elegir un radio lo suficientemente pequeño, hay una\(2\) bola abierta alrededor del punto que pierde las esquinas. Esta\(2\) bola abierta consta de partes de dos\(2\) bolas abiertas de\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Debido a la identificación del borde, estas mitades\(2\) de bola abierta se unen para formar una\(2\) bola abierta perfecta alrededor del punto.
Si un punto\(u\) está en una esquina del rectángulo, hay una\(2\) bola abierta alrededor del punto que consiste en partes de cuatro\(2\) bolas abiertas diferentes de\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Debido a la identificación del borde, estas cuatro “bolas de cuarto” se unen para formar una sola\(2\) bola abierta de puntos a la vuelta del punto de la esquina.
Una superficie es un\(2\) colector topológico cerrado, acotado y conectado.
De los\(2\) -colectores en Ejemplo\(7.5.2\), sólo el tercero es una superficie de acuerdo con esta definición. Un conjunto\(\mathbb{R}^n\) está delimitado si vive completamente dentro de alguna\(n\) bola abierta de radio finito. El colector de planos paralelos se extiende infinitamente lejos del origen\(\mathbb{R}^3\) por lo que este colector no está acotado. Este colector tampoco está conectado. Informalmente, se conecta un espacio si tiene una sola pieza. El colector de planos paralelos tiene dos piezas distintas (los dos planos) que están separadas en el espacio, por lo que no está conectada. El disco de unidad abierta\(\mathbb{D}\) está acotado y conectado, pero no cerrado como un conjunto en\(\mathbb{R}^2\text{.}\) Un conjunto\(S\) en\(\mathbb{R}^n\) se cierra si tiene la siguiente característica: si\(\{z_k\}\) es una secuencia de puntos en\(S\) que converge a un punto\(z\text{,}\) entonces también\(z\) está en \(S\text{.}\)
Para ver que no\(\mathbb{D}\) está cerrado, considera la secuencia\(\{\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5},\ldots \}\text{.}\) Cada punto de esta secuencia vive en\(\mathbb{D}\text{,}\) pero el límite de la secuencia, que es\(1\), no lo hace. El toro, en cambio, está cerrado, acotado y conectado, por lo que lo llamamos superficie. Observamos que a menudo se usa otro término topológico, compacidad, cuando se habla de superficies. Un espacio en el\(\mathbb{R}^n\) que se vive es compacto si y solo si está cerrado y acotado. Así, para nosotros, una superficie es un\(2\) colector compacto, conectado.
En lugar de preocuparnos por un desarrollo formal de estos conceptos topológicos, llevamos con nosotros esta introducción informal para ayudarnos a perseguir la construcción de superficies. Resulta que todas las superficies se pueden construir a partir de las tres superficies venerables de la Figura\(7.5.4\) mediante un proceso llamado la suma conectada.
Suma Conectada
Si\(X_1\) y\(X_2\) son superficies, la superficie de suma conectada, denotada\(X_1 \# X_2\text{,}\) se obtiene de la siguiente manera:
- Retire una\(2\) bola abierta de\(X_1\) y una\(2\) bola abierta de\(X_2\text{;}\)
- Conecte los límites de estas\(2\) bolas abiertas con un cilindro.
Tenga en cuenta que dado que\(X_i\) es una superficie, cada punto en cada espacio tiene un vecindario homeomórfico a una\(2\) bola abierta, por lo que siempre podemos lograr la suma conectada de dos superficies. El resultado es una nueva superficie: todavía está cerrada, acotada y conectada, y cada punto todavía tiene un vecindario abierto homeomórfico a una\(2\) bola abierta.
Dejar\(\mathbb{T}^2\) denotar la superficie del toro en\(\mathbb{R}^3\) y\(\mathbb{S}^2\) denotar la esfera, como de costumbre. La figura\(7.5.5\) representa dos sumas conectadas:\(\mathbb{T}^2 \# \mathbb{T}^2\text{,}\) y\(\mathbb{S}^2 \# \mathbb{T}^2\text{.}\) La superficie\(\mathbb{T}^2 \# \mathbb{T}^2\) se llama toro de dos agujeros, y es topológicamente equivalente a la superficie etiquetada\(H_2\) en la Figura\(7.5.6\). Uno puede reducir la dimensión de longitud del cilindro de conexión para que uno se vea como el otro. La superficie\(\mathbb{S}^2 \# \mathbb{T}^2\) es homeomórfica al toro\(\mathbb{T}^2\text{.}\) Para ver esto, observe que si se quita una\(2\) bola abierta de una esfera y se une un extremo de un cilindro a la esfera a lo largo del límite del disco eliminado, el resultado es homeomórfico a un disco cerrado, como se sugiere en lo siguiente diagrama. Entonces, si se quita una\(2\) bola abierta de una superficie\(X\) y luego se tapa el agujero con esta forma de esfera con cilindro, el efecto neto es parchear el agujero. En la aritmética de sumas conectadas, la esfera juega el papel de\(0\text{:}\)\(\mathbb{S}^2 \# X = X\) para cualquier superficie\(X\text{.}\)
Para cada entero,\(g \geq 1\text{,}\) la superficie del cuerpo del mango del género\(g\), denotada\(H_g\text{,}\) se define como
\[ H_g = \overbrace{\mathbb{T}^2\# \mathbb{T}^2 \# \cdots \#\mathbb{T}^2}^{g~\text{copies}}\text{.} \]
La superficie\(H_g\) recibe su nombre por el hecho de que es topológicamente equivalente a una esfera con\(g\) asas unidas a ella. Por esta razón, establecemos\(H_0 = \mathbb{S}^2\text{.}\) Algunas superficies del manillar se muestran en la Figura\(7.5.6\).
Para cada entero,\(g \geq 1\text{,}\) defina la superficie de remate cruzado del género\(g\) por
\[ C_g =\overbrace{\mathbb{P}^2\# \mathbb{P}^2 \# \cdots \#\mathbb{P}^2}^{g~ \text{copies}}\text{.} \]
Una tapa cruzada es el espacio que se obtiene al eliminar una\(2\) bola abierta del plano proyectivo.\(\mathbb{P}^2\text{.}\) La superficie de la tapa cruzada\(C_g\) es topológicamente equivalente a una esfera con\(2\) bolas\(g\) abiertas eliminadas y reemplazadas por tapas cruzadas.
La superficie\(C_1\) es el plano proyectivo. Este espacio no se incrusta\(\mathbb{R}^3\) como lo hacen las superficies del manillar, sino que se puede representar como un disco con puntos antípodos identificados, como hicimos en el Capítulo 6. Figura\(7.5.7\) representa la suma conectada\(C_1 \# C_1\text{.}\) En la Figura\(7.5.7(a)\), hemos quitado una bola abierta de cada copia de\(C_1\text{.}\) Los círculos limítrofes de estas 2 bolas abiertas deben estar unidos, e indicamos esto orientando los círculos limítrofes y dando a cada uno la misma etiqueta de\(c\text{.}\) En Figura \(7.5.7(b)\), hemos cortado en rodajas cada copia de\(C_1\) en el vértice al que se unen los\(c\) bucles. Los\(c\) bucles son ahora bordes que identificamos juntos en la Figura\(7.5.7(c)\). Así, podemos ver\(C_2\) como el cuadrado con identificaciones de borde como se indica en la parte (c) de la figura. Resulta que este espacio\(C_2\) es homeomórfico a la botella Klein, una superficie famosa que consideramos en breve.
Superficies poligonales
Nuestra representación de\(C_2\) es un ejemplo de una superficie poligonal. Para construir una superficie poligonal, comience con un número finito de polígonos que tengan un número par de aristas y luego identifique las aristas en pares.
Si la superficie se construye a partir de un solo polígono, las identificaciones de borde del polígono se pueden codificar en una etiqueta de contorno. A cada borde del polígono se le asigna una letra y una orientación. Los bordes que se identifican tienen la misma letra, y obtenemos una etiqueta de límite atravesando el límite de nuestro polígono en sentido antihorario (por convención) y registrando las letras que encontramos, con un exponente de\(+1\) si nuestro caminar está en la dirección del borde orientado, y un exponente de\(-1\) si nuestro caminar es en dirección opuesta al borde orientado. Por ejemplo, una etiqueta de límite para la superficie que\(C_2\) se encuentra en la Figura\(7.5.7\) es\(a_1a_1a_2a_2\text{.}\) Además, podemos mostrar inductivamente que repitiendo la operación de suma conectada de la Figura\(7.5.7\) a\(C_{g-1}\#C_1\text{,}\) la superficie se\(C_g\) puede representar como un\(2g\) -gon que tiene etiqueta de límite
\[ a_1a_1a_2a_2\cdots a_ga_g\text{.} \]
Resulta que todas las superficies se pueden construir de esta manera, un resultado importante y útil. Hemos visto que el toro se puede construir como una superficie poligonal: tomar un rectángulo e identificar los bordes de acuerdo con la etiqueta de contorno\(aba^{-1}b^{-1}\text{.}\) En la Figura\(7.5.8\) demostramos que el toro\(2\) -agujereado puede representarse como un octágono regular con etiqueta de límite
\[ (a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1})(a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}). \]
En general, para\(g \geq 1\) la superficie se\(H_g\) puede representar por un\(4g\) -gon regular que tiene etiqueta de contorno
\[ (a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1})(a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1})\cdots(a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1})\text{.} \]
El teorema notable aquí es que las superficies del manillar y las superficies de tapa cruzada representan todas las superficies posibles, sin redundancia.
Cualquier superficie es homeomórfica a la esfera\(\mathbb{S}^2\text{,}\) una superficie de manillares\(H_g\) con\(g \geq 1\text{,}\) o una superficie de cruceta\(C_g\) con\(g \geq 1\text{.}\) Además, no hay dos superficies en esta lista homeomófilas entre sí.
- Prueba
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Dos pruebas de este teorema están flotando alrededor de la literatura ahora. La prueba clásica, que hace uso de las divisiones celulares, se puede encontrar, por ejemplo, en [9]. La nueva prueba, debido a John Conway, pasa por alto los constructos artificiales en la prueba clásica, y se puede encontrar en [12].
Para resumir, tenemos dos formas de pensar sobre las superficies. En primer lugar, el teorema de clasificación anterior se puede replantear de la siguiente manera: cualquier superficie es homeomórfica a la esfera, la esfera con algún número de asas unidas, o la esfera con algún número de casquillos cruzados unidos. Segundo, cualquier superficie se puede construir a partir de un\(2m\) -gon con sus bordes identificados en pares, para algunos\(m \geq 1\text{.}\)
Caracterización de una superficie
Si alguien nos lanza una superficie, ¿cómo sabemos cuál estamos atrapando? Una manera de caracterizar una superficie es determinar dos invariantes topológicas particulares: su estado de orientabilidad y su característica de Euler. Discutamos cuáles son estas características de una superficie.
Estado de orientabilidad
La tira de Möbius se obtiene a partir de un rectángulo identificando los bordes izquierdo y derecho con un giro:
Observe que una tira de Möbius tiene una trayectoria de orientación inversa. Un reloj que gira en sentido horario, si se dirige a lo largo de la tira de Möbius, eventualmente regresará a su lugar de partida para descubrir que ahora gira en sentido antihorario. 
Una superficie se llama no orientable si contiene una tira de Möbius. Si una superficie no contiene una tira de Möbius entonces es orientable. La tira de Möbius en sí no es una superficie como la hemos definido porque tiene un borde. Los puntos en este borde no tienen vecindarios que parezcan\(2\) bolas abiertas (se ven más como medias bolas). Pero la botella Klein en el siguiente ejemplo es una superficie no orientable.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\): The Klein Bottle
La botella Klein se parece mucho al toro, pero hay un giro. Los bordes superior e inferior se identifican como lo fueron para el toro, pero los bordes izquierdo y derecho están orientados de manera opuesta. De manera más formal, es la superficie poligonal obtenida de un cuadrado con etiqueta límite\(aba^{-1}b\text{,}\) y la botella Klein se denota con\(\mathbb{K}^2\text{.}\)
¿Por qué la botella Klein no es orientable? Un error que dejara la pantalla a la derecha cerca de la parte superior reaparecería a la izquierda cerca de la parte inferior. Pero eche un vistazo más de cerca, el error se ha vuelto espejo invertido.
Este camino de orientación inversa existe debido a una franja de Möbius que acecha en la botella Klein. (Consideremos, por ejemplo, la delgada franja horizontal formada por los segmentos discontinuos en la figura.)
El mismo bicho que vive en el toro nunca se encontraría espejo invertido como resultado de viajar en su superficie. El toro es orientable.
El estado de orientabilidad de una superficie es una invariante topológica. Esto significa que si\(S\) y\(T\) son superficies homeomórficas entonces deben tener el mismo estado de orientabilidad. Observe que existe una tira de Möbius en cada una\(C_g\) (tome una tira delgada desde la mitad de un\(a_1\) borde hasta la mitad del otro), de modo que todas las superficies de tapa cruzada no sean orientables. Por otro lado, todas las superficies del manillares\(H_g\) (\(g \geq 0)\)son orientables.
Característica de Euler
Además de un estado de orientabilidad, cada superficie tiene unido a ella un número entero llamado la característica de Euler. La característica de Euler es una invariante topológica, y se puede calcular a partir de una división celular de una superficie, que es una especie de revestimiento de la superficie por caras planas. Hagamos esto más preciso.
Una celda\(n\) -dimensional, o \(n\)-celda, es un subconjunto de un espacio cuyo interior es homeomórfico a una\(n\) bola abierta en\({\mathbb{R}}^n\text{.}\) Por ejemplo, una\(1\) -celda, también llamada borde, es un conjunto cuyo interior es homeomórfico a un intervalo abierto; a \(2\)-cell, o face, es un conjunto cuyo interior es homeomórfico a una\(2\) bola abierta en el plano. Llamamos puntos en un espacio\(0\) -celdas. A\(0\) -cell también se llama vértice (vértices plurales).
Definición: Complejo celular
Un complejo celular\(C\) es una colección de células en algún espacio sujeto a estas dos condiciones:
- Los interiores de dos celdas cualesquiera en el complejo son disjuntos
- El límite de cada celda es la unión de celdas de menor dimensión en\(C\text{.}\)
Un complejo celular\(C\) se denomina complejo celular\(\mathbf{n}\) -dimensional, o\(n\) -complejo, si contiene una\(n\) celda, pero no celdas de dimensiones superiores.
Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Some Cell Complexes.
Un\(1\) -complejo se llama comúnmente grafo: consiste en vértices y aristas. En cada extremo de un borde hay un vértice (posiblemente el mismo vértice en cada extremo), y no hay dos bordes que se crucen en sus interiores. El lado izquierdo del siguiente diagrama muestra un\(1\) complejo con\(0\) siete celdas y cinco\(1\) celdas. A la derecha se encuentra un\(2\) complejo con una\(0\) celda y una\(2\) celda. Todo el límite de la\(2\) celda se une a la\(0\) celda única, creando así una superficie bien conocida, la\(2\) -esfera.
Ejemplo\(\PageIndex{6}\): The Platonic Solids.
Los cinco sólidos platónicos pueden ser\(2\) vistos como complejos si ignoramos el espacio delimitado por sus caras. Hemos imaginado los cinco y hemos dado recuentos de vértices, bordes y caras para cada uno.
Por supuesto, la región delimitada por las caras de cada sólido platónico es homeomórfica a una\(3\) bola abierta, por lo que los sólidos platónicos también pueden verse como\(3\) complejos; cada sólido tiene exactamente una\(3\) celda.
Definición: División celular
Una división celular de un espacio\(X\) es un complejo celular\(C\) que es homeomórfico para\(X\text{.}\)
Por ejemplo, cada sólido platónico (visto como un\(2\) -complejo) es una división celular de\(\mathbb{S}^2\text{.}\) Para construir un homeomorfismo, mapear cada punto del sólido platónico a un punto en una esfera por proyección como se sugiere en la Figura\(7.5.10\).
Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Attempted Cell Divisions of \(\boldsymbol{H_1}\)
A continuación se muestran tres divisiones celulares del toro, junto con una división celular fallida. En cada división celular válida, contamos el número de caras, aristas y vértices de la división celular. Para hacer un recuento preciso, se debe tener en cuenta la identificación del borde.
La división celular (a) tiene dos vértices, seis aristas y cuatro caras. Un vértice está en el centro del rectángulo, y el otro vértice está en la esquina (recuerde, las cuatro esquinas se identifican en un solo punto). En cuanto a los bordes, cuatro emanan del vértice central, y tenemos otros dos: el borde horizontal a lo largo del límite del rectángulo (que aparece dos veces), y el borde vertical a lo largo del límite (que también aparece dos veces). Así, los bordes del rectángulo también son bordes de la división celular, por lo que las caras en esta división celular son triángulos, y hay cuatro de ellos.
La división celular (b) tiene seis vértices, ocho aristas y dos caras. Hay cuatro vértices en el interior del rectángulo, un vértice en el límite horizontal del rectángulo y un vértice en el límite vertical. Observe que el punto de esquina del rectángulo no es un vértice de la división celular. Para contar los bordes, observe que cuatro bordes forman el diamante interior, y un borde deja cada vértice del diamante, para un total de ocho aristas. Los bordes de contorno del rectángulo no forman bordes en esta división celular. Contando caras, tenemos una dentro del diamante y otra fuera del diamante. Convénzase de que la región fuera del diamante hace solo una cara.
Se puede verificar que la división celular (c) tenga un vértice en el centro del rectángulo, dos bordes (uno es horizontal, el otro es vertical) y una cara.
El intento (d) no logra ser una división celular del toro. ¿Por qué es esto? A primera vista, tenemos cuatro vértices, cuatro aristas y dos caras. El problema aquí es la “cara” fuera de la plaza interior. No es una\(2\) -célula- es decir, su interior no es homeomórfico a una\(2\) bola abierta. Para ver esto, tenga en cuenta que esta región contiene un bucle que no separa la “cara” en dos piezas. ¿Puedes encontrar ese bucle? Dado que ninguna\(2\) bola abierta tiene esta característica, la región en cuestión no es homeomórfica a una\(2\) bola abierta.
La característica de Euler de una superficie\(S\text{,}\) denotada\(\chi(S)\text{,}\) es
\[ \chi(S) = v - e + f \]
donde\(v\text{,}\)\(e\text{,}\) y\(f\) denotan el número de\(0\) -celdas (vértices),\(1\) -celdas (bordes) y\(2\) -celdas (caras), respectivamente, de una división celular de la superficie.
La característica de Euler está bien definida. Esto significa que diferentes divisiones celulares de una misma superficie determinarán el mismo valor de\(\chi\text{.}\) Además, este número simple es una poderosa invariante topológica: Si dos superficies tienen diferentes características de Euler entonces no son homeomórficas. Sin embargo, la característica de Euler por sí sola no caracteriza completamente una superficie: si dos superficies tienen la misma característica de Euler, no es necesario que sean homeomórficas.
El Euler característico de la esfera es\(2\). Cada sólido platónico en el Ejemplo\(7.5.6\) es una división celular de\(\mathbb{S}^2\text{,}\) y un recuento revela\(\chi(\mathbb{S}^2) = 2.\)
La característica de Euler del toro\(\mathbb{T}^2\) es\(0\). Cada división celular válida en Ejemplo\(7.5.7\) rinde\(v - e + f = 0\text{.}\)
Cada superficie poligonal induce una división celular de la superficie. Esta división celular tiene una sola cara, y después de identificar los bordes en pares, las esquinas y bordes del polígono subyacente corresponden a vértices y bordes en la división celular de la superficie. Para determinar la característica de Euler de una superficie poligonal, tenga cuidado de realizar recuentos de bordes y vértices después de las identificaciones de borde.
La superficie del manillar\(H_g\) tiene la característica de Euler\(\chi(H_g)=2-2g\text{,}\) para todos\(g \geq 0\text{.}\) La superficie de la tapa cruzada\(C_g\) tiene la característica de Euler\(\chi(C_g)=2 - g\text{,}\) para todos\(g \geq 1\text{.}\)
- Prueba
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Ya hemos visto que la característica de Euler de la esfera es\(2\), por lo que el resultado se mantiene\(H_0\text{.}\) para Para\(g \geq 1\) considerar la representación poligonal estándar de\(H_g\) como un\(4g\) -gon con etiqueta de contorno\((a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1})\cdots(a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}).\) Uno comprueba que todas las esquinas se juntan en un solo punto, así que nuestra división celular de\(H_g\) tiene un solo vértice. Por ejemplo, considere el toro\(2\) -agujereado en la Figura\(7.5.11\). Comenzando en la esquina inferior derecha etiquetada (1), comience a atravesar el punto de esquina en el sentido de las agujas del reloj. Después de chocar con el\(b_1\) borde cerca de su punto inicial, uno reaparece en el otro\(b_1\) borde cerca de su punto inicial. Sigue dando vueltas por la esquina (según la secuencia indicada) hasta que vuelvas al punto de partida. Observe que las ocho esquinas se recorren antes de regresar al punto de partida. Entonces la división celular determinada por el polígono tendrá un solo vértice. Dado que los\(4g\) bordes se identifican en pares, la división celular tiene 2\(g\) bordes, y hay una cara, el interior del polígono. Por lo tanto,\(\chi(H_g)=1 - 2g + 1 = 2 - 2g\text{.}\)
Figura\(\PageIndex{11}\): Esta división celular de\(H_2\) tiene un solo vértice. (Copyright; autor vía fuente) La superficie de remate transversal se\(C_g\) puede representar por la superficie poligonal obtenida identificando los bordes de un\(2g\) -gon de acuerdo con la etiqueta de contorno.\((a_1a_1)\cdots(a_ga_g).\) Una vez más, todas las esquinas se unen en un solo punto en la identificación de bordes, y el número de bordes en la división de celdas es la mitad del número de aristas en el\(2g\) -gon. Entonces, la división celular determinada por el polígono tiene un vértice,\(g\) aristas y una cara. Por lo tanto,\(\chi(C_g)=2-g\text{.}\)
A la luz del teorema anterior y del teorema de clasificación de superficies, una superficie está determinada de manera única por su estado de orientabilidad y característica de Euler. Resumimos la clasificación en la siguiente tabla.
| Cuadro 7.5.1: Clasificación de Superficies | ||
|---|---|---|
| \(\chi\) | Orientable | No orientable |
| \ (\ chi\) ">2 | \(H_0\) | |
| \ (\ chi\) ">1 | \(C_1\) | |
| \ (\ chi\) ">0 | \(H_1\) | \(C_2\) |
| \ (\ chi\) ">-1 | \(C_3\) | |
| \ (\ chi\) ">-2 | \(H_2\) | \(C_4\) |
| \ (\ chi\) ">-3 | \(C_5\) | |
| \ (\ chi\) ">-4 | \(H_3\) | \(C_6\) |
| \ (\ chi\) ">\(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Esto completa nuestra breve incursión, algo informal, en la topología de las superficies. Nuevamente, varias buenas fuentes proporcionan un desarrollo riguroso de estas ideas, entre ellas [9]. En la siguiente sección, pasamos a la tarea de unir geometría a una superficie.
Ejercicios
Encuentra la característica de Euler de cada superficie en la Figura\(7.5.12\). Luego determine si cada superficie es orientable o no orientable. Después clasifique la superficie.
Clasificar la superficie poligonal construida a partir de un hexágono que tiene etiqueta de límite\(abca^{-1}b^{-1}c^{-1}\text{.}\)
Con la ayuda de Figura\(7.5.13\), convencerse de que la suma conectada de dos planos proyectivos es homeomórfica a la botella Klein como se define en Ejemplo\(7.5.4\). En la parte superior de la Figura\(7.5.13\) hay dos planos proyectivos (con etiquetas de contorno\(a_1a_1\) y\(a_2a_2\)), cada uno con un disco eliminado. En la suma conectada, une los límites de los discos retirados, lo que se puede lograr uniendo los\(s_1\) arcos y los\(s_2\) arcos juntos. \(c\)Los bordes\(b\) y en el primer plano proyectivo (\(d\)y los\(e\) bordes y en el segundo plano proyectivo) indican cortes que haremos al espacio, retratados en las imágenes posteriores. De esta manera, al retirar un disco de cada plano proyectivo, y cortar como indican\(e\) los bordes\(b, c, d\text{,}\) y, obtenemos cuatro rectángulos (topológicamente), todos cuyos bordes se identifican como se indica. Convénzase de que moviendo estos rectángulos alrededor (ya sea por rotación, o reflexión sobre un eje vertical u horizontal) producimos la botella Klein.
¿Qué superficie en nuestro catálogo obtenemos de la suma conectada de un toro y un plano proyectivo? Es decir, qué es\(H_1 \# C_1\text{?}\) Explica tu respuesta.
Mostrar que en la representación poligonal de\(C_g\text{,}\) todos los puntos de esquina se juntan en un solo punto cuando se identifican las aristas.
