7.6: Geometría de Superficies

Si tienes una superficie en la mano, puedes encontrar una versión homeomórfica de la superficie sobre la que construir geometría hiperbólica, geometría elíptica o geometría euclidiana. Y la elección de la geometría es única: Ninguna superficie admite más de una de estas geometrías. Como veremos, de las infinitamente muchas superficies, todas menos cuatro admiten geometría hiperbólica (dos admiten geometría euclidiana y dos admiten geometría elíptica). Así, si generas aleatoriamente una superficie de curvatura constante para un error bidimensional llamado Bormit, Bormit sin duda vivirá en un mundo con geometría hiperbólica.

También es probable que una superficie de curvatura constante no se pueda incrustar en el espacio tridimensional. Solo la esfera tiene esta bonita característica. De hecho, si\(X\) hay alguna superficie que viva\(\mathbb{R}^3\text{,}\) como las superficies del manillar en la Figura\(7.5.6\), entonces debe tener al menos un punto con curvatura positiva. ¿Por qué es esto? La superficie adentro\(\mathbb{R}^3\) está acotada, por lo que debe haber alguna esfera\(\mathbb{R}^3\) centrada en el origen que contenga toda la superficie. Encoge esta esfera hasta que en algún momento se tope con la superficie. La curvatura de la superficie en este punto coincide con la curvatura de la esfera, que es positiva.

Hemos visto que cualquier superficie es homeomórfica a una superficie poligonal que representa\(H_g\) o\(C_g\text{,}\) para algunos\(g\text{,}\) y ahora mostramos que a cada una de ellas se le puede dar una geometría homogénea, isotrópica y métrica (para que tenga una curvatura constante). Una superficie poligonal solo puede tropezar con problemas de homogeneidad donde las esquinas se unen. Cualquier punto en el interior del polígono tiene un bonito\(360^\circ\) parche de espacio a su alrededor, al igual que cualquier punto en el interior de un borde. Sin embargo, si los ángulos de las esquinas que se juntan en un punto no se suman\(360^{\circ}\text{,}\) entonces la superficie tiene ya sea un punto cónico o un punto de silla de montar, dependiendo de si la suma de ángulos es menor o mayor que\(360^{\circ}\text{.}\) Como vimos en el Capítulo 1 (Ejercicios\(1.3.5\) y Ejemplo\(1.3.7\)), en cualquiera caso, no tendremos una geometría homogénea; un error bidimensional sería capaz de distinguir (con triángulos o círculos) un punto de cono de un punto plano de un punto de silla de montar.

Para suavizar tales puntos de cono o puntos de sillín cambiamos los ángulos en las esquinas para que los ángulos sí se\(360^\circ\text{.}\) sumen a Ahora tenemos los medios para hacer esto. Si necesitamos reducir los ángulos de esquina, podemos poner el polígono en el plano hiperbólico. Si necesitamos expandir los ángulos, podemos poner el polígono en el plano proyectivo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): \(C_3\) Admits Hyperbolic Geometry.

La representación poligonal estándar de\(C_3 = \mathbb{P}^2\# \mathbb{P}^2 \# \mathbb{P}^2\text{,}\) es un hexágono que tiene etiqueta de límite\(a_1a_1a_2a_2a_3a_3\text{,}\) como en la Figura\(7.6.1\). Las seis esquinas del hexágono se unen en un solo punto. En el plano euclidiano, un hexágono regular tiene ángulos de esquina iguales\(120^{\circ}\text{.}\) a Para evitar un punto de sillín al unir las seis esquinas juntas, encoge los ángulos de esquina a\(60^{\circ}\text{.}\) Una pequeña copia de un hexágono regular en el plano hiperbólico tendrá ángulos de esquina justo debajo\(120^{\circ}\text{.}\) Si el hexágono crece así que sus vértices se acercan a puntos ideales, sus ángulos de esquina se acercarán\(0^{\circ}\text{.}\) En algún momento, entonces, los ángulos interiores estarán\(60^{\circ}\) en la nariz. (También podemos construir este hexágono preciso. Ver Ejercicio\(7.6.4\).) Si\(C_3\) se construye a partir de este hexágono viviendo en el plano hiperbólico, la superficie hereda la geometría del espacio en el que se encuentra; es decir, la superficie\(C_3\) admite geometría hiperbólica, una bonita geometría homogénea, isotrópica y métrica.

Figura\(\PageIndex{1}\):\(C_3\) admite geometría hiperbólica. (Copyright; autor vía fuente)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): An Elliptic Polyognal Surface

Revisitando Ejemplo\(1.3.4\), considere el hexágono con etiqueta límite\(abcabc\text{.}\) Las seis esquinas de esta superficie poligonal se unen en grupos de dos. Estas esquinas crean puntos de cono porque la suma de ángulos de las dos esquinas que se unen es menor que\(360^{\circ}\) en el plano euclidiano. Podemos evitar los puntos de cono poniendo el hexágono en\(\mathbb{P}^2\text{.}\) Un pequeño hexágono regular en el plano proyectivo tendrá ángulos de esquina apenas ligeramente mayores que\(120^{\circ}\text{,}\) pero necesitamos que cada ángulo de esquina se expanda a\(180^{\circ}\text{.}\) Podemos lograr estos ángulos expandiendo el hexágono hasta que cubra todo plano proyectivo. De hecho, la superficie del Ejemplo\(1.3.4\) es el plano proyectivo, y admite geometría elíptica.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cada superficie admite una geometría homogénea, isotrópica y métrica. En particular, la esfera (\(H_0\)) y el plano proyectivo (\(C_1\)) admiten geometría elíptica. El toro (\(H_1\)) y la botella Klein (\(C_2\)) admiten geometría euclidiana. Todas las superficies del manillar\(H_g\) con\(g \geq 2\) y todas las superficies\(C_g\) con tapa cruzada\(g \geq 3\) admiten geometría hiperbólica.

La siguiente sección ofrece una discusión más formal sobre cómo cualquier superficie admite una de nuestras tres geometrías, pero aquí presentamos un argumento intuitivo.

La esfera y el plano proyectivo admiten geometría elíptica por construcción: El espacio en geometría elíptica es el plano proyectivo, y a través de la proyección estereográfica, esta es la geometría en\(\mathbb{S}^2\text{.}\)

El toro y la botella Klein están construidos a partir de\(4\) -gones regulares (cuadrados) cuyos bordes se identifican de tal manera que todas\(4\) las esquinas se unen en un punto. En cada caso, si colocamos el cuadrado en el plano euclidiano todos los ángulos de esquina son\(\dfrac{\pi}{2}\text{,}\) así que la suma de los ángulos es\(2\pi\text{,}\) y nuestras superficies admiten geometría euclidiana.

Cada superficie del manillar\(H_g\) para\(g \geq 2\) y cada superficie de tapa cruzada\(C_g\) para se\(g \geq 3\) puede construir a partir de un\(n\) -gon regular donde\(n \geq 6\text{.}\) Again, todas\(n\) las esquinas se unen en un solo punto. Un\(n\) -gon regular en el plano euclidiano tiene\(\dfrac{(n-2)\pi}{n}\) radianes de ángulo interior, por lo que los ángulos de esquina se suman a\((n-2)\pi\) radianes. Esta suma de ángulos supera a\(2\pi\) los radianes ya que\(n \geq 6\text{.}\) Colocando una versión pequeña de este\(n\) -gon en el plano hiperbólico, la suma del ángulo de esquina será casi igual a\((n-2)\pi\) radianes y superará a los\(2\pi\) radianes, pero a medida que expandimos el\(n\) -gon las esquinas se acercan al ideal puntos y la suma de ángulos de esquina se acercará a\(0\) radianes. Así, en algún momento la suma del ángulo será igual a\(2\pi\) radianes en la nariz, y la superficie poligonal construida a partir de este preciso\(n\) -gon admite geometría hiperbólica. El ejercicio\(7.6.4\) funciona a través de cómo construir este\(n\) -gon preciso.

Por supuesto, no es necesario construir una superficie a partir de un polígono regular. Por ejemplo, el toro se puede construir a partir de cualquier rectángulo en el plano euclidiano y heredará la geometría euclidiana. Entonces, si bien se determina el tipo de geometría que admite nuestra superficie, tenemos cierta flexibilidad en lo que respecta a ciertas medidas geométricas. Por ejemplo, no hay restricción en el área total del toro, y el rectángulo sobre el que se forma puede tener dimensiones arbitrarias de longitud y anchura. Estas dimensiones tendrían un significado simple y tangible para un insecto bidimensional que vive en la superficie (y podría determinarse experimentalmente). Cada dimensión corresponde a la longitud de una ruta geodésica que devolvería el error a su punto de partida. Un trazado geodésico cerrado en una superficie es un trazado que sigue a lo largo de una línea recta (en la geometría subyacente) que comienza y termina en el mismo punto. La figura\(7.6.2\) muestra tres caminos geodésicos cerrados, todos comenzando y terminando en un punto cerca de la casa de un insecto. La longitud de un camino es igual al ancho del rectángulo, la longitud de otro es igual a la longitud del rectángulo, y el tercero sigue un camino que es más largo que los dos primeros.

Figura\(\PageIndex{2}\): Un toro plano tiene muchos caminos geodésicos cerrados. La longitud del camino geodésico cerrado más corto es igual a la longitud del lado corto del rectángulo en el que se modela el toro. (Copyright; autor vía fuente)

Incluso en superficies hiperbólicas, donde el área de la superficie se fija (para una curvatura dada) por la fórmula Gauss-Bonnet, que demostramos en breve, hay libertad para determinar la longitud de caminos geodésicos cerrados.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Building Hyperbolic Surfaces from Pants

Si hacemos tres rebanadas en el toro de dos huecos obtenemos dos pares de pantalones, como se indica en la siguiente figura.

Etiquetamos nuestros cortes para que podamos coser nuestra superficie más tarde. Coincidir con los\(e_i\) bordes\(c_i\text{,}\)\(d_i\text{,}\) y para recuperar el toro de dos huecos. Cualquier par de pantalones se puede cortar en dos hexágonos cortando a lo largo de las tres costuras verticales en el pantalón. De ello se deduce que el toro de dos huecos se puede construir a partir de cuatro hexágonos, con bordes identificados en pares como se indica a continuación.

Los cuatro hexágonos representan una división celular de\(H_2\) tener\(6\) vértices,\(12\) aristas y\(4\) caras. En la identificación de bordes, las esquinas se unen en grupos de\(4\), por lo que necesitamos que cada ángulo de esquina sea igual\(90^\circ\) para dotarlo de una geometría homogénea. Sabemos que podemos hacer esto en el plano hiperbólico. Además, según el Teorema\(5.4.6\), hay libertad en la elección de las dimensiones de los hexágonos. Es decir, por cada triple de números reales\((a,b,c)\) existe un hexágono en ángulo recto\(\mathbb{D}\) con longitudes alternas\(a,b,\) y\(c\text{.}\) Entonces, existe un toro de dos huecos para cada combinación de seis longitudes de costura (\(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,\)y\(b_3\)).

Una superficie que admita una de nuestras tres geometrías tendrá curvatura constante. El lector podría haber notado ya que el signo de la curvatura será igual al signo de la característica de Euler de la superficie. Por supuesto la magnitud de la curvatura (si\(k \neq 0)\) puede variar si colocamos una superficie poligonal en una versión a escala de\(\mathbb{P}^2\) o Es\(\mathbb{D}\text{.}\) decir, mientras que el tipo de geometría homogénea que admite una superficie está determinado por su característica de Euler (que está determinada por su forma), la la escala de curvatura puede variar si\(k \neq 0\text{.}\) Al cambiar el radio de una esfera, cambiamos su curvatura (aunque siempre permanece positiva). De igual manera, la superficie\(C_3\) en la Figura\(7.6.1\) tiene curvatura constante\(-1\) si se coloca en el plano hiperbólico del Capítulo 5. Sin embargo, con la misma facilidad puede encontrarse en el plano hiperbólico con curvatura\(k = -8\text{.}\) Recall, el plano hiperbólico con curvatura\(k \lt 0\) se modela en el disco abierto en\(\mathbb{C}\) centrado en el origen con radio\(\dfrac{1}{\sqrt{|k|}}\text{.}\) Colocando la representación hexagonal de\(C_3\) en este espacio de manera que su suma de ángulo de esquina sigue\(2\pi\) produciendo una superficie con curvatura constante\(k\text{.}\)

Finalmente hemos llegado a la elegante relación entre la curvatura de una superficie\(k\text{,}\) su área, y su característica de Euler. Esta relación cristaliza la interacción entre la topología y la geometría de las superficies.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Gauss-Bonnet

El área de una superficie con curvatura constante\(k\) y característica de Euler\(\chi\) viene dada por la fórmula\(kA = 2\pi \chi.\)

Prueba

La esfera con curvatura constante\(k\) tiene radio igual a\(\dfrac{1}{\sqrt{k}}\text{,}\) y área igual a\(\dfrac{4\pi}{k}\text{.}\) Dado que la esfera tiene la característica de Euler\(2\), la fórmula Gauss-Bonnet se mantiene en este caso. El plano proyectivo\(\mathbb{P}^2\) con curvatura\(k\) tiene área igual a\(\dfrac{2\pi}{k}\text{,}\) y característica de Euler igual a\(1\), por lo que el resultado también se mantiene en este caso. El toro y la botella Klein tienen cada uno\(k = 0\) y\(\chi = 0\text{,}\) así en este caso la fórmula Gauss-Bonnet reduce a la verdadera afirmación de que\(0 = 0\text{.}\)

Cualquier superficie de leva de curvatura negativa constante se representará mediante un polígono de\(n\) lados regulares con\(n \geq 6\text{.}\) Además, este polígono se puede colocar en el plano hiperbólico con curvatura para\(k \lt 0\text{,}\) que sus ángulos interiores sumen a\(2\pi\) radianes. Según el teorema\(7.4.3\),

\[ kA = 2\pi - (n-2)\pi = 2\pi\bigg(2-\dfrac{n}{2}\bigg)\text{,} \]

donde\(A\) está el área del\(n\) -gon.

Ahora bien,\(g \geq 2\text{,}\)\(H_g\) porque está representado por un\(4g\) -gon para que

\[ kA = 2\pi(2-2g)=2\pi\chi(H_g)\text{.} \]

Porque\(g \geq 3\text{,}\)\(C_g\) está representado por un\(2g\) -gon de manera que

\[ kA=2\pi(2-g) = 2\pi\chi(C_g)\text{.} \]

Esto completa la prueba.

Supongamos que una cosmóloga bidimensional cree que vive en una superficie de curvatura constante (porque su universo se ve homogéneo e isotrópico). Si puede deducir la curvatura del universo y su área total, conocerá su característica de Euler. Es decir, al medir estas propiedades geométricas puede deducir la forma de su universo, o, en el peor de los casos, reducir las posibilidades a dos. Si\(\chi\) es\(2\) o un entero impar entonces el cosmólogo conocerá la forma del universo. Si\(\chi \lt 2\) es par, su universo tendrá una de dos formas posibles: una forma orientable, la otra no orientable.

Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que nuestro intrépido equipo de exploradores bidimensionales de Ejercicio\(7.4.4\), luego de una extensa encuesta, estima con alta confianza que el área de su universo está entre\(800,000\) km\(^2\) y\(900,000\) km\(^2\text{.}\) Suponiendo que su universo es homogéneo e isotrópico, qué formas son posible para su universo? ¿Pueden deducir de esta información el estado de orientabilidad de su universo?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Supongamos que cierta curvatura constante\(3\) -toro agujereado\(H_3\) tiene área\(5.2\) km\(^2\text{.}\) ¿Cuál debe ser el área de una\(C_3\) superficie de curvatura constante para que tengan la misma curvatura?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Construyendo una superficie hiperbólica a partir de pares de pantalones. Para construir\(H_g\) para\(g \geq 2\) a partir de pares de pantalones, ¿cuántos necesitamos? Exprese su respuesta en términos de\(g\text{.}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que queremos construir un\(n\) -gon regular\((\mathbb{D},{\cal H})\) desde los vértices\(v_k = r e^{i \frac{k}{n}2\pi}\) para\(k=0,1,\ldots,n-1\) que los ángulos\(n\) interiores sumen a\(2 \pi\text{.}\) Demostrar que este es el caso cuando\(r = \sqrt{\cos(\dfrac{2\pi}{n})}\text{.}\)

Pista

Puede ser útil referirse a Ejercicio\(5.4.9\) donde probamos este resultado en el caso\(n=8\text{.}\)