7.7: Espacios de cociente
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Podemos doblar una hoja de papel y unir sus bordes izquierdo y derecho para obtener un cilindro. Si dejamos\(\mathbb{I}^2 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 ~|~ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\}\) representar nuestro pedazo de papel cuadrado, y\(C = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 ~|~ x^2 + y^2 = 1, 0 \leq z \leq 1 \}\) representar un cilindro, entonces el mapa
\[ p:\mathbb{I}^2 \to C ~~\text{by}~~p((x,y))= (\cos(2\pi x), \sin(2\pi x), y) \]
modela este proceso de encolado.
Este mapa se esfuerza mucho por ser un homeomorfismo. El mapa es continuo, sobre, y es casi uno a uno con un inverso continuo. Falla en este empeño solo donde unimos los bordes izquierdo y derecho: los puntos\((0,y)\) y\((1,y)\) en\(\mathbb{I}^2\) ambos se envían por\(p\) al punto\((1,0,y)\text{.}\) Pero\(p\) es lo suficientemente agradable como para inducir un homeomorfismo entre el cilindro y una versión modificada del dominio \(\mathbb{I}^2\text{,}\)obtenido al “dividir”\(\mathbb{I}^2\) las redundancias de mapeo para que el resultado sea uno a uno. La nueva versión de\(\mathbb{I}^2\) se llama espacio cociente. Desarrollamos espacios cocientes en esta sección porque todas las superficies y universos tridimensionales candidatos pueden ser vistos como espacios cocientes. Necesitamos la noción de una relación de equivalencia en un conjunto. Para conseguirlo, necesitamos la noción de una relación.
Una relación en un conjunto\(\boldsymbol S\) es un subconjunto\(R\) de\(S \times S\text{.}\) En otras palabras, una relación\(R\) consiste en un conjunto de pares ordenados de la forma\((a,b)\) donde\(a\) y\(b\) están en\(S\text{.}\) Si\((a,b)\) es un elemento en la relación\(R\text{,}\) podemos escribir \(a R b\text{.}\)Es común describir las relaciones de equivalencia, que definimos en breve, con el símbolo\(\sim\) en lugar de\(R\text{.}\) Entonces, cuando veas\(a \sim b\) esto significa que el par ordenado\((a,b)\) está en la relación\(\sim\text{,}\) que es un subconjunto de\(S \times S\text{.}\)
Una relación de equivalencia en un conjunto\(A\) es una relación\(\sim\) que satisface estas tres condiciones:
- Reflexivity:\(x \sim x\) para todos\(x \in A\)
- Simetría: Si\(x \sim y\) entonces\(y \sim x\)
- Transitividad: Si\(x \sim y\) y\(y \sim z\) entonces\(x \sim z\text{.}\)
Para cualquier elemento\(a \in A\text{,}\) la clase de equivalencia de\(\boldsymbol{a}\), denotada\([a]\text{,}\) es el subconjunto de todos los elementos en los\(A\) que están relacionados\(a\) por Es\(\sim\text{.}\) decir,
\[ [a] = \{x \in A ~|~ x \sim a\}. \]
Definir\(z \sim w\) en\(\mathbb{C}\) si y solo si Re\((z) - ~\text{Re}(w)\) es un entero e Im\((z) = ~\text{Im}(w)\text{.}\) Por ejemplo,\((-1.6 + 4i) \sim (2.4 + 4i)\) ya que la diferencia de las partes reales\((-1.6 - 2.4 = -4)\) es un entero y las partes imaginarias son iguales. Para mostrar\(\sim\) es una relación de equivalencia, verificamos los tres requisitos.
- Reflexivity: Dado\(z = a + bi\text{,}\) se deduce que\(z \sim z\) porque\(a - a = 0\) es un entero y\(b = b\text{.}\)
- Simetría: Supongamos\(z \sim w\text{.}\) Entonces Re\((z) - ~\text{Re}(w) = k\) para algún entero\(k\) e Im\((z) = ~\text{Im}(w)\text{.}\) Se deduce que Re\((w) - ~\text{Re}(z) = -k\) es un entero e Im\((w) = ~\text{Im}(z)\text{.}\) En otras palabras,\(w \sim z\text{.}\)
- Transitividad: Supongamos\(z \sim w\) y\(w \sim v\text{.}\) Debemos mostrar\(z \sim v\text{.}\) Since\(z \sim w\text{,}\) Re\((z) - ~\text{Re}(w) = k\) para algún entero\(k\text{,}\) y desde\(w \sim v\text{,}\) Re\((w) - ~\text{Re}(v) = l\) para algún entero\(l\text{.}\) Note que\ begin {align*} k+l & = [\ text {Re} (z) -~\ text {Re} (w)] + [\ text {Re} (w) - ~\ text {Re} (v)]\\ & =\ text {Re} (z) - ~\ texto {Re} (v)\ texto {.} \ end {align*} Entonces, Re\((z) - ~\text{Re}(v)\) es un entero. Además, tenemos Im\((z) =\)\((w) =\) Im\((v)\text{.}\) Así,\(z \sim v\text{.}\)
La clase de equivalencia de un punto\(z = a+bi\) consiste en todos los puntos\(w = c + bi\) donde\(a-c\) es un entero. En otras palabras,\(c = a+n\) para algún entero\(n\text{,}\) así\(w = z + n\) y podemos expresar la clase de equivalencia como\([z] = \{ z + n ~|~ n \in \mathbb{Z}\}\text{.}\)
Una partición de un conjunto\(A\) consiste en una colección de subconjuntos no vacíos de\(A\) que son mutuamente disjuntos y tienen unión igual a\(A\text{.}\) Una relación de equivalencia en un conjunto\(A\) sirve para particionar\(A\) por las clases de equivalencia. De hecho, cada clase de equivalencia no está vacía ya que cada elemento está relacionado consigo mismo, y la unión de todas las clases de equivalencia es todas\(A\) por la misma razón. Que las clases de equivalencia sean mutuamente disjuntas se desprende del siguiente lema.
Supongamos que\(\sim\) es una relación de equivalencia sobre\(A\text{,}\)\(a\) y y\(b\) son cualesquiera dos elementos de\(A\text{.}\) Entonces o bien\([a]\) y no\([b]\) tienen elementos en común, o son conjuntos iguales.
- Prueba
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Supongamos que hay algún elemento\(c\) que está en ambos\([a]\) y\([b]\text{.}\) mostramos\([a] = [b]\) argumentando que cada conjunto es un subconjunto del otro.
Eso\([a]\) es un subconjunto de\([b]\text{:}\) Supongamos que\(x\) está en\([a]\text{.}\) Debemos demostrar que\(x\) está en\([b]\) también. Ya que\(x\) está en\([a]\text{,}\)\(x \sim a\text{.}\) Ya\(c\) está en\([a]\) y dentro\([b]\text{,}\)\(c \sim a\) y\(c \sim b\text{.}\) Podemos usar estos hechos, junto con la transitividad y simetría de la relación, para ver que\(x \sim a \sim c \sim b\text{.}\) Eso es,\(x\) está en\([b]\text{.}\) Por lo tanto, todo en \([a]\)también se encuentra en\([b]\text{.}\)
Podemos repetir el argumento anterior para mostrar que\([b]\) es un subconjunto\([a]\text{.}\) Así, si\([a]\) y\([b]\) tienen algún elemento en común, entonces son conjuntos totalmente iguales, y esto completa la prueba.
A la luz de Lemma\(7.7.1\), una relación de equivalencia en un conjunto proporciona una forma natural de dividir sus elementos en subconjuntos que no tienen puntos en común. Una relación de equivalencia en\(A\text{,}\) entonces, determina un nuevo conjunto cuyos elementos son las distintas clases de equivalencia.
Si\(\sim\) es una relación de equivalencia en un conjunto\(A\text{,}\) el cociente conjunto de\(A\) by\(\sim\) es
\[ A/_\sim = \{[a] ~|~ a \in A\}\text{.} \]
Nos interesarán los cocientes de tres espacios: el plano euclidiano\(\mathbb{C}\text{,}\) el plano hiperbólico\(\mathbb{D}\text{,}\) y la esfera\(\mathbb{S}^2\text{.}\) Si construimos un conjunto de cocientes a partir de uno de estos espacios, llamaremos a una región del espacio dominio fundamental del conjunto de cocientes si contiene un representativo de cada clase de equivalencia del cociente y como máximo un representante en su interior.
Espacios orbitales
Podemos construir un conjunto de cocientes naturales a partir de una geometría\((X,G)\text{.}\)
La estructura de grupo de\(G\) define una relación de equivalencia\(\sim_G\) de la\(X\) siguiente manera: Para\(x, y \in X\text{,}\) let
\[ x \sim_G y ~\text{if and only if}~ T(x) = y ~\text{for some}~T \in G\text{.} \]
En efecto, para cada uno\(x \in X\text{,}\)\(x \sim_G x\) porque el grupo\(G\) debe contener la transformación de la identidad, por lo que la relación es reflexiva. Siguiente, si\(x \sim_G y\) entonces\(T(x) = y\) para algunos\(T\) en\(G\text{.}\) Pero el grupo contiene inversos, así\(T^{-1}\) está en\(G\) y\(T^{-1}(y) = x\text{.}\) Así\(y \sim_G x\text{,}\) y así\(\sim_G\) es simétrico. Tercero, la transitividad de la relación se desprende del hecho de que la composición de dos mapas en\(G\) está nuevamente en\(G\text{.}\)
Dada la geometría\((X,G)\) dejamos\(X/G\) denotar el conjunto de cocientes determinado por la relación de equivalencia\(\sim_G\text{.}\) En este ajuste llamamos a la clase de equivalencia de un punto\(x\) en\(X\text{,}\) la órbita de\(x\text{.}\) So, la órbita de\(x\) consiste en todos los puntos del espacio\(X\) a que se\(x\) puede mapear bajo transformaciones del grupo\(G\text{:}\)
\[ [x] = \{ y \in X ~|~ T(x) = y~\text{for some}~T \in G\}\text{.} \]
Dicho de otra manera, la órbita de\(x\) es el conjunto de puntos en\(X\) congruente con\(x\) en la geometría\((X,G)\text{.}\)
Obsérvese que si la geometría\(G\) es homogénea, entonces cualesquiera dos puntos en\(X\) son congruentes y, para cualquiera\(x \in X\text{,}\) la órbita de\(x\) es todo de\(X\text{.}\) En este caso el conjunto de cocientes\(X/G\) consiste en un solo punto, lo cual no es tan interesante. Normalmente queremos considerar espacios orbitales\(X/G\) en los que\(G\) se encuentra un “pequeño” grupo de transformaciones.
Decimos que un grupo de transformaciones\(G\) de\(X\) es un grupo de homeomorfismos de\(X\) si cada transformación en\(G\) es continua. En este caso, llamamos espacio\(X/G\) orbital. Si\(X\) tiene una métrica, decimos que un grupo de transformaciones de\(X\) es un grupo de isometrías si cada transformación del grupo conserva la distancia entre puntos.
Considerar la traducción horizontal\(T_1(z) = z + 1\) de\(\mathbb{C}\text{.}\) Esta transformación es una isometría (euclidiana) de\(\mathbb{C}\) y genera un grupo de isometrías de la\(\mathbb{C}\) siguiente manera. Poner\(T_1\) y\(T_1^{-1}\) en el grupo, junto con cualquier número de composiciones de estas transformaciones. Afortunadamente, cualquier cantidad de composiciones de estos dos mapas da como resultado una isometría que es fácil de anotar. Cualquier composición finita de copias de\(T_1\) e\(T_1^{-1}\) indica una serie de instrucciones para un punto\(z\text{:}\) en cada paso en la composición larga\(z\) mueve ya sea una unidad a la izquierda si aplicamos\(T_1^{-1}\) o una unidad a la derecha si\(T_1\text{.}\) aplicamos Al final,\(z\) tiene movido horizontalmente por alguna cantidad entera. Es decir, cualquier composición de este tipo se puede escribir como\(T_n(z) = z + n\) para algún entero\(n\text{.}\) Dejamos\(\langle T_1 \rangle\) denotar el grupo generado por\(T_1\text{,}\) y tenemos
\[ \langle T_1 \rangle = \{T_n(z) = z + n ~|~ n \in \mathbb{Z}\}\text{.} \]
La órbita de un punto\(p\) bajo este grupo de isometrías es
\[ [p] = \{p + n ~|~ n \in \mathbb{Z}\}\text{.} \]
Un dominio fundamental para el espacio orbital\(\mathbb{C}/\langle T_1 \rangle\) es la franja vertical que consta de todos los puntos\(z\) con\(0 \leq \text{Re}(z) \leq 1\text{,}\) como en la siguiente figura. Cada punto en\(\mathbb{C}\) está relacionado con un punto en esta franja vertical sombreada. Además, no hay dos puntos en el interior de la tira relacionados. Al pasar al cociente, esencialmente estamos “enrollando” el plano hacia un cilindro infinitamente alto. El proceso de enrollamiento es descrito por el mapa\(p:\mathbb{C} \to \mathbb{C}/\langle T_1 \rangle \) dado por\(p(z) = [z]\text{.}\)
La rotación\(R_{\frac{\pi}{2}}\) de\(\mathbb{C}\) por\(\dfrac{\pi}{2}\) sobre el origen genera un grupo de isometrías\(\mathbb{C}\) que consta de cuatro transformaciones. Generamos el grupo como antes, al considerar todas las composiciones posibles de\(R_{\frac{\pi}{2}}\) y\(R_{\frac{\pi}{2}}^{-1}\text{.}\) Este grupo resulta ser finito: Cualquier combinación de estas rotaciones produce una rotación por\(0\),\(\dfrac{\pi}{2}\text{,}\)\(\pi\text{,}\) o\(\dfrac{3\pi}{2}\) radianes, dándonos
\[ \langle R_{\frac{\pi}{2}} \rangle = \{1, R_{\frac{\pi}{2}}, R_\pi, R_{\frac{3\pi}{2}}\} \text{.} \]
La órbita del punto\(0\) es simplemente\(\{0\}\) porque cada transformación en el grupo se fija\(0\), pero la órbita de cualquier otro punto en\(\mathbb{C}\) es un conjunto de cuatro elementos. Por ejemplo, la órbita de\(1\) es\([1] = \{i,-1,-i, 1\}\text{.}\)
Resulta que cada superficie puede ser vista como un espacio cociente de la forma\(M/G\text{,}\) donde\(M\) es el plano euclidiano\(\mathbb{C}\text{,}\) el plano hiperbólico\(\mathbb{D}\text{,}\) o la esfera\(\mathbb{S}^2\text{,}\) y\(G\) es un grupo de isometrías en geometría euclidiana, geometría hiperbólica o geometría elíptica , respectivamente. En la terminología topológica, el espacio\(M\) se llama un espacio de cobertura universal del espacio orbital\(M/G\text{.}\)
Supongamos\(a\) y\(b\) son números reales positivos. \(\langle T_a, T_{bi}\rangle\)Sea el grupo de homeomorfismos generados por la traslación horizontal\(T_a(z) = z + a\) y la vertical\(T_{bi}(z) = z + bi\text{.}\)
Este grupo contiene todas las composiciones posibles de estas dos transformaciones y sus inversos. Así, la órbita de un punto\(z\) consiste en todos los números complejos a los que se\(z\) pueden enviar moviéndose\(z\) horizontalmente por algún múltiplo entero de\(a\) unidades, y verticalmente por algún múltiplo entero de\(b\) unidades. Una transformación arbitraria en\(\Gamma = \langle T_a, T_{bi}\rangle\) tiene la forma
\[ T(z) = z + (ma + nbi) \]
donde\(m\) y\(n\) son enteros. Un dominio fundamental para el espacio orbital consiste en el rectángulo con esquinas.\(0, a, a + bi, bi\text{.}\) El espacio cociente resultante es homeomórfico con respecto al toro. Observe que los puntos en el límite de este rectángulo se identifican en pares. De hecho, el dominio fundamental, con sus redundancias de punto límite, corresponde precisamente a nuestra representación superficial poligonal del toro.
Si el espacio\(M\) tiene una métrica y nuestro grupo de homeomorfismos es suficientemente agradable, entonces el espacio orbital resultante hereda una métrica del espacio de cobertura universal\(M\text{.}\) Para ser suficientemente agradables, primero necesitamos que nuestros homeomorfismos sean isometrías. El grupo de isometrías también debe estar libre de punto fijo y adecuadamente discontinuo. El grupo\(G\) está libre de punto fijo si cada isometría en\(G\) (que no sea el mapa de identidad) no tiene puntos fijos. El grupo\(G\) es adecuadamente discontinuo si cada\(x\) entrada\(X\) tiene una\(2\) bola abierta\(U_x\) sobre él cuyas imágenes bajo todas las isometrías\(G\) son disjuntas por pares. Se anima al lector interesado a ver [10] o [9] para más detalles. Si nuestro grupo\(G\) es un grupo de isometrías libres de punto fijo y adecuadamente discontinuo, entonces el espacio orbital resultante hereda una métrica de\(M\text{.}\)
Considera el espacio cociente en Ejemplo\(7.7.3\). El grupo aquí es un grupo de isometrías, ya que las rotaciones conservan la distancia euclidiana, pero no está libre de punto fijo. Todos los mapas en\(G\) tienen puntos fijos (rotación sobre las correcciones de origen\(0\)). Esto evita que el espacio cociente herede la geometría de su espacio madre. De hecho, un círculo centrado en\([0]\) con radio\(r\) tendría una circunferencia\(\dfrac{2\pi r}{4}\text{,}\) que no corresponde a la geometría euclidiana.
El grupo de isometrías en el ejemplo de toro es libre de punto fijo y adecuadamente discontinuo, por lo que la siguiente fórmula para la distancia entre dos puntos\([u]\) y\([v]\) en el espacio orbital\(\mathbb{C}/\langle T_a, T_{bi}\rangle\) está bien definida:
\[ d([u],[v]) = \text{min}\{|z-w| ~|~ z \in [u], w \in [v]\}\text{.} \]
La figura\(7.7.2\) representa dos puntos en el dominio fundamental sombreado,\([u]\) y\([v]\text{.}\) La distancia entre ellos es igual a la distancia euclidiana en\(\mathbb{C}\) del camino más corto entre cualquier punto en la clase de equivalencia\([u]\) y cualquier punto en la clase de equivalencia\([v]\text{.}\) Hay muchos de estos pares más cercanos, y uno de esos pares está etiquetado en la Figura\(7.7.2\) donde\(z\) está en\([u]\) y\(w\) está en\([v]\text{.}\) También dibujado en la figura hay una línea continua (en dos partes) que corresponde al camino más corto que uno tomaría dentro del dominio fundamental para proceder de \([u]\)a\([v]\text{.}\) Este camino marca la ruta más corta que un barco en el videojuego del Capítulo 1 podría tomar para llegar de\([u]\) a\([v]\text{.}\)
Let\(T_a: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{S}^2\) be the antípodal map\(T_a(P) = -P\text{.}\) Este mapa es una isometría que envía cada punto\(\mathbb{S}^2\) al punto diametralmente opuesto a él, por lo que está libre de punto fijo. Ya que\(T_a^{-1} = T_a\text{,}\) el grupo generado por este mapa consiste solo en\(2\) elementos:\(T_a\) y el mapa de identidad. El espacio cociente\(\mathbb{S}^2/\langle T_a\rangle\) es el plano proyectivo.
Podemos construir un octágono regular en el plano hiperbólico cuyos ángulos interiores sean iguales a\(\dfrac{\pi}{4}\) radianes. También podemos encontrar una transformación hiperbólica que lleva un borde de este octágono a otro borde. Etiquetando los bordes como en el siguiente diagrama, deja\(T_{a}\) ser la isometría hiperbólica llevando un\(a\) borde al otro, teniendo cuidado de respetar las orientaciones de los bordes. Construimos dicho mapa componiendo dos reflexiones hiperbólicas sobre líneas hiperbólicas: la línea hiperbólica que contiene el primer\(a\) borde y la línea hiperbólica\(m\) que biseca el\(b\) borde entre los\(a\) bordes. Dado que las dos líneas de reflexión no se cruzan, el mapa resultante in\(\cal H\) es una traslación\({\cal H}\) adentro y no tiene puntos fijos en\(\mathbb{D}\) (los puntos fijos son puntos ideales).
Definir\(T_{b},T_{c}\text{,}\) y de\(T_{d}\) manera similar y considerar el grupo de isometrías de\(\mathbb{D}\) generado por estos cuatro mapas. Este grupo es un grupo libre de punto fijo, adecuadamente discontinuo de isometrías de\(\mathbb{D}\text{,}\) manera que el espacio cociente resultante hereda geometría hiperbólica.
La distancia entre dos puntos\([u]\) y\([v]\) en el espacio cociente viene dada por
\[ d_H([u],[v]) = ~\text{min}\{d_H(z,w) ~|~ z \in [u], w \in [v]\}\text{.} \]
Las geodésicas en el espacio cociente están determinadas por las geodésicas en el plano hiperbólico\(\mathbb{D}\text{.}\)
Topologicamente, el espacio del cociente es homeomórfico\(H_2\text{,}\) y el octágono que se muestra arriba sirve como dominio fundamental del espacio cociente. El movimiento de copias de este octágono por isometrías en el grupo produce un mosaico de\(\mathbb{D}\) por este octágono. Cada copia del octágono serviría igualmente bien como dominio fundamental para el espacio cociente. La figura\(7.7.3\) muestra una porción de este mosaico, incluyendo un triángulo geodésico en el dominio fundamental, e imágenes del mismo en octágonos vecinos.
Todas las superficies\(H_g\)\(C_g\) para\(g \geq 2\) y para se\(g \geq 3\) pueden ver como cocientes de\(\mathbb{D}\) siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior.
Comience con un polígono de tamaño perfecto en\(\mathbb{D}\text{.}\) El polígono debe tener una suma de ángulo de esquina igual a\(2\pi\) radianes, y los bordes que se identifiquen deben tener la misma longitud para que una isometría pueda llevar uno al otro. (En cada ejemplo hasta ahora, hemos utilizado polígonos regulares en los que todos los lados tienen la misma longitud, pero también funcionarán polígonos asimétricos). A continuación, para cada par de aristas orientadas a identificar, encuentra una isometría hiperbólica que mapee una sobre otra (respetando la orientación de los bordes). El grupo generado por estas isometrías crea un espacio cociente homeomórfico con respecto al espacio representado por el polígono, y hereda la geometría hiperbólica. Tenga en cuenta también que el polígono inicial puede ser movido por las isometrías en el grupo para teselar todo\(\mathbb{D}\) sin huecos o superposiciones.
Dominio de Dirichlet
Terminamos esta sección con una discusión sobre el dominio Dirichlet, que es una herramienta importante en la investigación de la forma del universo. Supongamos que vivimos en una superficie descrita como un cociente\(M/G\) donde\(M\) es\(\mathbb{C}\text{,}\)\(\mathbb{D}\text{,}\) o\(\mathbb{S}^2\text{,}\) y\(G\) es un grupo libre de punto fijo y adecuadamente discontinuo de isometrías del espacio. Por cada punto\(x\) en\(M\) definir el dominio de Dirichlet con punto base\(x\) para constar de todos los puntos de\(M\) tal\(y\) manera que
\[ d(x,y) \leq d(x,T(y)) \]
para todos\(T\) en\(G\text{,}\) donde se entiende que\(d(x,y)\) es distancia euclidiana, distancia hiperbólica, o distancia elíptica, dependiendo de si\(M\) es\(\mathbb{C}\text{,}\)\(\mathbb{D}\text{,}\) o\(\mathbb{S}^2\text{,}\) respectivamente.
En cada punto base\(M\text{,}\) del dominio de Dirichlet es\(x\) en sí mismo un dominio fundamental para la superficie\(M/G\text{,}\) y representa el dominio fundamental que un habitante bidimensional podría construir desde su perspectiva local. Es un polígono en\(M\) (cuyos bordes son líneas en la geometría local) que consiste en todos los puntos\(y\) que están tan cerca\(x\) o más cerca\(x\) que cualquiera de sus puntos de imagen\(T(y)\) bajo transformaciones en\(G\text{.}\)
Podemos visualizar un dominio de Dirichlet con punto base de la\(x\) siguiente manera. Considera un pequeño círculo\(M\) centrado en\(x\text{.}\) Construye un círculo de igual radio alrededor de todos los puntos en la órbita de\(x\text{.}\) Entonces, comienza a inflar el círculo (y todas sus imágenes). Eventualmente los círculos se tocarán entre sí, y a medida que los círculos continúen expandiéndose, déjelos presionar entre sí para que formen un borde de límite geodésico. Cuando el círculo haya llenado toda la superficie, habrá formado un polígono con aristas identificadas en pares. Este polígono es el dominio Dirichlet.
En cualquier punto base en el toro de Ejemplo\(7.7.4\) el dominio de Dirichlet será un rectángulo idéntico en proporciones al dominio fundamental. En general, sin embargo, la forma de un dominio de Dirichlet puede ser diferente a la del polígono sobre el que se construyó la superficie, y la forma del dominio de Dirichlet puede variar de un punto a otro, lo cual es bastante frío.
Consideremos la superficie construida a partir del hexágono en la Figura\(7.7.4\), que apareció en el artículo de Levin sobre topología cósmica [23]. Supongamos que el hexágono se coloca\(\mathbb{C}\) con sus seis esquinas en los puntos\(0\),\(1\),\(2\),\(2 + i\text{,}\)\(1+i\) y\(i\text{.}\)
Esta superficie poligonal representa una división celular de una superficie con tres aristas, dos vértices y una cara. La característica de Euler es así\(0\), por lo que la superficie es el toro o la botella Klein. De hecho, es una botella Klein porque contiene una tira de Möbius. Podemos recubrir el plano euclidiano con copias de este hexágono usando las transformaciones\(T(z) = z + 2i\) (traslación vertical) y\(r(z) = \overline{z}+(1+2i)\) (una transformación que refleja un punto alrededor del eje horizontal\(y = 1\) y luego se traduce a la derecha por una unidad). La siguiente figura muestra el dominio fundamental sombreado\(A\) y sus imágenes bajo diversas combinaciones de\(T\) y\(r\text{.}\)
Si\(\Gamma\) es el grupo de transformaciones generadas por\(T\) y\(r\text{,}\) el espacio cociente\(\mathbb{C}/\Gamma\) es la botella Klein, y su geometría es euclidiana, heredada del plano euclidiano\(\mathbb{C}\text{.}\)
Resulta que el dominio Dirichlet en un punto base en este espacio puede variar en forma de punto a punto. El ejercicio\(7.7.4\) investiga la forma del dominio Dirichlet en diferentes puntos.
Ejercicios
Mostrar que el dominio de Dirichlet en cualquier punto del toro en Ejemplo\(7.7.4\) es un\(a\) por\(b\) rectángulo completando las siguientes partes.
- Construir un\(a\) por\(b\) rectángulo para ser el dominio fundamental, y colocar ocho copias de este rectángulo alrededor del dominio fundamental como en la Figura\(7.7.2\). Después, trazar un punto\(x\) en el dominio fundamental, y trazar su imagen en cada una de las copias.
- Para cada imagen\(x^\prime\) de\(x\text{,}\) constructo la bisectriz perpendicular del segmento\(xx^\prime\text{.}\) Los ocho bisectores perpendiculares encierran el dominio Dirichlet basado en\(x\text{.}\) Probar que el dominio Dirichlet es también un\(a\) por\(b\) rectángulo.
Construir\(C_3\) como cociente de\(\mathbb{D}\) por un grupo de isometrías de\(\mathbb{D}\text{.}\) Be lo más explícito posible al definir el grupo de isometrías.
Explique por qué el toro\(g\) agujereado\(H_g\) puede ser visto como un cociente\(\mathbb{D}\) de isometrías hiperbólicas para cualquier\(g \geq 2\text{.}\)
Ejemplo de Consultoría\(7.7.7\), muestran que el dominio de Dirichlet\(z\) en cualquier punto de la línea\(\text{Im}(z)=\dfrac{1}{2}\text{,}\) como el de la Figura\(7.7.5\), es un cuadrado. Mostrar que el dominio de Dirichlet en cualquier punto\(z\) de la línea\(\text{Im}(z)=0\) es un rectángulo.
