3.2: Otros cuadriláteros
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
En esta sección consideraremos otros cuadriláteros con propiedades especiales: el rombo, el rectángulo, el cuadrado y el trapecio.


Un rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales (Figura3.2.1). Tiene todas las propiedades de un paralelogramo más algunas adicionales también. Dibujemos las diagonalesAC yBD (Figura3.2.2). Por Teorema3.2.3 de la sección 3.1 las diagonales se bisecan entre sí. De ahí
△ADE≅△CDE≅△CBE≅△ABE
porSSS=SSS. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales:
∠1=∠2=∠3=∠4,
∠5=∠6=∠7=∠8
y
∠9=∠10=∠11=∠12.
∠9y∠10 son complementarios además de ser iguales, de ahí∠9=∠10=∠11=∠12=90∘. Hemos probado el siguiente teorema:
Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisecan los ángulos. Ver Figura3.2.3.

Buscarw,x,y, yz:

Solución
ABCDes un rombo ya que es un paralelogramo todos cuyos lados equivalen a 6. Según el Teorema3.2.1, las diagonales son perpendiculares y bisecan los ángulos. Por lo tantow∘=40∘ desdeAC bisectas∠BAD. ∠AED=90∘sox∘=180∘−(90∘+40∘)=180∘−130∘=50∘ (la suma de los ángulos de∠AED es180∘). Finalmentey∘=w∘=40∘ (comparar con la Figura3.2.3) yz∘=x∘=50∘.
Contestar
w=40,x=50,y=40,z=50.
La figura3.2.4 muestra el romboABCD del Ejemplo3.2.1 con todos sus ángulos identificados.

Un rectángulo es un paralelogramo en el que todos los ángulos son ángulos rectos (Figura3.2.5). Tiene todas las propiedades de un paralelogramo más algunas adicionales también. En realidad no es necesario que se le diga que todos los ángulos son ángulos rectos:


Un paralelogramo con solo un ángulo recto debe ser un rectángulo.
En la Figura3.2.6 si∠A es un ángulo recto entonces todos los demás ángulos deben ser ángulos rectos también.
- Prueba
-
En la Figura3.2.6,∠C=∠A=90∘ porque los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales (Teorema3.2.1, sección 3.1). ∠B=90∘y∠D=90∘ porque los ángulos sucesivos de un paralelogramo son complementarios (Teorema3.2.2, sección 3.2).
Encuentrax yy:

Solución
Teorema3.2.2,ABCD es un rectángulo. x∘=40∘porque alternan ángulos interiores de líneas paralelasAB yCD deben ser iguales. Dado que la figura es un rectángulo∠BCD=90∘ yy∘=90∘−x∘=90∘−40∘=50∘.
Respuesta:x=40,y=50
Dibujemos las diagonales del rectánguloABCD (Figura3.2.7).

Vamos a mostrar△ABC≅△BAD. AB=BApor identidad. ∠A=∠B=90∘. BC=ADporque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Entonces△ABC≅△BAD porSAS=SAS. Por lo tantoAC= diagonal diagonalBD porque son lados correspondientes de triángulos congruentes. Hemos probado:
Las diagonales de un rectángulo son iguales. En la Figura3.2.7,AC=BD.
Buscarw,xy,z,AC yBD:

Solución
x=3porque las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. EntoncesAC=3+3=6. BD=AC=6ya que las diagonales de un rectángulo son iguales (Teorema3.2.3). Por lo tantoy=z=3 ya que diagonalBD es biseccionada por diagonalAC.
Respuesta:x=y=z=3 yAC=BD=6.
Buscarx,y, yz:

Solución
x∘=35∘, porque los ángulos interiores alternos de las líneas paralelas son iguales. y∘=x∘=35∘porque son ángulos base del triángulo isóscelesABE así (AE= BE\) porque las diagonales de un rectángulo son iguales y se bisecan entre sí). z∘=180∘−(x∘+y∘)=180∘−(35∘+35∘)=180∘−70∘=110∘. La figura3.2.8 muestra un rectánguloABCD con todos los ángulos identificados.
Respuesta:x=y=z=3,AC=BD=6.

La Plaza
Un cuadrado es un rectángulo con todos sus lados iguales. Por lo tanto, también es un rombo. Por lo que tiene todas las propiedades del rectángulo y todas las propiedades del rombo.


Un trapecio es un cuadrilátero con dos y sólo dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos lados se llaman patas. En Figura3.2.8AB yCD están las bases yAD yBC son las patas. ∠Ay∠B son un par de ángulos de base. ∠Cy∠D son otro par de ángulos de base.
Un trapecio isósceles es un trapecio en el que las patas son iguales. En la Figura3.2.8,ABCD es un trapecio isósceles conAD=BC. Un trapecio isósceles tiene la siguiente propiedad:
Los ángulos de base de un trapecio isósceles son iguales. En la Figura3.2.11,∠A=∠B y∠C=∠D

Encontrarx,y, yz:

Solución
x∘=55∘porque∠A y∠B, los ángulos base del trapecio isóscelesABCD, son iguales. Ahora los ángulos interiores de líneas paralelas en el mismo lado de la transversal son suplementarios (Teorema 3 sección 1.4). Por lo tantoy∘=180∘−x∘=180∘−55∘=125∘ yz∘=180∘−55∘=125∘.
Respuesta:x=22,y=z=125.
Prueba de teorema3.2.4: Draw DE parallel to CB as in Figure 3.2.12. ∠1=∠B because corresponding angles of parallel lines are equal, DE=BC because they are the opposite sides of parallelogram BCDE. Therefore AD=DE. So △ADE is isosceles and its base angles, ∠A and ∠1, are equal. We have proven A=∠1=∠B. To prove ∠C=∠D, observe that they are both supplements of ∠A=∠B (Theorem 3.2.3, section 1.4).
El trapecio isósceles tiene una propiedad adicional:
Las diagonales de un trapecio isosecles son iguales.
En la Figura3.2.13, AC=BD

- Prueba
-
BC=AD, dado,∠ABC=∠BAD porque son los ángulos base del trapecio isóscelesABCD (Teorema3.2.4). AB=BA, identity. Therefore △ABC≅△BAD by SAS=SAS. So AC=BD because they are corresponding sides of the congruent triangles.
Averiguax siAC=2x yBD=3−x:
Solución
Por teorema3.2.5,
AC=BD2x=3−x(x)2x=(3−x)(x)2=3x−x2x2−3x+2=0(x−1)(x−2)=0
x−1=0x=1x−2=0x=2
Comprobar,x=1:
Comprobar,x=2:
Respuesta:x=1 or x=2.
RESUMEN
EL PARALELOGRAMO
Un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos.
EL ROMBO
Un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.
EL RECTÁNGULO
Un paralelogramo en el que todos los ángulos son iguales a90∘.
LA PLAZA
Un paralelogramo que es a la vez un rombo y un rectángulo.
EL TRAPECIO
Un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos.
EL TRAPECIO ISÓSCELES
Un trapecio en el que los lados no paralelos son iguales.
PROPIEDADES DE CUADRILÁTEROS
Los lados opuestos son paralelos | Los lados opuestos son iguales | Ángulos opuestos | Las diagonales se bisecan entre sí | Las diagonales son iguales | Las diagonales son perpendiculares | Las diagonales bisecan los ángulos | Todos los lados son iguales | Todos los ángulos son iguales | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Paralelogramo | SI | SI | SI | SI | - | - | - | - | - |
Rombo | SI | SI | SI | SI | - | SI | SI | SI | - |
Rectángulo | SI | SI | SI | SI | SI | - | - | - | SI |
Trapezoide | * | - | - | - | - | - | - | - | - |
Trapezoide isósceles | * | * | - | - | SI | - | - | - | - |
*Un solo par.
Problemas
Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su respuesta.
1. Buscarw,x,y, yz:
2. Buscarw,x,y, yz:
3. Encuentrax yy:
4. Encuentrax yy:
5. Encuentrax,y,z,AC yBD:
6. Buscarx,y, yz:
7. Buscarx,y, yz:
8. Buscarx,y, yz:
9. Averiguax siAC=3x yBD=4x−1:
10. Encuentrax yy:
11. Buscarx,y, yz:
12. Buscarx,y, yz:
13. Buscarx,y, yz:
14. Buscarx,y, yz:
15. Encuentrax yy:
16. Buscarx,y,∠A,∠B,∠C, y∠D:
17. Buscarw,x,y, yz:
18. Buscarx,y, yz:
19. Averiguax siAC=x2−13 yBD=2x+2:
20. Buscarx,AC yBD: