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3.2: Otros cuadriláteros

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

En esta sección consideraremos otros cuadriláteros con propiedades especiales: el rombo, el rectángulo, el cuadrado y el trapecio.

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Figura3.2.1: Un rombo.
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Figura3.2.2: Un rombo con diagonales.

Un rombo es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales (Figura3.2.1). Tiene todas las propiedades de un paralelogramo más algunas adicionales también. Dibujemos las diagonalesAC yBD (Figura3.2.2). Por Teorema3.2.3 de la sección 3.1 las diagonales se bisecan entre sí. De ahí

ADECDECBEABE

porSSS=SSS. Los ángulos correspondientes de los triángulos congruentes son iguales:

1=2=3=4,

5=6=7=8

y

9=10=11=12.

9y10 son complementarios además de ser iguales, de ahí9=10=11=12=90. Hemos probado el siguiente teorema:

Teorema3.2.1

Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisecan los ángulos. Ver Figura3.2.3.

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Figura3.2.3: Las diagonales de un rombo son perpendiculares y bisecan los ángulos.
Ejemplo3.2.1

Buscarw,x,y, yz:

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Solución

ABCDes un rombo ya que es un paralelogramo todos cuyos lados equivalen a 6. Según el Teorema3.2.1, las diagonales son perpendiculares y bisecan los ángulos. Por lo tantow=40 desdeAC bisectasBAD. AED=90sox=180(90+40)=180130=50 (la suma de los ángulos deAED es180). Finalmentey=w=40 (comparar con la Figura3.2.3) yz=x=50.

Contestar

w=40,x=50,y=40,z=50.

La figura3.2.4 muestra el romboABCD del Ejemplo3.2.1 con todos sus ángulos identificados.

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Figura3.2.4: El rombo del Ejemplo3.2.1 con todos los ángulos identificados.

Un rectángulo es un paralelogramo en el que todos los ángulos son ángulos rectos (Figura3.2.5). Tiene todas las propiedades de un paralelogramo más algunas adicionales también. En realidad no es necesario que se le diga que todos los ángulos son ángulos rectos:

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Figura3.2.5: Un rectángulo.
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Figura3.2.6: Un paralelogramo con solo un ángulo recto también debe ser un rectángulo.
Teorema3.2.2

Un paralelogramo con solo un ángulo recto debe ser un rectángulo.

En la Figura3.2.6 siA es un ángulo recto entonces todos los demás ángulos deben ser ángulos rectos también.

Prueba

En la Figura3.2.6,C=A=90 porque los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales (Teorema3.2.1, sección 3.1). B=90yD=90 porque los ángulos sucesivos de un paralelogramo son complementarios (Teorema3.2.2, sección 3.2).

Ejemplo3.2.2

Encuentrax yy:

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Solución

Teorema3.2.2,ABCD es un rectángulo. x=40porque alternan ángulos interiores de líneas paralelasAB yCD deben ser iguales. Dado que la figura es un rectánguloBCD=90 yy=90x=9040=50.

Respuesta:x=40,y=50

Dibujemos las diagonales del rectánguloABCD (Figura3.2.7).

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Figura3.2.7: Rectángulo con diagonales dibujadas.

Vamos a mostrarABCBAD. AB=BApor identidad. A=B=90. BC=ADporque los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. EntoncesABCBAD porSAS=SAS. Por lo tantoAC= diagonal diagonalBD porque son lados correspondientes de triángulos congruentes. Hemos probado:

Teorema3.2.3

Las diagonales de un rectángulo son iguales. En la Figura3.2.7,AC=BD.

Ejemplo3.2.3

Buscarw,xy,z,AC yBD:

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Solución

x=3porque las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. EntoncesAC=3+3=6. BD=AC=6ya que las diagonales de un rectángulo son iguales (Teorema3.2.3). Por lo tantoy=z=3 ya que diagonalBD es biseccionada por diagonalAC.

Respuesta:x=y=z=3 yAC=BD=6.

Ejemplo3.2.4

Buscarx,y, yz:

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Solución

x=35, porque los ángulos interiores alternos de las líneas paralelas son iguales. y=x=35porque son ángulos base del triángulo isóscelesABE así (AE= BE\) porque las diagonales de un rectángulo son iguales y se bisecan entre sí). z=180(x+y)=180(35+35)=18070=110. La figura3.2.8 muestra un rectánguloABCD con todos los ángulos identificados.

Respuesta:x=y=z=3,AC=BD=6.

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Figura3.2.8: El rectángulo de Ejemplo3.2.4 con todos los ángulos identificados.

La Plaza

Un cuadrado es un rectángulo con todos sus lados iguales. Por lo tanto, también es un rombo. Por lo que tiene todas las propiedades del rectángulo y todas las propiedades del rombo.

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Figura3.2.9: Un cuadrado.
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Figura3.2.10: Un trapecio.

Un trapecio es un cuadrilátero con dos y sólo dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases y los otros dos lados se llaman patas. En Figura3.2.8AB yCD están las bases yAD yBC son las patas. AyB son un par de ángulos de base. CyD son otro par de ángulos de base.

Un trapecio isósceles es un trapecio en el que las patas son iguales. En la Figura3.2.8,ABCD es un trapecio isósceles conAD=BC. Un trapecio isósceles tiene la siguiente propiedad:

Teorema3.2.4

Los ángulos de base de un trapecio isósceles son iguales. En la Figura3.2.11,A=B yC=D

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Figura3.2.11: Un trapecio isósceles
Ejemplo3.2.5

Encontrarx,y, yz:

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Solución

x=55porqueA yB, los ángulos base del trapecio isóscelesABCD, son iguales. Ahora los ángulos interiores de líneas paralelas en el mismo lado de la transversal son suplementarios (Teorema 3 sección 1.4). Por lo tantoy=180x=18055=125 yz=18055=125.

Respuesta:x=22,y=z=125.

Prueba de teorema3.2.4: Draw DE parallel to CB as in Figure 3.2.12. 1=B because corresponding angles of parallel lines are equal, DE=BC because they are the opposite sides of parallelogram BCDE. Therefore AD=DE. So ADE is isosceles and its base angles, A and 1, are equal. We have proven A=1=B. To prove C=D, observe that they are both supplements of A=B (Theorem 3.2.3, section 1.4).

El trapecio isósceles tiene una propiedad adicional:

Teorema3.2.5

Las diagonales de un trapecio isosecles son iguales.

En la Figura3.2.13, AC=BD

2020-11-11 4.42.41.png
Figura3.2.13. The diagonals AC and BD are equal.
Prueba

BC=AD, dado,ABC=BAD porque son los ángulos base del trapecio isóscelesABCD (Teorema3.2.4). AB=BA, identity. Therefore ABCBAD by SAS=SAS. So AC=BD because they are corresponding sides of the congruent triangles.

Ejemplo3.2.6

Averiguax siAC=2x yBD=3x:

2020-11-11 4.46.11.png

Solución

Por teorema3.2.5,

AC=BD2x=3x(x)2x=(3x)(x)2=3xx2x23x+2=0(x1)(x2)=0

x1=0x=1x2=0x=2

Comprobar,x=1:

2020-11-11 4.54.21.png

Comprobar,x=2:

2020-11-11 4.55.03.png

Respuesta:x=1 or x=2.

RESUMEN

2020-11-11 4.56.22.png

EL PARALELOGRAMO

Un cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos.

2020-11-16 3.13.04.png

EL ROMBO

Un paralelogramo en el que todos los lados son iguales.

2020-11-16 3.15.42.png

EL RECTÁNGULO

Un paralelogramo en el que todos los ángulos son iguales a90.

2020-11-16 3.16.37.png

LA PLAZA

Un paralelogramo que es a la vez un rombo y un rectángulo.

2020-11-16 3.23.32.png

EL TRAPECIO

Un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos.

2020-11-16 3.24.43.png

EL TRAPECIO ISÓSCELES

Un trapecio en el que los lados no paralelos son iguales.

PROPIEDADES DE CUADRILÁTEROS

Los lados opuestos son paralelos Los lados opuestos son iguales Ángulos opuestos Las diagonales se bisecan entre sí Las diagonales son iguales Las diagonales son perpendiculares Las diagonales bisecan los ángulos Todos los lados son iguales Todos los ángulos son iguales
Paralelogramo SI SI SI SI - - - - -
Rombo SI SI SI SI - SI SI SI -
Rectángulo SI SI SI SI SI - - - SI
Trapezoide * - - - - - - - -
Trapezoide isósceles * * - - SI - - - -

*Un solo par.

Problemas

Para cada uno de los siguientes estados cualquier teorema utilizado en la obtención de su respuesta.

1. Buscarw,x,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.39.32 PM.png

2. Buscarw,x,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.39.53 PM.png

3. Encuentrax yy:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.40.08 PM.png

4. Encuentrax yy:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.40.26 PM.png

5. Encuentrax,y,z,AC yBD:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.40.53 PM.png

6. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.42.15 PM.png

7. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.41.57 PM.png

8. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.42.45 PM.png

9. Averiguax siAC=3x yBD=4x1:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.43.05 PM.png

10. Encuentrax yy:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.43.21 PM.png

11. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.43.41 PM.png

12. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.44.03 PM.png

13. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.44.23 PM.png

14. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.44.44 PM.png

15. Encuentrax yy:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.45.08 PM.png

16. Buscarx,y,A,B,C, yD:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.45.25 PM.png

17. Buscarw,x,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.45.44 PM.png

18. Buscarx,y, yz:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.46.00 PM.png

19. Averiguax siAC=x213 yBD=2x+2:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.46.21 PM.png

20. Buscarx,AC yBD:

Screen Shot 2020-11-16 a las 3.46.41 PM.png


This page titled 3.2: Otros cuadriláteros is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Henry Africk (New York City College of Technology at CUNY Academic Works) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.

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